Nguyên hàm

Một số bài toán tìm nguyên hàm.

Ghi nhớ một số nguyên hàm cơ bản:

1. $\int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| +C$

2. $\int \dfrac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C$

3. $\int\dfrac{dx}{ax+b}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{d(ax+b)}{ax+b}$ $= \dfrac{1}{a} \ln|ax+b|+C$

——————————————-

Bài 1: Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{dx}{\sin x}$ .

Cách 1: Ta phân tích biểu thức dưới dấu nguyên hàm như sau:

$\dfrac{dx}{\sin x}=\dfrac{\sin x.dx}{\sin^2 x}$ $=\dfrac{-d(\cos x)}{1-\cos^2 x}$

Đặt $t=\cos x$ , khi đó nguyên hàm cần tìm được viết lại theo $t$ như sau:

$\int \dfrac{-dt}{1-t^2}=\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\dfrac{1}{2} \int (\dfrac{1}{t-1} -\dfrac{1}{t+1})dt$

$= \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{dt}{t-1} - \int \dfrac{dt}{t+1} )$ $= \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{d(t-1)}{t-1} - \int \dfrac{d(t+1)}{t+1} )$

$=\dfrac{1}{2} (\ln |t-1| - \ln |t+1|)+C =\dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{t-1}{t+1}|+C$

Cuối cùng thay $t=\cos x$ ta được:

$\int \dfrac{dx}{\sin x}= \dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{\cos x -1}{\cos x+1}|+C$

———————————————

Cách 2: Dùng công thức góc nhân đôi ta có $\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}$

Khi đó $\dfrac{dx}{\sin x} = \dfrac{dx}{2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} . \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ .

Ta biết $\dfrac{dx}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} = d(\tan \dfrac{x}{2})$

Suy ra $\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} .d(\tan \dfrac{x}{2})$

Vậy nguyên hàm đã cho được tính như sau:

$\int \dfrac{dx}{\sin x}$ $= \int \dfrac{d(\tan \dfrac{x}{2})}{\tan \dfrac{x}{2}}$ $=\ln|\tan \dfrac{x}{2}|+C$ .

Bình luận về bài viết này
Comments 36

nguyễn thị phước | 19/02/2009 lúc 05:08

thầy ơi sao không có đề cương ôn tập chương III vậy cho em địa chỉ đó nha

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 20/02/2009 lúc 01:15
  
  Vâng. Để mình soạn xong sẽ upload lên liền. Một thời gian nữa thôi nhé (Tháng 03/2009 sẽ có đủ các chuyên đề)
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
www.vn-seo.com | 20/02/2009 lúc 02:17

Thầy có thể cho em xin giáo trình đó được ko ah?

ThíchThích

Trả lời
- duy | 05/05/2009 lúc 11:38
  
  thay oi sao ko co them cac pp giai khac va ti mi hon ve he phuong trinh
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
  - caolong | 05/05/2009 lúc 17:01
    
    Em thông cảm. Hiện thầy đang cố gắng biên soạn một số tài liệu theo chuyên đề để giúp các em ôn tập.
    Tuy nhiên, do thời gian làm việc nhiều nên chưa rãnh được.
    Hẹn các em vào một dịp sớm nhất có thể.
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
Le Duy Toan | 11/06/2009 lúc 09:03

Thua thay ,thay co the giai mot so bai tap mot cac ti mi hon ko a!

ThíchThích

Trả lời
Le Duy Toan | 11/06/2009 lúc 09:04

thay giang chung chung rat kho hieu

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 11/06/2009 lúc 09:20
  
  Vâng !
  Em có thể gửi một số bài toán mà em thắc mắc. Thầy sẽ định hướng cách giải tĩ mĩ giúp em
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
do thanh duc | 21/06/2009 lúc 07:09

thay oi giup em tinh tick phan tu -pi/4 den pi/4 cua bieu thuc (sin^6x +cos^6x)/(6^x+1)
em viet cong thuc toan hoi kem nen thay chiu kho dick ho em
$I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin ^6 x + \cos ^6 x}}{{6^x + 1}}dx}$

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 21/06/2009 lúc 07:22
  
  BÀi này có dạng tổng quát:
  
  Nếu hàm số $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên đoạn $\left[ { - a;a} \right]$ , khi đó
  $I=\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{b^x + 1}}dx} = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}$
  
  Chứng minh :
  Đặt $t=-x$ khi đó $dt=-dx$ và $f(x)=f(-t)=f(t)$ do hàm số $f(x)$ là hàm chẵn.
  Đổi cận: $x=-a \Rightarrow t=a$ ; và $x=a \Rightarrow t=-a$
  Ta có $I = \int\limits_a^{ - a} {\dfrac{{f\left( t \right)}}{{b^{ - t} + 1}}\left( { - dt} \right)} = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^t f\left( t \right)}}{{1 + a^t }}dt} = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx}$
  {Chú ý: Vì tích phân không phụ thuộc vào đối số nên ta có
  $\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^t f\left( t \right)}}{{1 + a^t }}dt} = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx}$ }
  Như vậy
  $2I=I+I=\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{b^x + 1}}dx}+ \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx} = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}=2\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}$
  Suy ra $I=\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}$
  Áp dụng với hàm số $f\left( x \right) = \sin ^6 x + \cos ^6 x$ là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]$ , ta có
  $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin ^6 x + \cos ^6 x}}{{6^x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin ^6 x + \cos ^6 x} \right)dx}$
  Em hạ bậc rồi tính tiếp nhé !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
TRAN BAO KIEU | 06/12/2009 lúc 13:44

thay oi cho em xin hoi the nao la vi phan ? tai sao trong bieu thuc lai co dx ? thay em noi do chi la mot ki hieu chu khong phai phep nhan nhung khi tinh toan thi em lai thay do la mot phep nhan, chang han dt=2xdx suy ra dx=dt/2x ?

ThíchThích

Trả lời
xalem92 | 25/12/2009 lúc 19:07

Em lần đầu tiên vào đây nhưng mạn phép hỏi thầy bài này. Mong thầy giúp em:
Nguyên hàm của: e^(sin2x).cosxdx
Em cảm ơn!

ThíchThích

Trả lời
xuan son | 08/01/2010 lúc 05:27

em xin thay giup em giai bai nguyen ham nay duoc khong a (x-2)/(x^2+2x+8).em xin cam on thay

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 09/01/2010 lúc 00:21
  
  Có thể phân tích
  $\dfrac{{x - 2}}{{x^2 + 2x + 8}} = \dfrac{{x + 1}}{{x^2 + 2x + 8}} - \dfrac{3}{{x^2 + 2x + 8}}$
  $= \dfrac{{x + 1}}{{x^2 + 2x + 8}} - \dfrac{3}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 7}}$
  Ta có
  $\int {\dfrac{{x + 1}}{{x^2 + 2x + 8}}dx = } \dfrac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {x^2 + 2x + 8} \right)}}{{x^2 + 2x + 8}}}$
  $= \ln \left( {x^2 + 2x + 8} \right) + C_1$
  Còn
  $\int {\dfrac{3}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 7}}dx = 3\int {\dfrac{{d\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)^2 + 7}}} }$
  Nguyên hàm này tính được bằng cách đặt $x+1=\sqrt{7} \tan{u}$
  Em tự tính tiếp nhé !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
duc anh | 09/01/2010 lúc 11:34

thay oi sao phan nguyen ham nay truu tuong vay thay

ThíchThích

Trả lời
mai đinh lâp | 14/01/2010 lúc 02:29

em chào thầy a em rất thích wed này of thầy

thầy giải em bài nay nhe’ tìm nguyên hàm của hàm số

căn bậc hai của sinx trên căn bậc hai sinx cộng căn bậc hai của cosx dx em ko biết viết kiểu toán thay thông cảm nhe’

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 16/01/2010 lúc 02:00
  
  Em hỏi bài này $\int {\dfrac{{\sqrt {\sin x} }}{{\sqrt {\sin x} + \sqrt {\cos x} }}dx}$ phải không ?
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
  - Nghia | 16/04/2012 lúc 14:33
    
    X=π/2-t =>A=π/4
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
mai đinh lâp | 14/01/2010 lúc 02:31

trang ưed này thật bổ ích em cũng dang tìm 1 trang để ôn

ThíchThích

Trả lời
hocmai_9x_151 | 14/01/2010 lúc 08:03

lam the nao de hoc dc nguyen ham tot day thay
sao ma nguyen nay kho vay

ThíchThích

Trả lời
mai đinh lâp | 21/01/2010 lúc 02:18

vâg ạ đúng baì naỳ dâý thâỳ ạ thâỳ giaỉ giùm em tí

ThíchThích

Trả lời
thao ly | 14/02/2010 lúc 11:58

cho e hỏi làm sao chúng ta có thể biết công thức nghiêm horne có nghiệm nào mà để giải

ThíchThích

Trả lời
DG217 | 12/03/2010 lúc 05:50

học nguyên hàm tốt chỉ có 1 cách là làm nhiều hơn nghĩ tự tạo tư duy xác định phương pháp giải ngoài cách đó ra thì chịu .có ai giỏi thì làm bài này nè mấy bài trên bt quá [ cận từ 0 -> 1 căn bận 2 của ( x bình + 1 )dx

ThíchThích

Trả lời
no1_s0nla: | 23/03/2010 lúc 14:52

phan nay sao ma kho the?

ThíchThích

Trả lời
mai dinh lap | 29/03/2010 lúc 15:09

thay oi sao mai ko tha’y thay tra loi vay’ co’ kho’ qua’ ko vay thay`

ThíchThích

Trả lời
Bili_no1 | 03/06/2010 lúc 17:04

Co aj co the chj cho mjnh cach hoc tot fan nguyen ham va tjch fan ko nhj fan nay truu tuog wa mjnh hok hju may

ThíchThích

Trả lời
Nguyễn Lê Hoài | 16/10/2010 lúc 19:57

có ai biết cách giảng phần NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN một cách dễ hiểu không
giảng dùm em y. Em còn mơ hồ vế phần này quá àh. Em không biết cách nào đễ hiểu nó hết trơn ak. Không học được chắc em thi rớt quá àh.

ThíchThích

Trả lời
Lê Hưng | 30/03/2011 lúc 13:06

ai biết cách giảng về phần bài Nguyên hàm – tích phân thì em cảm tạ lắm vì giờ cả đời học Toán em chỉ ngu nhất là phần này mà thôi. Các phần còn lại thì em chỉ cần đi hỏi một tẹo là ra

ThíchThích

Trả lời
bi | 31/10/2011 lúc 22:41

thầy ơi nguyên hàm chỉ có bằng đó kiểu giải đề thôi hả thầy?

ThíchThích

Trả lời
nguyen minh hai | 15/11/2011 lúc 14:30

thua thay! thay co file nao tap hop cac cong thuc toan hoc co ban cua chuong trinh 12 khong? thay co the post len
giup em duoc khong thay? em cam on a.

ThíchThích

Trả lời
NGUYEN94(THPT VAn lAM) | 23/11/2011 lúc 21:44

hay the nay ma k pit vao som/.hoho

ThíchThích

Trả lời
huong | 28/06/2012 lúc 01:20

thầy giải hộ em con tích phân này với: tích phan cận từ 0 đến pi/4 của dx/(1+sin^2 (x)). em cám ơn thầy

ThíchThích

Trả lời
- Longeobra | 28/06/2012 lúc 08:52
  
  $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}dx}$
  
  $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + 2{{\tan }^2}x} \right)}}dx}$
  Đặt $t=tan{x}$ , ta có $dt = \dfrac{1}{\cos^2x}dx$ .
  $x=0 \Rightarrow t = 0 , \; x= \dfrac{\pi}{4} \Rightarrow t=1$ .
  Từ đó ta có:
  $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{1 + 2{t^2}}}}$
  Đến đây ta đặt $t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan{u}$
  $dt= \dfrac{1}{\sqrt{2}} (1+\tan^2 u) du$
  Khi $t=0$ ta có $\tan u =0 \Rightarrow u =0$ .
  Khi $t=1$ ta có
  $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\tan{u} = 1 \Rightarrow \tan u = \sqrt{2} \Rightarrow u = m = \arctan{\sqrt{2}}$ .
  Và $I = \int\limits_0^m {\dfrac{{1\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{\sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^m {du} }$
  Vậy $I = \left. {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}u} \right|_0^m = \dfrac{m}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\arctan \sqrt 2$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
van | 31/12/2012 lúc 19:43

∫▒(X^2+1)/(X^4+X^2+1) dx baì này làm seo thầy

ThíchThích

Trả lời
a | 31/12/2012 lúc 19:49

∫▒x^201/〖(1+x^2)〗^102 dx
∫▒(x^4+1)/(x^6-1) dx
∫▒dx/〖(x^2+1)〗^3

ThíchThích

Trả lời
Lâm Huyền | 15/02/2014 lúc 19:52

thầy ơi giải giúp em con tích phân này: cận từ 0 đến pi/2 (sin3x d(x)/(1+cosx))

ThíchThích

Trả lời

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

	hy trong Đề kiểm tra Hình học 10 (Tham…
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	Lê Văn Hùng trong Giải đề số 2 (Đề thi thử đại h…
	ho thi thu trong Phương trình đường thẳng trong…
	dangloc trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	hatch slack trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	manhhanthtt trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…
	Khoa trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Nguyên hàm

Một số bài toán tìm nguyên hàm.

Ghi nhớ một số nguyên hàm cơ bản:

1. $\int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| +C$

2. $\int \dfrac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C$

3. $\int\dfrac{dx}{ax+b}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{d(ax+b)}{ax+b}$ $= \dfrac{1}{a} \ln|ax+b|+C$

——————————————-

Bài 1: Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{dx}{\sin x}$ .

Cách 1: Ta phân tích biểu thức dưới dấu nguyên hàm như sau:

$\dfrac{dx}{\sin x}=\dfrac{\sin x.dx}{\sin^2 x}$ $=\dfrac{-d(\cos x)}{1-\cos^2 x}$

Đặt $t=\cos x$ , khi đó nguyên hàm cần tìm được viết lại theo $t$ như sau:

$\int \dfrac{-dt}{1-t^2}=\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\dfrac{1}{2} \int (\dfrac{1}{t-1} -\dfrac{1}{t+1})dt$

$= \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{dt}{t-1} - \int \dfrac{dt}{t+1} )$ $= \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{d(t-1)}{t-1} - \int \dfrac{d(t+1)}{t+1} )$

$=\dfrac{1}{2} (\ln |t-1| - \ln |t+1|)+C =\dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{t-1}{t+1}|+C$

Cuối cùng thay $t=\cos x$ ta được:

$\int \dfrac{dx}{\sin x}= \dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{\cos x -1}{\cos x+1}|+C$

Cách 2: Dùng công thức góc nhân đôi ta có $\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}$

Khi đó $\dfrac{dx}{\sin x} = \dfrac{dx}{2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} . \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ .

Ta biết $\dfrac{dx}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} = d(\tan \dfrac{x}{2})$

Suy ra $\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} .d(\tan \dfrac{x}{2})$

Vậy nguyên hàm đã cho được tính như sau:

$\int \dfrac{dx}{\sin x}$ $= \int \dfrac{d(\tan \dfrac{x}{2})}{\tan \dfrac{x}{2}}$ $=\ln|\tan \dfrac{x}{2}|+C$ .

Bình luận về bài viết này

Comments 36

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Nguyên hàm

Một số bài toán tìm nguyên hàm.

Ghi nhớ một số nguyên hàm cơ bản:

1.

2.

3.

——————————————-

Bài 1: Tìm nguyên hàm .

Cách 1: Ta phân tích biểu thức dưới dấu nguyên hàm như sau:

Đặt , khi đó nguyên hàm cần tìm được viết lại theo như sau:

Cuối cùng thay ta được:

Cách 2: Dùng công thức góc nhân đôi ta có

Khi đó .

Ta biết

Suy ra

Vậy nguyên hàm đã cho được tính như sau:

.

Chia sẻ:

Bình luận về bài viết này

Comments 36

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

1. $\int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| +C$

2. $\int \dfrac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C$

3. $\int\dfrac{dx}{ax+b}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{d(ax+b)}{ax+b}$ $= \dfrac{1}{a} \ln|ax+b|+C$

Bài 1: Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{dx}{\sin x}$ .

Đặt $t=\cos x$ , khi đó nguyên hàm cần tìm được viết lại theo $t$ như sau:

Cuối cùng thay $t=\cos x$ ta được:

Cách 2: Dùng công thức góc nhân đôi ta có $\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}$

Khi đó $\dfrac{dx}{\sin x} = \dfrac{dx}{2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} . \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ .

Ta biết $\dfrac{dx}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} = d(\tan \dfrac{x}{2})$

Suy ra $\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}}$ $=\dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} .d(\tan \dfrac{x}{2})$

$\int \dfrac{dx}{\sin x}$ $= \int \dfrac{d(\tan \dfrac{x}{2})}{\tan \dfrac{x}{2}}$ $=\ln|\tan \dfrac{x}{2}|+C$ .