Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Quốc Học, Huế năm 2012

Th6 26

Posted by


Bài 5. (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính R luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2R^2
b) Cho x, y là các số thực dương thay đổi sao cho x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của T=\dfrac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3} .

Giải:

b)
Với hai số thực dương tùy ý a,b ta luôn có (\sqrt a - \sqrt b )^2 \ge 0 \; (*)
a+b \ge 2 \sqrt ab
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
+ 2=x+y \ge 2 \sqrt xy \Leftrightarrow xy \le 1.
Suy ra 2-xy \ge 1.
+ x^2 + y^2 \ge 2xy
Khi đó :
T=\dfrac{x^2+3y^2}{2xy^2-x^2y^3} =\dfrac{x^2+y^2+2y^2}{xy^2(2-xy)} \ge \dfrac{2xy+2y^2}{xy^2(2-xy)}
\Leftrightarrow T \ge \dfrac{2(2-y)y+2y^2}{xy^2(2-xy)} = \dfrac{4}{xy(2-xy)}
Mặt khác với ta luôn có (u+v)^2 \ge 4uv với mọi số thực u, v.
Áp dụng với u=xy, \; v=2-xy ta có :
4xy(2-xy) \le (xy+2-xy)^2 = 4 \Leftrightarrow xy(2-xy) \le 1
Suy ra \dfrac{1}{xy(2-xy)} \ge 1 (vì xy > 0 ; \; 2-xy \ge 1).
Do đó T \ge \dfrac{4}{xy(2-xy)} \ge 4.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng T_{\min}=4 đạt được khi x=y=1.

Trang: 1 2 3 4 5

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 26/06/2012, in Giới thiệu and tagged . Bookmark the permalink. 5 bình luận.

  2. nhái | 26/12/2012 lúc 11:01

    đề thi này mà có người được 9.5 đấy thủ khoa luôn!

    Thích

    Trả lời
  3. Math | 28/12/2012 lúc 20:38

    De thi nay kho de so luon. Dung la truong Quoc Hoc-Hue co khac.

    Thích

    Trả lời

Bình luận về bài viết này