Nguyên hàm-PP tính

I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I.1 Đổi biến số dạng 1. (Đặt $x = f(t)$ )

Một số dấu hiệu:

* Chứa $\sqrt{a^2-x^2}$ :

Cách đạt ẩn phụ: Đặt $x=|a|.\sin t$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

Hoặc $x=|a|.\cos t$ với $0 \leq t \leq \pi$

* $\sqrt{x^2-a^2}$ :

Cách đặt ẩn phụ: Đặt $x=\dfrac{|a|}{\sin t}$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ và $t \neq 0$

Hoặc $x=\dfrac{|a|}{\cos t}$ với $0 \leq t \leq \pi$ và $t \neq \frac{\pi}{2}$

* $\sqrt{x^2+a^2}$ : Đặt $x=|a|\tan t$ với $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ .

* $\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}$ : Đặt $x=a.\cos{2t}$

* $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ : Đặt $x=a+(b-a)\sin^2t$

Bài tập: Tính các nguyên hàm sau:

1. $I= \int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ .

2. $J= \int \dfrac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}$ .

3. $K= \int \dfrac{x^2dx}{\sqrt{x^2-1}}$ .

Bình luận về bài viết này
Comments 30

caolong | 04/01/2009 lúc 04:14

Thắc mắc:
Tìm nguyên hàm $I= \int {\sqrt {4 - x^2 } dx}$ .

Lời giải 1:
Đặt $x = 2\sin t$ với $t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ .
Ta có $dx = d\left( {2\sin t} \right) = 2\cos t.dt$ .
Suy ra $I= \int {\sqrt {4\left( {1 - \sin ^2 t} \right)} .2\cos t.dt}$
$I= \int {4\sqrt {\cos ^2 t} .\cos t.dt = 4\int {|\cos t|.\cos t.dt} }$
Vì $t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ nên $\cos t \geq 0$ .
Do đó $I= 4\int {\cos ^2 t.dt = 4\int {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} }$
$I = \int {\left( {2 + 2\cos 2t} \right)dt = 2t + \sin 2t + C}$ .
Ta biết $x = 2\sin t$ suy ra $\sin t = \dfrac{x}{2}$ , do đó $\cos t = \sqrt {1 - \sin ^2 t} = \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{4}}$ vì $\cos t \geq 0$ , còn $t = \arcsin \dfrac{x}{2}$ .
Nên $\sin 2t = 2\sin t.\cos t = 2\frac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{x^2 }}{4}} = \dfrac{x}{2}\sqrt {4 - x^2 }$
Vậy $I= 2\arcsin \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}.\sqrt {4 - x^2 } + C$ .

Lời giải 2:

Đặt $x = 2\sin t$ với $t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right]$ .
Ta có $dx = d\left( {2\sin t} \right) = 2\cos t.dt$ .
Suy ra $I= \int {\sqrt {4\left( {1 - \sin ^2 t} \right)} .2\cos t.dt}$
$I= \int {4\sqrt {\cos ^2 t} .\cos t.dt = 4\int {|\cos t|.\cos t.dt} }$
Vì $t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right]$ nên $\cos t \leq 0$ .
Do đó $I= -4\int {\cos ^2 t.dt = -4\int {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} }$
$I = -\int {\left( {2 + 2\cos 2t} \right)dt = -(2t + \sin 2t) + C}$ .
Ta biết $x = 2\sin t$ suy ra $\sin t = \dfrac{x}{2}$ , do đó $\cos t = \sqrt {1 - \sin ^2 t} = \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{4}}$ vì $\cos t \leq 0$ , còn $t = \arcsin \dfrac{x}{2}$ .
Nên $\sin 2t = 2\sin t.\cos t = 2\frac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{x^2 }}{4}} = \dfrac{x}{2}\sqrt {4 - x^2 }$
Vậy $I= -(2\arcsin \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}.\sqrt {4 - x^2 } ) + C$ .

Tại sao vậy ?
Để ý: Vì $x = 2\sin t$ và $-2 \leq x \leq 2 \Leftrightarrow -1 \leq \sin t \leq 1$ nên có thể lấy $t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ hoặc $t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right]$ !
Đúng không nào ?
Nhưng kết quả hai Lời giải lại không giống nhau. Why ?

ThíchThích

Trả lời
văn | 22/01/2009 lúc 17:04

thầy ơi cho em hỏi
khi nào phải chia cận khi gặp hàn $\sin , \cos$ mà cận từ $0$ đến $2\pi$ ?
em có đọc 1 cuốn sách khi tìm độ dài của $\int_{0}^{2\pi} \cos \dfrac{x}{2}dx$ thì ko chia cận ra để tính nếu vậy thì lúc lấy nguyên hàm thi $\sin$ sẽ lúc âm, lúc dương
còn 1 bài là $\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-cos{2x}}dx$ thì lại chia cận ra thầy có thể cho em ví dụ cụ thể ko thầy
em xin cám on thầy

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 23/01/2009 lúc 08:08
  
  Vâng. Chào em.
  ———————
  
  Trong khi tính tích phân $\int_{a}^{b} |f(x)|dx$ nếu hàm số $y=f(x)$ có dấu chưa xác định (thay đổi) trên đoạn $\lbrack a; b \rbrack$ khi đó chúng ta phải tìm các nghiệm $x_{1}, x_{2},..., x_{n}$ của phương trình $f(x)=0$ trên đoạn $\lbrack a; b \rbrack$ để khử dấu giá trị tuyệt đối.
  Khi đó, trên mỗi khoảng $\lbrack a; x_{1}\rbrack$ , $\lbrack x_{1}; x_{2} \rbrack$ ,…, $\lbrack x_{n}; b \rbrack$ hàm số $y=f(x)$ giữ nguyên một dấu. Chúng ta cần lập bảng xét dấu và chia tích phân ra để tính trên mỗi đoạn đó.
  
  Quay lại bài toán tính $I= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1- \cos{2x}}dx$ .
  Ta có: $\sqrt{1- \cos{2x}} = \sqrt{1 - (1-2\sin^2 x)} = \sqrt{2\sin^2 x}= \sqrt{2}|\sin x|$ .
  Trên đoạn $\lbrack 0; 2\pi \rbrack$ ta nhận thấy:
  * $\sin x \leq 0$ nếu $0 \leq x \leq \pi$ ;
  * $\sin x \geq 0$ nếu $\pi \leq x \leq 2\pi$
  Vậy $I= \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx$ .
  $I=\sqrt{2}(\int_{0}^{\pi} \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx)$ .
  Em hãy tính tiếp nhé !
  ————–
  
  Với bài toán tính $J=\int_{0}^{2\pi} \cos \dfrac{x}{2} dx$ . Riêng bài này hàm số dưới dấu tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối nên không cần phải chia cận để tính.
  
  Nếu tính $K=\int_{0}^{2\pi} |\cos \dfrac{x}{2}| dx$ ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối.
  Ta để ý: Với mọi $0 \leq x \leq 2\pi$ ta có $0 \leq \dfrac{x}{2} \leq \pi$ .
  Để an toàn em đổi biến: Đặt $t=\dfrac{x}{2}$ .
  Ta có $dt=\dfrac{1}{2}dx$ . Với $x=0$ ta có $t=0$ ; với $x=2\pi$ ta có $t=\pi$ .
  Vậy $K=2\int_{0}^{\pi} \cos t dt$ .
  Rõ ràng trên đoạn $\lbrack 0; \pi \rbrack$ ta có $\cos t \geq 0$ nếu $0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{2}$ ;
  còn $\cos t \leq 0$ nếu $\dfrac{\pi}{2} \leq t \leq \pi$ .
  Do đó $K=2(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t dt)$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
văn | 23/01/2009 lúc 13:51

∫(sint/2)bình cận (0,2pi), sau đó cô em lấy ∫ trị tuyệt (sin(t/2) ) rồi bỏ trị tuyệt mà không cần xét cận
thầy giải dùm em bài này nữa nha
∫(1-cosx)2 sinx/2 dt cận (0,2pi)
nếu như bài tón mà không có trị tuyệt mà cận nó từ (0,2 pi) của hàm sin hoặc cos thì mình có cần chia cận không thầy
∫sinx(cosx)^3 dx thì giải như thế nào thầy

ThíchThích

Trả lời
caolong | 23/01/2009 lúc 15:47

Có phải em hỏi $I=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\sin^2 \dfrac{t}{2}}dt$ ?
Nếu là tích phân trên thì ta viết lại $I=\int_{0}^{2\pi} |\sin \dfrac{t}{2}|dt=2\int_{0}^{2\pi} |\sin \dfrac{t}{2}|d(\dfrac{t}{2})$ .
Nếu em đặt $u=\dfrac{t}{2}$ khi đó em sẽ thấy
$I=2\int_{0}^{\pi} |\sin u| du$ .
Trên đoạn $\lbrack 0; \pi \rbrack$ thì $\sin u \geq 0$ do đó $I=2\int_{0}^{\pi} \sin u du$ .
Em tự tính tiếp nhé !
(Đó là lý do tại sao giáo viên bỏ dấu giá trị tuyệt đối ! Vì trên đoạn lấy tích phân, hàm số dưới dấu tích phân luôn không âm).

ThíchThích

Trả lời
caolong | 23/01/2009 lúc 17:10

Àh. Mong em nên gỏ đúng công thức toán bằng ngôn ngữ Latex trên weblog để th dễ nhận biết điều em hỏi. Cảm ơn !

ThíchThích

Trả lời
caolong | 23/01/2009 lúc 17:28

Với tích phân $I=\int_{0}^{2\pi} (1-\cos x)^2 \sin \dfrac{x}{2} dx$ em chỉ cần tính bình thường mà không cần chia khoảng.
Khi hàm số dưới dầu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì rõ ràng ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính được.
Tuy nhiên có một số bài toán tính tích phân của hàm số không chứa dấu giá trị tuyệt đối vẫn có thể chia ra nhiều đoạn để dễ tính.
——–
Bài toán trên em có thể làm như sau:
Biến đổi $I=\int_{0}^{2\pi} (2-2\cos^2 \dfrac{x}{2})^2 \sin \dfrac{x}{2} dx$ .
Sau đó đặt $t=\cos \dfrac{x}{2}, \, dt=-\dfrac{1}{2} \sin \dfrac{x}{2} dx$ .
Với $x=0 \Rightarrow t=1$ , $x=2\pi \Rightarrow t=-1$ .
Do đó $I=-8\int_{1}^{-1} (1-t^2)^2 dt$ .
Đáp số $I=\dfrac{128}{15}$

ThíchThích

Trả lời
caolong | 23/01/2009 lúc 17:38

Với tích phân $I=\int \sin x \cos^3 x dx$ ta chỉ cần đổi biến cho dễ nhận thấy.
Đặt $t=\cos x, \, dt=-\sin x dx$ .
Khi đó $I=\int \cos^3 x \sin x dx = \int -t^3 dt$
Nếu có cận thì đổi cận và tính tiếp nhé !
Dạng tổng quát:
$I=\int \cos^n x \sin x dx= -\int \cos^n x d(\cos x)$
$= \dfrac{-1}{n+1} \cos^{n+1} x +C$

ThíchThích

Trả lời
dong | 26/01/2009 lúc 16:25

Chào thầy
Em biết đây là blog toán phổ thông nhưng em có thể Hỏi thầy tón cao cấp được không ạ
Thầy có thể cho em email không em sẽ gửi câu hỏi cho thầy
Em cám ơn thầy
Chúc thầy năm mới vạn sự như ý

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 30/01/2009 lúc 14:15
  
  Vâng ! Cảm ơn bạn.
  Mình sẽ giúp được nếu trong khả năng của mình.
  Có thể đây là cơ hội để mình ôn tập trước khi học cao học.
  
  Nhưng mình giới thiệu với bạn một blog của thầy Nhân (ĐHSP Hồ Chí Minh). Thầy sẽ đáp ứng được yêu cầu của bạn ngay lập tức. Địa chỉ.
  
  Email: dclong08@gmail.com hoặc c3dclong.nd@hue.edu.vn; longdocao@yahoo.com.vn
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
dong | 31/01/2009 lúc 06:13

thầy ơi giải dùm em mấy bài này
tìm diện tích r=asin5t (a>0)
tìm độ dài cung y=2(1-sint)
tìm thể tích vật thể tròn xoay bởi D quay quanh Oy
D : y= sinx, x=0, y=1 (0<x<90)
tìm diện tích miền D giới hạn bởi:
x= 1/(1+t^2), y=t(1-t^2)/ (1+t^2)

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 03/02/2009 lúc 23:34
  
  1). Diện tích miền $D: y=\sin x , y=1 , x=0 , (0\leq x \leq \dfrac{\pi}{2})$
  Thể tích khi $D$ xoay quanh trục $Ox$ bằng:
  $V = \pi\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1-\sin^2 x) dx =\dfrac{\pi ^2}{4}$
  Thể tích khi $D$ xoay quanh trục $Oy$ bằng:
  $V=\pi\int_{0}^{1} \arcsin ^2 y dy=\pi(\dfrac{\pi ^2}{4}-2)$
  
  2). Với miền $D: x=\dfrac{1}{1+t^2} , y=\dfrac{t(1-t^2)}{1+t^2}$ .
  Khử tham số $t$ trong hai biểu thức trên ta có hai đường $y=\pm (2x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x}-1}$ .
  Hoành độ giao điểm của hai đường này là $x=0,5 ; x=1$ .
  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng:
  $S=\int_{0,5}^{1} 2(2x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x}-1}dx=1-\dfrac{\pi}{4}$ .
  Bạn tự tính tích phân này nhé.
  
  —–
  Các bài đường cong trong tọa độ cực để mình xem lại đã nhé !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
dong | 31/01/2009 lúc 15:15

thầy giải giúp em mấy bài này nha
tìm S giới hạn r=asin5t (t>0)
tìm thể tích vật thể tròn xoay bởi D quay quanh Oy
D: y=sinx , x=0 , y=1 (0<x<90)

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 03/02/2009 lúc 22:05
  
  Bạn đợi mình một thời gian nhé.
  Hiện mình lo cho công tác kết nạp đoàn viên mới và ĐH Hội LHTN nên hơi bận một tý.
  Tuần sau, mình sẽ trả lời. Mong bạn thông cảm.
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
acmals12 | 17/02/2009 lúc 15:50

thay cho em hoi? 1 bai em ngi~ hoai` ma` cung~ ko ra
tinh’ nguyen ham cua? x^x

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 18/02/2009 lúc 02:25
  
  Có phải Bạn hỏi $F(x)=\int x^x dx$ ?
  
  ————————————————-
  
  Mình cũng đã thử dùng phần mềm Maple để tính nó nhưng không cho ra kết quả. Để mình thử dùng các câu lệnh khác thử tính xem có ra không đã nhé !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
thuong | 15/03/2009 lúc 02:02

chao thay! thay co chuong trinh on thi tot nghiep hay dai hocj cua mon toan du cacs phan khong?

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 19/03/2009 lúc 02:15
  
  Mình có biên tập một tập nhỏ ôn thi tốt nghiệp theo cấu trúc của Bộ GD. Thuong có thể xem ở mục tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp nhé !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
- thay oi | 26/12/2009 lúc 06:19
  
  thanh mai :
  
  1 Votes
  
  PDRTJS_settings_192296_comm_1308 = {
  “id” : “192296”,
  “unique_id” : “wp-comment-1308”,
  “title” : “em+cam+on+thay+%2Cbai+soan+cua+thay+rat+hay…”,
  “item_id” : “_comm_1308”,
  “permalink” : “http%3A%2F%2Fcaolong.wordpress.com%2Fhoc-toan%2Fphe%2Fnguyen-ham-pp-tinh%2F%23comment-1308”
  }
  
  em cam on thay ,bai soan cua thay rat hay
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
thanh long | 12/05/2009 lúc 21:31

thay` oi!
thay` co’ the~ tong~ hop lai phuong phap’ giai~ cac’ dang nguyen ham` nang cao ko vay

ThíchThích

Trả lời
Truc | 21/06/2009 lúc 22:15

thay oi! thay co cac dang bai tap len quan den nhi thuc Newton, chung minh cac dang thuc lien quan den To hop, Chinh hop va pp giai khong a!

ThíchThích

Trả lời
cuong | 06/12/2009 lúc 22:21

thầy ơi thầy có thẻ tổng hợp lai cách ttinhs nguyên hàm ko ạ?

ThíchThích

Trả lời
thanh mai | 12/12/2009 lúc 13:19

em cam on thay ,bai soan cua thay rat hay

ThíchThích

Trả lời
hong ngoc | 24/12/2009 lúc 12:39

thay oi e co bai nay nghi ko ra thay ạ.huhu..no la the nay: tinh nguyen ham cua: $f(x)= \cos x^2$ , cos cua x binh phuong do thay. thay giup e nhe

ThíchThích

Trả lời
thay oi | 26/12/2009 lúc 06:09

thay oi thay co the cho con bit them ly thuyen ve nguyen ham dc ko thay

ThíchThích

Trả lời
- thuy linh | 07/01/2010 lúc 10:41
  
  thay oi thay co the giup em tong hop phuong phap giai phuong trinh vo ty bang :phuong phap luong giac hoa, phuong phap chia khoang ,phuong phap dua ve dang tich
  e cam on thay
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
mai đinh lâp | 14/01/2010 lúc 02:42

này bạn dọc cosx bình phương ỏ đâu thế.

ThíchThích

Trả lời
Nguyen Van Man | 25/01/2013 lúc 22:22

thay oi! Nguyen ham cua 1/( X^2 + X + 1) thi lam sao thay

ThíchThích

Trả lời
- Longeobra | 27/01/2013 lúc 22:07
  
  Viết $x^2+x+1 = \left(x+\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{3}{4}$
  Sau đó, đặt $x+\dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} \tan{t}$ .
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
đồng hồ tự động | 10/05/2013 lúc 16:13

Thầy ơi giải dùm bài này e với thầy
2
a.Cho hình phẳng (H): y = x − 4x + 3 và y = x + 3 .Tính diện tích hình phẳng (H).

x2
x2
b. Cho hình phẳng (H): y = 4 −
và : y =
. Tính diện tích hình phẳng (H).
4 2
4

ThíchThích

Trả lời

	hy trong Đề kiểm tra Hình học 10 (Tham…
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	Lê Văn Hùng trong Giải đề số 2 (Đề thi thử đại h…
	ho thi thu trong Phương trình đường thẳng trong…
	dangloc trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	hatch slack trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	manhhanthtt trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…
	Khoa trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Nguyên hàm-PP tính

I.1 Đổi biến số dạng 1. (Đặt $x = f(t)$ )

* Chứa $\sqrt{a^2-x^2}$ :

Cách đạt ẩn phụ: Đặt $x=|a|.\sin t$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

Hoặc $x=|a|.\cos t$ với $0 \leq t \leq \pi$

* $\sqrt{x^2-a^2}$ :

Cách đặt ẩn phụ: Đặt $x=\dfrac{|a|}{\sin t}$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ và $t \neq 0$

Hoặc $x=\dfrac{|a|}{\cos t}$ với $0 \leq t \leq \pi$ và $t \neq \frac{\pi}{2}$

* $\sqrt{x^2+a^2}$ : Đặt $x=|a|\tan t$ với $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ .

* $\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}$ : Đặt $x=a.\cos{2t}$

* $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ : Đặt $x=a+(b-a)\sin^2t$

Bài tập: Tính các nguyên hàm sau:

Bình luận về bài viết này

Comments 30

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Nguyên hàm-PP tính

I.1 Đổi biến số dạng 1. (Đặt )

* Chứa :

Cách đạt ẩn phụ: Đặt với

Hoặc với

*:

Cách đặt ẩn phụ: Đặt với và

Hoặc với và

*: Đặt với .

* hoặc : Đặt

* : Đặt

Bài tập: Tính các nguyên hàm sau:

Chia sẻ:

Bình luận về bài viết này

Comments 30

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

I.1 Đổi biến số dạng 1. (Đặt $x = f(t)$ )

* Chứa $\sqrt{a^2-x^2}$ :

Cách đạt ẩn phụ: Đặt $x=|a|.\sin t$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

Hoặc $x=|a|.\cos t$ với $0 \leq t \leq \pi$

* $\sqrt{x^2-a^2}$ :

Cách đặt ẩn phụ: Đặt $x=\dfrac{|a|}{\sin t}$ với $-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ và $t \neq 0$

Hoặc $x=\dfrac{|a|}{\cos t}$ với $0 \leq t \leq \pi$ và $t \neq \frac{\pi}{2}$

* $\sqrt{x^2+a^2}$ : Đặt $x=|a|\tan t$ với $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ .

* $\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}$ hoặc $\sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}$ : Đặt $x=a.\cos{2t}$

* $\sqrt{(x-a)(x-b)}$ : Đặt $x=a+(b-a)\sin^2t$