Lời giải đề thi HSG Toán 12 tỉnh T.T.Huế năm 2011

Th11 15

Posted by


LỜI GIẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 THPT TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2011 – 2012

Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11, 12 tỉnh Thừa Thiên Huế được diễn ra từ ngày 14 – 16/11/2011 tại trường THPT Chuyên Quốc Học Huế.

Trong bài viết này, tôi xin trình bày ý tưởng giải và lời giải của cá nhân tôi. Mong được trao đổi và ý kiến đóng góp từ các em học sinh và quý thầy cô.

Lưu ý: Mỗi câu được giải trên 1 trang.
Hãy click vào số trang tương ứng ở cuối Bài viết để xem Lời giải của các câu.

Câu 1: Cho hàm số f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m có đồ thị \left( C \right).

a) Tìm m để \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành.

b) Tìm m để f\left( x \right)\ge \dfrac{1}{x} với mọi x\ge 2.

Giải:

a) Tập xác định của hàm số: D=\mathbb{R} .

{f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-\left( m-1 \right).

Điều kiện cần và đủ để \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành là hệ sau có nghiệm ( ẩn số x):

\left\{ \begin{array}{l}   {x^3} - 2{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m = 0\,\, \\   3{x^2} - 4x - \left( {m - 1} \right) = 0\,\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}   {x^3} - 2{x^2} - \left( {3{x^2} - 4x} \right)x + 3{x^2} - 4x + 1 = 0\,\, \\   m = 3{x^2} - 4x\, + 1\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}    - 2{x^3} + 5{x^3} - 4x + 1 = 0\, \\   m = 3{x^2} - 4x\, + 1\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}   x = 1 \\   m = 0 \\  \end{array} \right. hoặc \left\{ \begin{array}{l}  x = \dfrac{1}{2} \\   m = - \dfrac{1}{4} \\  \end{array} \right.
Kết luận: Có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán là: m=0;m=-\dfrac{1}{4} .

m=0 (đồ thị \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành tại điểm \left( 1;0 \right) );

m=-\dfrac{1}{4} (đồ thị \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành tại điểm \left( \dfrac{1}{2};0 \right) ).

b) Ta có f\left( x \right)\ge \dfrac{1}{x} với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m\ge \dfrac{1}{x}latex , với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x - \dfrac{1}{x} \ge \left( {x - 1} \right)m , với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 2{x^2} + x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} \ge m , với mọi x\ge 2 (vì x-1 >0)

\Leftrightarrow m \le {x^2} - x - \dfrac{1}{{{x^2} - x}} , với mọi x\ge 2 (*).

Xét hàm số g\left( x \right) = {x^2} - x - \dfrac{1}{{{x^2} - x}} , ta có

g'\left( x \right) = 2x - 1 + \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}}} = \left( {2x - 1} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}}}} \right) > 0 , với mọi x\ge 2 .

Nên hàm số g\left( x \right) đồng biến trên nữa khoảng \left[ {2; + \infty } \right) .

Suy ra g\left( x \right)\ge g\left( 2 \right)=\dfrac{3}{2} , với mọi x\ge 2 . Tức là \underset{x\ge 2}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=\dfrac{3}{2} .
Vậy (*) \Leftrightarrow m\le \underset{x\ge 2}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=\dfrac{3}{2} .
Kết luận: Giá trị của m cần tìm thỏa yêu cầu bài toán là m\le \dfrac{3}{2} .

Trang: 1 2 3 4 5 6

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 15/11/2011, in Toán lớp 12 and tagged . Bookmark the permalink. 21 bình luận.

  1. nam | 25/11/2011 lúc 18:50

    em thay cach nay hop li day
    em da hoc xong lop 12 oy nhung og thay em giai khong hay bang thay

    Thích

    Trả lời
  2. nam | 25/11/2011 lúc 18:58

    hinh nhu cau 2a doan xet ham so f(t). luc tinh dao ham f'(t) thi phai

    Thích

    Trả lời
  3. nam | 25/11/2011 lúc 19:25

    phuong trinh duong thang d1 co van de roi thi phai.
    vec to phap tuyen co toa do(1;1) moi dung chu

    Thích

    Trả lời
  4. fiction_56789 | 25/11/2011 lúc 19:43

    hihi em thay em la nguoi khai truong dau tien ma gui5,6 phan hoi khong hay lam chac dai ca khong vui ha? dung gian nhe !

    Thích

    Trả lời
  5. caolong | 26/11/2011 lúc 21:16

    Ở câu 6. Đề yêu cầu tính giới hạn khi x \to 0. Tuy nhiên, giá trị của giới hạn khi x \to 0^{+} và giá trị của giới hạn khi x \to 0^{-} chưa xác định được.
    Theo tôi, cần tính cả 2 giới hạn trên, sau đó mới kết luận được sự tồn tại của giới hạn khi x \to 0.
    Ở trong lời giải trên (Câu 6), tôi đã tính giới hạn bên phải tại 0.
    Các bạn hãy tính giới hạn còn lại, khi x \to 0^{-} nhé !

    Thích

    Trả lời
  6. meongu007 | 03/12/2011 lúc 05:26

    thưa thầy, em giải câu 2b theo cách này được không ạ?
    nếu có sai thầy chỉ dùm em nha

    √(1/16+〖cos〗^4 x-1/2 〖cos〗^2 )+√(9/16+〖cos〗^4 x-3/2 〖cos〗^2 )= 1/2

    ↔√(〖(cos〗^2 x-1/4))+√(〖(cos〗^2 x-3/4)) = 1/2

    ↔|〖cos〗^2 x-1/4|+|〖cos〗^2 x-3/4| = 〖(cos〗^2 x-1/4) – (〖cos〗^2 x-3/4)
    ↔{█(〖cos〗^2 x-1/4≥0@〖cos〗^2 x-3/4≤0)┤↔{█(cos⁡〖x ≥1/2 ;cos⁡〖x ≤(-1)/2〗 〗@√3/2 〖≥cos〗⁡〖x≥〗 (-√3)/2)┤

    Thích

    Trả lời
  7. meongu007 | 03/12/2011 lúc 05:58

    \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{1}{{16}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - \dfrac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} + \sqrt {\dfrac{9}{{16}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - \dfrac{3}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} {)^2} + \sqrt {(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} {)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} \right| + \left| {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} \right| = \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} \right) - \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le \dfrac{3}{4} \end{array}
    em gõ lại rồi, thầy xem dùm em nha

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 03/12/2011 lúc 15:49

      Trong lời giải trên em đã xét thiếu trường hợp khi mở dấu 2 dấu giá trị tuyệt đối.
      Cụ thể:
      – Em chỉ mới xét trường hợp:\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le \dfrac{3}{4}
      Còn thiếu trường hợp:0 \le \cos^2{x} \le \dfrac{1}{4}
      và trường hợp:\dfrac{3}{4} \le \cos^2{x} \le 1

      Thích

      Trả lời
  8. meongu007 | 05/12/2011 lúc 18:24

    \begin{array}{l}
    có \left| {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right| + \left| {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right| = \frac{1}{2}\\
    có \left( {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right) – \left( {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{2}\\
    \Leftrightarrow \left| {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right| + \left| {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right| = \left( {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right) – \left( {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right)\left( 1 \right)\\
    \Leftrightarrow {\cos ^2}x – \frac{1}{4} \ge 0;{\cos ^2}x – \frac{3}{4} \le 0\left( 2 \right)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {\cos ^2}x \le 1;0 \le {\cos ^2}x \le \frac{3}{4}\left( 3 \right)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {\cos ^2}x \le \frac{3}{4}\left( 4 \right)
    \end{array}
    em chưa hiểu lắm, em đánh số rồi, thầy chỉ em em sai từ bước nào ạ??

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 05/12/2011 lúc 20:12

      Em đăng lại câu hỏi của em rõ ràng hơn tý nhé !

      Em chú ý. Mỗi lần Paste công thức toán từ Mathtype sang bài soạn khi viết phản hồi em cần thay dấu [\ đầu dòng lệnh bằng từ khóa $latex và dấu \] cuối dòng lệnh bằng từ khóa $ .
      Nói chúng là dùng cặp từ khóa $latex lệnh$.
      Sau từ latex phải có dấu cách.

      Thích

      Trả lời
  9. Hoc sinh Đặng Trần Côn | 06/12/2011 lúc 19:39

    câu 1 a nhầm 1 lỗi thầy ui ở dấu thứ 2 là -2x^3+5x^3-4x+1 sữa lại là -2x^3+5x^2-4x+1

    Thích

    Trả lời
  10. Phanchảutinh_12B3_Clup | 18/12/2011 lúc 19:17

    Em là một học sinh o Quảng trị em có nghe tin về thầy . Vậy thây có thê cho E xin một số công thức toán LOGARIC giải toán nâng cao đượ không thầy SDT cua e de thay lien he
    01255599978

    Thích

    Trả lời
  11. Hoàng Hải | 30/01/2012 lúc 21:34

    Tôi đang rất cần đề thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT môn toán của Thừa Thiên Huế năm 2011- 2012 nhưng tìm mãi không được. Thầy có thể giúp tôi được không? Cám ơn nhiều.

    Thích

    Trả lời
  12. Hoàng Hải | 05/02/2012 lúc 21:50

    Tôi đang cần rất gấp. mong thầy giúp, địa chỉ email của tôi là hoangdanghung.bn@gmail.com . Cám ơn thầy nhiều. Mong thầy gửi sớm trong một – hai ngày tới.

    Thích

    Trả lời
  13. Hoàng Hải | 05/02/2012 lúc 21:56

    ôi đang cần rất gấp. mong thầy giúp, địa chỉ email của tôi là hoangdanghung.bn@gmail.com . Cám ơn thầy nhiều. Mong thầy gửi sớm trong một – hai ngày tới.

    Thích

    Trả lời
  14. Huu Minh | 25/10/2012 lúc 16:47

    thay gui cai de MTCT TT Hue 2011-2012 cho em vs luon. Email: huuminh.0205@yahoo.com

    Thích

    Trả lời
  15. Huu Minh | 25/10/2012 lúc 16:49

    thay co de thi hsg mon ly tin TT Hue 2011-2012 gui cho em vs luon

    Thích

    Trả lời

Bình luận về bài viết này