Giải đề số 11


Câu I.2: Tìm trên đồ thị {(C)}:y=x^3+3x-2 cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(2;\;18).

Giải:

-Với dạng này, để đơn giản, ta tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O đời đến điểm I(2;18) để được hệ trục mới là IXY.
Các bạn tập nhớ cách đổi trục như sau: Xét điểm M trong hệ trục IXY có tọa độ là M(X;\;Y), còn trong hệ trục tọa độ Oxy nó có tọa độ là M(x;\;y).
– Theo quy tắc ba điểm của phép cộng, trừ vecto ta có
\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OI} .
Hay \left\{ \begin{array}{l} X = x - x_I  \\  Y = y - y_I  \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = X + x_I  \\  y = Y + y_I  \\  \end{array} \right.

Lời giải:
– Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O dời đến điểm I(2;18) để được hệ trục mới là IXY. Công thức đổi tọa độ như sau:
\left\{ \begin{array}{l} x = X + 2 \\  y = Y + 18 \\  \end{array} \right.
– Trong hệ tọa độ mới IXY, phương trình hàm số đã cho trở thành:
Y + 18 = \left( {X + 2} \right)^3  + 3\left( {X + 2} \right) - 2
\Leftrightarrow Y = X^3  + 6X^2  + 15X - 6 \;\; (1)
– Xét điểm A(X;Y) tùy ý thuộc đồ thị hàm số trong hệ trục IXY, ta có điểm A' đối xứng với A qua gốc tọa độ mới I có tọa độ là A'(-X;-Y).
– Điểm A'(-X;-Y) thuộc đồ thị hàm số khi (tọa độ của nó thỏa mãn p/trình hàm số) - Y = \left( { - X} \right)^3  + 6\left( { - X} \right)^2  + 15\left( { - X} \right) - 6
\Leftrightarrow Y = X^3  - 6X^2  + 15X + 6 \;\;(2)
So sánh (1),\; (2) ta suy ra
X^3  + 6X^2  + 15X - 6 = X^3  - 6X^2  + 15X + 6
\Leftrightarrow 12X^2  = 12 \Leftrightarrow X^2  = 1 \Leftrightarrow X =  \pm 1
– Với X=1, ta có Y=16
– Với X=-1, ta có Y=-16
* Trong hệ tọa độ IXY, đò thị hàm số có cặp điểm A(1;\;16)A'(-1;\; -16) đối xứng nhau qua gốc tọa độ I.
* Trong hệ tọa độ Oxy, ta có cặp điểm tương ứng là A(3;\;34)A'(1;\;2).
Do phép tịnh tiến không làm thay đổi thuộc tính của đồ thị nên trong hệ tọa độ Oxy, cặp điểm A(3;\;34)A'(1;\;2) cùng thuộc đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua điểm I(2;\;18).
* Dễ dàng kiểm tra được điều này !

Câu II.1: Chứng minh \dfrac{{\sin ^4 \alpha  + \cos ^4 \alpha  - 1}}{{\sin ^6 \alpha  + \cos ^6 \alpha  - 1}} = \dfrac{2}{3},\;\alpha  \ne k\dfrac{\pi }{2},\;\;k \in \mathbb{Z}

Câu này không khó, các em tự làm nhé !
– Có thể hạ bậc tử và mẫu.
– Có thể biến đổi tử, mẫu về \sin ^2 \alpha .\cos ^2 \alpha
Dùng các hằng đẳng thức
a^2  + b^2  = \left( {a + b} \right)^2  - 2ab
a^3  + b^3  = \left( {a + b} \right)\left( {a^2  + b^2  - ab} \right)
Với a = \sin ^2 \alpha ,\,\;\;b = \cos ^2 \alpha

Câu II.2: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 5}  + \sqrt {y - 2}  = 7 \;(1)\\  \sqrt {x - 2}  + \sqrt {y + 5}  = 7 \;(2) \\  \end{array} \right.

Giải:
* PP: Dùng tính biến thiên của hàm số.
– Điều kiện xác định: \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2 \\  y \ge 2 \\  \end{array} \right.
– Trừ (1) cho (2) theo vế ta được:
\sqrt {x + 5}  + \sqrt {y - 2}  - \sqrt {x - 2}  - \sqrt {y + 5}  = 0
\Leftrightarrow \sqrt {x + 5}  - \sqrt {x - 2}  = \sqrt {y + 5}  - \sqrt {y - 2} \;\;\left( 3 \right)
– Xét hàm số f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}  - \sqrt {x - 2} trên khoảng \left[ {2; + \infty } \right), ta có
f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 5} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 2} }} = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt {x - 2}  - \sqrt {x + 5} }}{{\sqrt {x - 2} \sqrt {x + 5} }}
– Với mọi x\ge 2, ta có x + 5 > x - 2 > 0, suy ra
\sqrt {x + 5}  > \sqrt {x - 2}  \Rightarrow \sqrt {x - 2}  - \sqrt {x + 5}  < 0
Suy ra f'\left( x \right)  2
, nghĩa là hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \left[ {2; + \infty } \right).
Phương trình (3) có dạng f(x)=f(y).
Mà hàm f(x) nghịch biến trên khoảng \left[ {2; + \infty } \right) nên ta có x=y.
– Thay vào (1), ta được \sqrt {x + 5}  + \sqrt {x - 2}  = 7
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2 \\  x + 5 + x - 2 + 2\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)}  = 49 \\  \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 2 \\  \sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)}  = 23 - x \\  \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 \le x \le 23 \\  \left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {23 - x} \right)^2  \\  \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 \le x \le 23 \\  49x = 539 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{539}}{{49}} = 11
* Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 11 .

Câu III. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng giới hạn bởi hình tròn x^2+(y-2)^2\le 1 quay quanh trục Ox.

Giải:
– Các em có thể vẽ hình tròn trên mặt phẳng với hệ trục Oxy.
– Từ p/trình đường tròn ta có
\left( {y - 2} \right)^2  = 1 - x^2  \Leftrightarrow \left| {y - 2} \right| = \sqrt {1 - x^2 }
\Leftrightarrow y - 2 =  \pm \sqrt {1 - x^2 }  \Leftrightarrow y = 2 \pm \sqrt {1 - x^2 }
– Như vậy, đường tròn gồm hai phần:
Phần 1: Có phương trình y = 2 + \sqrt {1 - x^2 } nằm trên đường thẳng y=2.
Phần 2: Có phương trình y = 2 - \sqrt {1 - x^2 } nằm dưới đường thẳng y=2.
– Xét khối vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi phần 1 và các đường thẳng x=-1,\;x=1 và trục Ox quay quanh trục Ox. Thể tích khối này bằng
V_1  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2 + \sqrt {1 - x^2 } } \right)^2 dx}
V_1  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {5 - x^2  + 4\sqrt {1 - x^2 } } \right)dx}
V_1  = \pi \left. {\left( {5x - \dfrac{{x^3 }}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1  + 4\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - x^2 } dx}
V_1  = \dfrac{{28\pi }}{3} + 4\pi \int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - x^2 } dx}
* Xét tích phân I=\int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - x^2 } dx}
– Đặt x=\sin{t}, t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right].
– Ta có dx=\cos{t}dt\sqrt {1 - x^2 }  = \sqrt {1 - \sin ^2 t}  = \left| {\cos t} \right|
Với t\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] ta có \cos{t} > 0 nên \sqrt {1 - x^2 }  = \left| {\cos t} \right| = \cos{t}
– Đổi cận: x = \sin t =  - 1 \Rightarrow t =  - \dfrac{\pi }{2};
x = \sin t = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}
– Khi đó I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos ^2 t.dt}  = \dfrac{1}{2}.\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt}
I = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}  = \dfrac{\pi }{2}
– Vậy V_1  = \dfrac{{28\pi }}{3} + 4\pi .\dfrac{\pi }{2} = 2\pi ^2  + \dfrac{{28\pi }}{3}.
– Xét khối vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi phần 2 và các đường thẳng x=-1,\;x=1 và trục Ox quay quanh trục Ox.. Thể tích khối này bằng
V_2  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2 - \sqrt {1 - x^2 } } \right)^2 dx}
Tính tương tự như trên ta được V_2  = \dfrac{{28\pi }}{3}-2\pi ^2
* Thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng
V = V_1  - V_2  = 2\pi ^2  + \dfrac{{28\pi }}{3} - \left( {\dfrac{{28\pi }}{3} - 2\pi ^2 } \right) = 4\pi ^2
Hình minh họa Hình minh họa

Xem tiếp ở các trang sau

  1. câu 6b chương trình nâng cao khó quá thầy ơi

    Like

  2. truong_hanh_tram

    thầy ơi sao em thấy đáp án của đề 11 không có phần giải chi tiết ở phần riêng vậy thầy

    Like

    • Vâng ! Sẽ có em à.
      Tuần nay bận tổng kết điểm, kiểm tra hồ sơ ở trường cả ngày nên thầy chưa rãnh.
      Tuần tới thầy sẽ gợi ý giải các câu còn lại.

      Like

  3. dùng bất đẳng thức vecto là ra mà, đưa cái trong căn về bình phương cộng với 1 số, chọn 2 vecsto cho tham số đối nhau đi, rồi dùng BĐT vecto, mất hết tham số, dấu= khi 2 vexcsto cùng hướng, cho bằng k lần nhau (k>0) thì tìm ra k với t

    Like

  4. anhchangvuitinh

    em thấy bài 1b làm theo công thức tính tọa độ trung bình cũng được

    Like

  5. anhchangvuitinh

    cho em hỏi câu 6b nếu đường thẳng AB không vuông góc d thi ta giải như thế nào thầy.
    cũng phải tìm giao điểm của d và mặt phẳng chứa AB và đường vuông góc chung của AB va d.làm thế có được không thầy

    Like

  6. anhchangvuitinh

    dáp án đề số 5 đâu thầy

    Like

  7. thầy ơi! cây VII.b đề 11 hình như thầy chưa post đáp án đúng k thầy

    Like

  8. thầy ơi! câu III với câu VII.b đề 11 hình như thầy chưa post đáp án đúng k thầy,thầy cho em xem đáp án mấy câu đó nhé

    Like

  9. thay giup e nha thay: 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

    Like

    • Hướng giải tổng quát của bài này là : Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 theo \sin x hoặc \cos x rồi giải nó.
      Hãy xem nhé !
      Ta có 9\sin x + 6\cos x- 3\sin{2x}+\cos{2x}=8
      \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x.\cos x + 1 - 2\sin ^2 x = 8
      \Leftrightarrow 2\sin ^2 x + \left( {6\cos x - 9} \right)\sin x + 7 - 6\cos x = 0
      Xem đây là phương trình bậc hai đối với ẩn là \sin x, ta có
      \Delta  = \left( {6\cos x - 9} \right)^2  - 8\left( {7 - 6\cos x} \right) = 36\cos ^2 x - 60\cos x + 25
      \Delta  = \left( {6\cos x - 5} \right)^2  \ge 0
      Vậy ta có \sin x = \dfrac{{9 - 6\cos x \pm \left( {6\cos x - 5} \right)}}{4}
      Hay \sin x = 1\sin x = \dfrac{{14 - 12\cos x}}{4} = \dfrac{7}{2} - 3\cos x
      Đến đây em chỉ việc giải hai phưng trình trên rồi kết luận.

      Chú ý: Nếu nhạy bén và tinh mắt ta thấy tổng các hệ số của phương trình bậc hai trên bằng
      a + b + c = 2 + \left( {6\cos x - 9} \right) + 7 - 6\cos x = 0
      Suy ra phương trình có một nghiệm là \sin x = 1 và nghiệm còn lại bằng \sin x = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{7 - 6\cos x}}{2} = \dfrac{7}{2} - 3\cos x

      Trên đây là hướng giải tổng quát, không cần suy nghĩ nhiều.
      Tuy nhiên ta cũng có thể biến đổi phương trình trên về dạng tích:
      Ta có 9\sin x + 6\cos x- 3\sin{2x}+\cos{2x}=8
      \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x.\cos x + 1 - 2\sin ^2 x = 8
      \Leftrightarrow \left( {6\cos x - 6\sin x.\cos x} \right) + \left( { - 2\sin ^2 x + 9\sin x - 7} \right) = 0
      \Leftrightarrow 6\cos x\left( {1 - \sin x} \right) + \left( {1 - \sin x} \right)\left( {2\sin x - 7} \right) = 0
      \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {6\cos x + 2\sin x - 7} \right) = 0
      Em tự giải tiếp nhé !

      Like

  10. thầy giải câu VI a sai rồi ạ, t = 3/4

    Like

  11. thầy rồ quá ! Cảm ơn thầy nhiều nhiều !!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Like

  12. Thầy ơi, ở câu V đề 11, ở cách giải hai thầy giải rất hay, nhưng với những cách như vậy khi nào mình biết nên thử lại giá trị của m hay không hả thầy ?

    Like

  13. thay oi giup em tinh tong s=1/100(1c100)^2 +2/99(2c100)^2+3/98(3c100)^2+…..+98/3(100c100)^2
    thay giup em nha

    Like

  14. thưa thầy câu VIb có cách làm ngắn gọn hơn mà

    Like

  1. Pingback: Giải đề thi đại học của Thầy Đỗ Cao Long «

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s