Giải đề só 12


Trong đề này có câu III:

Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=\tan{x},\; y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{4}.

Với bài này tôi thiết nghỉ phải sửa đường x=\dfrac{\pi}{4} thành đường khác, chẳng hạn x=\dfrac{\pi}{3}
Bởi lẻ x=\dfrac{\pi}{4} là một hoành độ giao điểm của hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} nên nếu dùng x=\dfrac{\pi}{4} làm một cận thì cần còn lại chưa xác định được.

Vậy ta sẽ xét bài toán:
Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=\tan{x},\; y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{3}.

Giải:
* Hoành độ giao điểm của hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} là nghiệm của phương trình \tan{x}=\cot{x}
\Leftrightarrow \tan ^2 x = 1 \Leftrightarrow \tan x = \pm 1
\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi
Xét các nghiệm trong khoảng \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) ta được nghiệm duy nhất x=\dfrac{\pi}{4}. {Vì nếu xét các ngiệm ở ngoài khoảng này so với x=\dfrac{\pi}{3} thì hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} bị gián đoạn}
* Xét vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y=\tan{x},\;x=\dfrac{\pi}{4},\;x=\dfrac{\pi}{3} và trục Ox quay quanh trục Ox.
Thể tích vật thể này bằng: V_1 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx}
* Xét vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{4},\;x=\dfrac{\pi}{3} và trục Ox quay quanh trục Ox.
Thể tích vật thể này bằng: V_2 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cot ^2 xdx}
* Thể tích vật thể cần tìm bằng: V = \left| {V_1 - V_2 } \right|
Bây giờ ta sẽ tính V_1 ; \; V_2
– Ta có V_1 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx} = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {1 + \tan ^2 x} \right)dx} - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {1dx}
V_1 = \pi \left( {\left. {\tan x} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} - \left. x \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} } \right) = \pi \left( {\sqrt 3 - 1 - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)

(Chú ý: \int {\left( {1 + \tan ^2 x} \right)dx = \int {d\left( {\tan x} \right) = \tan x + C} } )

– Tương tự: V_2 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx} = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{\tan ^2 x}}dx}
V_2 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\left( {1 + \tan ^2 x} \right) - \tan ^2 x}}{{\tan ^2 x}}dx}
V_2 = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + \tan ^2 x}}{{\tan ^2 x}}dx} - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {1.dx} = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{\tan ^2 x}}} - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {dx}
V_2 = \pi \left( { - \left. {\dfrac{1}{{\tan x}}} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} - \left. x \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} } \right) = \pi \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)
* Vậy V = \pi \left| {\left( {\sqrt 3 - 1 - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)} \right| = \pi \left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} - 2} \right)

* Cần tránh nhầm lẫn rằng
V = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\tan x - \cot x} \right)^2 dx}
* Đúng là V = \left| {\pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx} - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cot ^2 xdx} } \right|

  1. Tung | 31/05/2009 lúc 07:50

    thầy Long giải thử bài V đề 12

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 06/06/2009 lúc 14:34

      Câu này không khó bạn à.
      Đặt S = \dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 4}}{{C_n^2 }} + ... + \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + ... + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}

      Bạn chỉ cần để ý tính chất C_n^k = C_n^{n-k} là ra ngay thôi .

      Viết lại đẳng thức cần chứng minh theo công thức tổng quát:

      Rồi xét các trường hợp sau
      * Với n lẻ, ta có
      S = \left( {\dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}} \right) + \left( {\dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 2n - 2}}{{C_n^n }}} \right) + ...

      S = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }}} \right)}
      Ta để ý rằng
      \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }} = \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }}
      = \dfrac{{n - 2k + n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }} = \dfrac{0}{{C_n^k }} = 0
      Suy ra
      S = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }}} \right)} = \sum\limits_{k = 0}^n 0 = 0

      * Trường hợp n chẵn, ta có
      S = \left( {\dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}} \right) + \left( {\dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 2n - 2}}{{C_n^n }}} \right) + ... + \dfrac{{n - 2.\frac{n}{2}}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }}
      Ta cũng có
      \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }} = \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }}
      = \dfrac{{n - 2k + n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }} = \dfrac{0}{{C_n^k }} = 0
      và có \dfrac{{n - 2.\frac{n}{2}}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = \dfrac{{n - n}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = \dfrac{0}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = 0
      Suy ra S=0.
      * Kết luận: S=0 với mọi số tự nhiên n

      Thích

      Trả lời
  2. anhchangvuitinh | 13/06/2009 lúc 00:46

    câu diện tích xung quanh của hình lăng trụ là bao nhiêu thầy?

    Thích

    Trả lời
  3. anhchangvuitinh | 13/06/2009 lúc 01:38

    thầy giải dùm em câu hình phẳng ở đề 12 câu 4 một nhỏ nha thầy. em thấy câu đó hơi khó.

    Thích

    Trả lời
  4. an | 16/06/2009 lúc 17:51

    thầy Long ơi!!giải giùm em câu IV với câu VI (câu 1) của đề 12

    Thích

    Trả lời
  5. vthang | 18/06/2009 lúc 18:46

    thay oi giup em voi: tim gia tri lon va nho nhat cua hs : y=|1+2\cos x|+|1+2\sin x|

    Thích

    Trả lời
  6. nhi | 18/06/2009 lúc 19:55

    thầy ơi!đề 12 có nhiều câu khó hỉu lắm.thầy giải lun di

    Thích

    Trả lời
  7. thế anh | 21/06/2009 lúc 11:26

    thầy cho đáp án các câu còn lại được không ạ

    Thích

    Trả lời
  8. thế anh | 21/06/2009 lúc 11:34

    đáp án câu hình kg trong căn phải là 3- 4 sin chứ ạ

    Thích

    Trả lời
  9. thế anh | 21/06/2009 lúc 11:34

    3-4sin^2

    Thích

    Trả lời
  10. an | 21/06/2009 lúc 23:13

    thầy ui!cám ơn thầy

    Thích

    Trả lời
  11. alone | 25/06/2009 lúc 23:00

    sao co de co link tai loi giai de lai k co vay thay

    Thích

    Trả lời
  12. giancoi | 25/06/2009 lúc 23:07

    thầy ơi, thầy giải câu, I.2 đi thầy,còn câu II2 có phải mình xét tính đồng biến của hàm số rồi suy ra nghiệm duy nhất ko thầy ?

    Thích

    Trả lời
  13. heavenpig | 30/06/2009 lúc 11:22

    thay ui! thay giai cau IV cau V gium Heo voi, hihi

    Thích

    Trả lời
  14. bombtiensin | 11/04/2012 lúc 18:45

    thay ui!thay giai cau III cau v gium con

    Thích

    Trả lời
  15. phuongnhj_pehe0sua | 07/04/2013 lúc 18:35

    thay oi thay co the cho em xin bai tap tich phan duoc khong da thay. Em cam on thay nhieu lem

    Thích

    Trả lời

  1. Pingback: Giải đề thi đại học của Thầy Đỗ Cao Long «

Bình luận về bài viết này