Giải đề số 10


Câu I.2: Xác định m để đường thẳng {(d)}: y=2x+m cắt đồ thị {(C)}:y=\dfrac{x+1}{x-1} tại hai điểm phân biệt A, \;B sao cho tiếp tuyến tại A, \;B của (C) song song với nhau.

Gợi ý Giải:
– Tìm đ/k của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, \;B
– Tính hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó rồi cho chúng bằng nhau.
– Tìm giá trị của m thỏa điều kiện.
Lời giải:
* Tập xác định của hàm số D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.
– Đạo hàm hàm số y' = \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x - 1} \right)^2 }}
* Ph/trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m \;\; (1)
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1 \\ x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + m} \right) \\ \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1 \\ 2x^2 + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\,\,\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.
Xét p/trình (2) có \Delta = \left( {m - 3} \right)^2 + 8\left( {m + 1} \right)
\Delta = m^2 + 2m + 17 = \left( {m + 1} \right)^2 + 16 > 0, \;\forall m
Mặt khác, thay x=1 vào vế trái (2) ta được
2.1 + \left( {m - 3} \right).1 - m - 1 = - 2 \ne 0,\forall m
Điều này chứng tỏ x=1 không phải là nghiệm của (2)
– Từ đó suy ra, (2) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa x\ne 1. Tức là (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, \;B với mọi m.
* Gọi x_1,\; x_2, (x_1 \ne x_2) lần lượt là hoành độ của A, \;B, khi đó x_1,\; x_2 là hai nghiệm của (2) nên theo định lý Viet ta có x_1 + x_2 =-\dfrac{m-3}{2}, x_1 x_2 =-\dfrac{m+1}{2}
– Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A là
y'\left( {x_1 } \right) = \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x_1 - 1} \right)^2 }}
– Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại B là
y'\left( {x_2 } \right) = \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x_2 - 1} \right)^2 }}
– Theo đề bài, hai tiếp tuyến với (C) tại A, \; B song song với nhau nên ta có y'\left( {x_1 } \right) = y'\left( {x_2 } \right)
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x_1 - 1} \right)^2 }} = \dfrac{{ - 2}}{{\left( {x_2 - 1} \right)^2 }} \Leftrightarrow \left( {x_1 - 1} \right)^2 = \left( {x_2 - 1} \right)^2
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1 - 1 = x_2 - 1 \\ x_1 - 1 = - \left( {x_2 - 1} \right) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_1 = x_2 \\ x_1 + x_2 = 2 \end{array} \right.
– Vì x_1 \ne x_2 nên ta chỉ có được x_1+x_2=2
Hay -\dfrac{m-3}{2}=2 \Leftrightarrow m=-1
* Kết luận: Giá trị của m cần tìm là m=-1

Câu II.1: Giải phương trình
3\tan ^2 x + 4\tan x + 4\cot x + 3\cot ^2 x + 2 = 0

PP: P/trình này có dạng tổng quát
a\left( {\tan ^2 x + \cot ^2 x} \right) + b\left( {\tan x + \cot x} \right) + c = 0
– Cách giải: Đặt t = \tan x + \cot x.
Ta biết \tan x.\cot x = 1 > 0, suy ra \tan x và \cot x luôn cùng dấu.
Suy ra \left| t \right| = \left| {\tan x + \cot x} \right| = \left| {\tan x} \right| + \left| {\cot x} \right|
Mà \left| {\tan x} \right| + \left| {\cot x} \right|\mathop \ge \limits^{Cosi} 2\sqrt {\left| {\tan x.\cot x} \right|} =2
Suy ra \left| t \right| \ge 2
– Khi đó t^2 = \tan ^2 x + \cot ^2 x + 2\tan x\cot x = \tan ^2 x + \cot ^2 x + 2
Suy ra \tan ^2 x + \cot ^2 x = t^2 - 2.
– Ta đưa được PT tổng quát về PT bậc hai theo ẩn số t.
Chú ý: \left| t \right| \ge 2 nhé !
Giải:
* Điều kiện:
\sin x.\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}, \; (*)
* Đặt t = \tan x + \cot x, ta có t^2 = \tan ^2 x + \cot ^2 x + 2. Suy ra \tan ^2 x + \cot ^2 x = t^2 - 2.
Ngoài ra, \left| t \right| = \left| {\tan x} \right| + \left| {\cot x} \right| \ge 2
* P/trình đã cho trở thành
3\left( {t^2 - 2} \right) + 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t^2 + 4t - 4 = 0
P/trình này có hai nghiệm t=-2 (thỏa mãn), t=\dfrac{2}{3} (không thỏa mãn).
* Vậy ta có phương trình
\tan x + \cot x = - 2 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} + 2 = 0
\Leftrightarrow \tan ^2 x + 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\tan x + 1} \right)^2 = 0
\Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + l\pi
Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*).
* Vậy phương trình đã cho có các nghiệm cho bởi công thức
\Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + l\pi,\;\; l\in\mathbb{Z}

Câu II.2:
Giải bất phương trình x+1 \geq \sqrt{2(x^2-1)} \;\; (1)

Gợi ý giải:
* Điều kiện: x^2-1 \ge 0 \Leftrightarrow x^2\ge 1
\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \bigcup \left[ {1; + \infty } \right)
* Với điều kiện trên, ta xét bất phương trình đã cho trên hai khoảng của tập xác định.

+Với x \in \left( { - \infty ; - 1} \right), ta có x < -1 nên x + 1 < 0.So sánh hai vế ta thấy (a) vô nghiệm.

+ Với  x=-1, thỏa mãn (1) nên x=-1 là một nghiệm của  (1).

+ Với x \in \left[ {1; + \infty } \right), ta có x+1>0. Bình phương hai vế của (1) ta được
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)^2 \ge 2\left( {x^2 - 1} \right)
\Leftrightarrow x + 1 \ge 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow x \le 3
Trường hợp này, tập nghiệm của bất phương trình là \left[ {1;3} \right].
* Kết hợp ba trươgnf hợp đã xét, ta có tập nghiệm của (1) là
T = \left[ {1;3} \right] \bigcup \left\{ { - 1} \right\}

Nhận xét:
Có thể trình bày theo dạng tổng quát như sau:
f\left( x \right) \ge \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} g\left( x \right) \ge 0 \\ f\left( x \right) \ge 0 \\ \left[ {f\left( x \right)} \right]^2 \ge g\left( x \right) \\ \end{array} \right.

Áp dụng, ta có
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 1 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \\ \left( {x + 1} \right)^2 \ge 2\left( {x^2 - 1} \right) \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup x \in \left[ {1; + \infty } \right) \\ x \ge - 1 \\ x^2 - 2x - 3 \le 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \\ x \ge 1 \\ \end{array} \right. \\ - 1 \le x \le 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1 \\ 1 \le x \le 3 \end{array} \right.
—-> Tùy theo khả năng, các bạn hãy chọn cách làm phù hợp và đừng để mất nghiệm, bạn nhé !

Xem tiếp các câu còn lại ở trang tiếp theo

Trang: 1 2 3

  1. khoi | 10/05/2009 lúc 11:09

    thầy ơi sao em không donwload dược lời giải đề 8 9 10 11

    Thích

    Trả lời
  2. thao | 10/05/2009 lúc 16:59

    xin thay lan sau giai de xin hay cho vao1 file pdf cho tien.chu neu giai tren web khi tai ve de bi that lac file
    cam on

    Thích

    Trả lời
  3. lương thanh phương nam | 13/05/2009 lúc 22:39

    thưa thầy em thấy chổ (1+i)^2009=(1+i)(1+i)2008=(1+i)(2i)^2008 thầy giải bị vô lí theo em phải như thế này mới đúng (1+i)^2009=(1+i)(1+i)^2008=(1+i)(1+i)^2*1004
    =(1+i)(2i)^1004
    do (1+i)^2=2i
    thầy thử xem lại coi phải không ạ?^^ em xin lỗi thầy nếu em nhầm nhé.

    Thích

    Trả lời
  4. lương thanh phương nam | 13/05/2009 lúc 22:41

    mong thầy trả lời sớm ạ em cảm ơn thầy nhiều

    Thích

    Trả lời
  5. Tố Uyên | 14/05/2009 lúc 11:46

    Thưa thầy,thấy có tểh cho tụi em xin link download lời giải đề số 9,10 dc k ạ
    Em cảm ơn thầy

    Thích

    Trả lời
  7. Lê Thanh Việt | 15/05/2009 lúc 08:44

    Sao ko có link download như những đề trước hả thầy

    Thích

    Trả lời
  8. cao thanh mai | 17/05/2009 lúc 08:38

    thầy ơi,bài giải này nếu copy sang word rồi in ra thì hàm và biến,công thức màu nhạt lắm thầy ạ,không đọc được.em chỉnh mãi mà cũng không chỉnh được,có cách nào để sửa được không thầy?

    Thích

    Trả lời
  9. Minh | 25/05/2009 lúc 12:07

    Cho link down di thay` oi :((

    Thích

    Trả lời
  10. tuan anh | 09/06/2009 lúc 11:45

    giúp em bài tìm lim đề 09

    Thích

    Trả lời
  11. van dung | 11/06/2009 lúc 22:21

    em khong thay dap an cau 6b dau thay

    Thích

    Trả lời
  12. quynh | 14/06/2009 lúc 23:32

    thầy ơi! câu VII.b đề 10 em đọc bài giải mà vẫn chưa hiểu rõ,thấy giải thích kĩ lại giùm em nhe thầy

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 15/06/2009 lúc 13:44

      Nói chung em cần khai triển hai nhị thức : (1+i)^{2009} và (1-i)^{2009} theo công thức Newton.
      Chú ý rằng i^2=-1 và đặc biệt: i^{4k+2}=-1; \;\; i^{4k}=1 để áp dụng trong hai khai triển trên.
      Sau đó cộng hai khai triển theo vế để rút gọn các tổ hợp với chập (chỉ số) lẻ
      Em tự thử xem nhé !

      Thích

      Trả lời
  13. giancoi | 18/06/2009 lúc 21:21

    Thầy ơi, giả sử trong phần đặt điều kiện ở câu II1 mà em quên đặt trị tuyệt đối của t>=2 nhưng cuối cùng em vẫn loại nghiệm 2/3 (do vô nghiệm), đi thi làm vậy có bị trừ không hả thầy?

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 19/06/2009 lúc 09:53

      Khi làm bài, nếu không đặt điều kiện của |t| \ge 2 thì em vẫn tìm được nghiệm t.
      Sau đó em vẫn giải phương trình thu được nhưng cần kiểm tra lại (thử lại) để loại các nghiệm ngoại lai.
      Bài giải vẫn đúng em à và được điểm tối đa.

      Thích

      Trả lời
  14. ngocphu | 24/06/2009 lúc 20:53

    thay em tim khong thay dap an cau 6b dau ca thay co the huong dan em cach tai duoc khong?

    Thích

    Trả lời
  15. linh | 01/07/2009 lúc 10:03

    thua thay theo em cau 2 bai VIa thay da tinh nham toa do cua vec to IP. Theo em thay da tinh nham sang vec to PN.mong thay xem lai

    Thích

    Trả lời
  16. nokia a6 | 17/06/2013 lúc 13:36

    thanks Thầy đã giảng giải cho em bài rất hay!

    Thích

    Trả lời

  1. Pingback: Giải đề thi đại học của Thầy Đỗ Cao Long «

Bình luận về bài viết này