Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Quốc Học, Huế năm 2012

Th6 26

Posted by


Bài 2. (2,0 điểm)
Cho các số thực u,v thỏa mãn (u+\sqrt{u^2+2})(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2.
Chứng minh rằng: u^3+v^3+3uv=1 .

Giải:
Với mọi a ta có a^2 \ne a^2+2
\Leftrightarrow | a | \ne \sqrt{a^2+2} \Leftrightarrow \sqrt{a^2} \pm a \ne 0 \;\; (*).
Từ đó suy ra u- \sqrt{u^2+2} \ne 0 và v-1- \sqrt{(v-1)^2+2} \ne 0 với mọi u, v.
* Nhân vào hai vế của đẳng thức đã cho với \sqrt{u^2+2} - u \ne 0 ta được:
2(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=2(\sqrt{u^2+2} - u)
\Leftrightarrow v-1+\sqrt{v^2-2v+3}=\sqrt{u^2+2} - u \;\; (1).
* Nhân vào hai vế của đẳng thức đã cho với \sqrt{(v-1)^2+2} - (v-1) \ne 0 ta được:
2(u+\sqrt{u^2+2})=2(\sqrt{(v-1)^2+2} - (v-1))
\Leftrightarrow \sqrt{v^2-2v+3} - (v-1) = u+\sqrt{u^2+2} \;\; (2) .
Cộng hai đẳng thức (1), (2) theo vế ta được:
2\sqrt{v^2-2v+3} = 2\sqrt{u^2+2}
\Leftrightarrow v^2-2v+3=u^2+2
\Leftrightarrow (v-1)^2=u^2
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v-1=u \\ v-1=-u \end{array}\right.
*=* Trường hợp v-1=u, thay vào đẳng thức đề bài cho ta được:
(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})^2=2
\Leftrightarrow 2v^2-4v+4+2(v-1)\sqrt{v^2-2v+3}=2
\Leftrightarrow (v-1)^2+(v-1)\sqrt{v^2-2v+3}=0
\Leftrightarrow (v-1)(v-1+\sqrt{v^2-2v+3})=0
\Leftrightarrow v-1 = 0 (vì theo (*) thì v-1+\sqrt{v^2-2v+3} \ne 0).
\Leftrightarrow v = 1
Suy ra u=0.
Trường hợp này ta có u^3+v^3+3uv=0+1+0=1.
*=* Trường hợp v-1=-u , thay vào đẳng thức đề bài cho ta được:
(u+\sqrt{u^2+2})(-u+\sqrt{u^2+2})=2.
Đẳng thức này đúng với mọi u.
DO đó trường hợp này ta có:
v-1=-u \Rightarrow u+v = 1
\Rightarrow (u+v)^3=1
\Rightarrow u^3+v^3+3uv(u+v)=1
\Rightarrow u^3+v^3+3uv=1 (vì u+v=1).
Tóm lại, ta luôn có u^3+v^3+3uv=1. (đpcm)

Trang: 1 2 3 4 5

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 26/06/2012, in Giới thiệu and tagged . Bookmark the permalink. 5 bình luận.

  2. nhái | 26/12/2012 lúc 11:01

    đề thi này mà có người được 9.5 đấy thủ khoa luôn!

    Thích

    Trả lời
  3. Math | 28/12/2012 lúc 20:38

    De thi nay kho de so luon. Dung la truong Quoc Hoc-Hue co khac.

    Thích

    Trả lời

Bình luận về bài viết này