BĐT Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm $a, b$ :
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (1)
– Cách viết tương đương: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ . (2)
Dấu $=$ xẩy ra khi và chỉ khi $a=b$ .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý $a, b$ , ta có:
– $a^2+b^2 \geq 2ab$ (Vì $\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ .

* Một số kết quả thường dùng:

$a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$ .

Thật vậy, vì $a>0$ nên $\dfrac{1}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2$ .

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0$ .

Thật vậy, vì $a.b>0$ nên $\dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2$ .

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi $x>1$ ta có: $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng $\dfrac{1}{x-1}$ nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của $x-1$ . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1$ (*)
Vì $x>1$ nên $x-1>0$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương $4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}$ , ta có:
$4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}$
Hay $4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4$ . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3$ .
Vậy $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}$ (do $x-1>0$ )
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng $(x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]$

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là $(\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab$ . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi $x\in [1; 5]$ thì $x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0$ . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
$(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)$
$\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x)$ . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3$ .

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. $4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}$ .
2. $1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2$
3. Với mọi góc $0^o < \alpha < 90^o$ , ta có: $\tan\alpha + \cot\alpha \geq 2$ .
4. $(3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3]$ .
5. $(2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2]$ .

—————
Chúc các em học tốt !

Bình luận về bài viết này
Comments 69

Mr. SaoCoDon | 30/04/2009 lúc 08:59

Chưa có ai biết bài tập ni hết phải ko Thầy? Hầu như thời điểm này chỉ toàn các anh chị 12 mà thôi. Khối 10,11 chẳng có ai cả. Mà BT Thầy ra phải gọi là hơi bị khó

ThíchThích

Trả lời
tuan anh | 13/06/2009 lúc 19:25

cm rằng với $a+b+c=2$ và $a,\; b,\;c$ dương:
$\dfrac{ab}{2-c} + \dfrac{bc}{2-a}+ \dfrac{ca}{2-b} \le 1$
giúp mình với

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 14/06/2009 lúc 07:08
  
  Thay $2-c=a+b; \; 2-b=a+c; \; 2-a=b+c$ , ta được
  $Vetrai = \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}$
  $= \dfrac{1}{{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{b}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}}}$
  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương, ta có
  $\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {ab} }};\; \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {bc} }};\;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {ca} }}$
  Suy ra
  $Vetrai \le \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} }}{2} \le \dfrac{{a + b + c}}{2} = 1\;\; \left( {{\rm{pcm}}} \right)$
  
  ThíchĐã thích bởi 1 người
  
  Trả lời
  - kds | 15/12/2011 lúc 10:44
    
    chỗ suy ra là vế trái >=, sao lại <=
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
  - huong | 02/05/2012 lúc 16:04
    
    thay oi cho em hoi tai sao lai co http://s0.wp.com/latex.php?latex=Vetrai+%5Cle+%5Cdfrac%7B%7B%5Csqrt+%7Bab%7D++%2B+%5Csqrt+%7Bbc%7D++%2B+%5Csqrt+%7Bca%7D+%7D%7D%7B2%7D+%5Cle+%5Cdfrac%7B%7Ba+%2B+b+%2B+c%7D%7D%7B2%7D+%3D+1%5C%3B%5C%3B+%5Cleft%28+%7B%7B%5Crm%7Bpcm%7D%7D%7D+%5Cright%29&bg=ffffff&fg=4e4e4e&s=0
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
    - Đỗ Cao Long | 02/05/2012 lúc 21:41
      
      Em sử dụng bất đẳng thức $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$ , trong đó $x=\sqrt{a}, \; y=\sqrt{b}, \; z=\sqrt{c}$ .
      
      ThíchĐã thích bởi 1 người
      
      Trả lời
tuan anh | 14/06/2009 lúc 15:55

giúp em bài giải hpt có 1 phương trình log của đề số 13

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 14/06/2009 lúc 21:06
  
  EM xem và tải toàn bộ Lời giải đề số 13 tại đây
  Có gì thắc mắc, hoặc phát hiện sự cố trong lời giải hãy nhắn Lời bình cho thầy biết sớm !
  
  ThíchĐã thích bởi 1 người
  
  Trả lời
  - Linh | 11/12/2012 lúc 08:15
    
    sao e hoi thầy mà chẳng thầy trả lời bài cho e gì ka?
    
    ThíchĐã thích bởi 1 người
    
    Trả lời
hoc toan 10 | 23/02/2010 lúc 04:15

cho pt: $3{\rm{x}}^{\rm{2}} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0$
Xác định m để có 1 nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. tính nghiệm trong trường hợp đó.

ThíchThích

Trả lời
- micro | 07/01/2011 lúc 11:12
  
  trước tiên bạn tìm tập nghiệm m sao cho delta > 0. còn cái phần nghiệm này gấp 3 nghiệm kia thì bạn xem lại cái định lý vi-et ak”
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
- ngân | 22/12/2011 lúc 16:05
  
  tính đen ta
  tính vi ét
  (3×1-x2)(3×2-x1)=0
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
- tuyen | 05/10/2012 lúc 20:21
  
  ta co denta’ =(m+1)^2 -3(3m-5)>0 => dieu kien kua m.
  theo viet x1 +x2 =2(m+1)\3
  x1.x2 =(3m-5)\3
  gia su x1=3X2
  giai 3pt ta tim duoc m .tim duoc m thay vao pt ban dau ta tim duoc nghiem
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
toan | 18/04/2010 lúc 22:17

thầy giải hộ em bài 5 câu b) đề “thi vào lớp 10 THPT,tỉnh Hà Tây năm 2008-2009”

ThíchThích

Trả lời
toan | 19/04/2010 lúc 19:32

cái bài của “hoc toan 10” dễ mà dùng vi ét có x1+x2=[2(m+1)]/3(1) mà theo đề bài giả sử ta có x1=3×2(2) nên thay vào (1) có 4×2=[2(m+1)]/3 nen x2=(m+1)/6 thế vào (2) suy ra x1=(m+1)/2 cuối cùng thế x1,x2 vào P=x1.x2=(3m-5)/3 rồi tìm đc m=7;m=3

ThíchThích

Trả lời
Bao Tran | 13/06/2010 lúc 21:43

Thay chi giup em cach goi dong co day hoc khai niem nguyen ham.

ThíchThích

Trả lời
p3_thjk_toan | 26/06/2010 lúc 20:58

rút gọn hộ e bt này vs’:
A=5[{√(2+√3}+{√(3-√5)-√(5/2)]^2 + [√{2+√3}+{√(3-√5)-√(3/2)]^2
+

ThíchThích

Trả lời
hoakhongten2008 | 13/07/2010 lúc 23:39

em đang cần nâng cao kiến thức về bất đảng thức. mong thầy có thể cho em thêm một số bài tập về bất đẳng thức/ em cám ơn nhiều

ThíchThích

Trả lời
phan thanh binh | 21/12/2010 lúc 21:37

cho em biet lam sao de chung minh duoc bdt cosi voi 3 so a,b,c luon duong

ThíchThích

Trả lời
micro | 07/01/2011 lúc 11:16

mấy bác giup em cai bdt nay voi, với a, b, c > 0. CM 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9/a+b+c

ThíchThích

Trả lời
- congchuacachua_53 | 04/05/2012 lúc 21:53
  
  day nhe ban(1) (1/a+1/b+1/c).(a+b+c)>=9 1+ 1+1+b/a+c/a+b/a+b/c+c/a+c/b >hoac= 9 sau do ap dung bdt cosi cho tung cap mot la duoc (1)> hoac = 3+6=9(dpcm)
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
yakumo_kyo_sai | 15/04/2011 lúc 17:35

đá a+b+c qua bên kia rồi cosi 2 lần sau đó nhân lại là được

ThíchThích

Trả lời
Hung | 24/04/2011 lúc 20:50

Em cam on cac admin

ThíchThích

Trả lời
Cô Si | 03/08/2011 lúc 21:52

Dùng Cô Si cho 3 số ko âm bạn ak?

ThíchThích

Trả lời
h0cd0t | 12/08/2011 lúc 19:38

tk may bac

ThíchThích

Trả lời
mai như | 13/08/2011 lúc 17:35

giúp mình giải bài này với:
Cho a,b cùng dấu. hãy chứng minh đẳng thức sau:
a)với a>b. chứng minh:1/a<1/b
b)a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2

ThíchThích

Trả lời
- tuyen | 03/10/2012 lúc 20:13
  
  b, do a,b cung dau nen.a\b+b\a =ia\bi +ib\ai >=2 cosi. lau zui mih k lam toan k bit dug k
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
hanh | 24/08/2011 lúc 21:19

toj xin chan thanh cam on

ThíchThích

Trả lời
thien hoang mi kim | 28/08/2011 lúc 11:37

toi muon xem ve dang dong bac trong bdt cosi con nhung cai tren binh thuong qua

ThíchThích

Trả lời
Tung97 | 02/09/2011 lúc 16:32

Adm cho e hoi cach su dung cosi vs, cac code /frae may e ko doc dc e ko hju j!!!___________online365.wapka.mobi

ThíchThích

Trả lời
luckybear | 17/11/2011 lúc 22:49

cho e hoi : e thấy sách ghi là |a+1/a|>=2 mà a lại ghi khác , zậy thì cái nào đúng . A giải thích dùm e tại sao lại có dấu gia ́trị tuyệt đối. Cam on a nhieu

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 19/11/2011 lúc 09:27
  
  Em chú ý: $a + \dfrac{1}{a} \ge 2,\forall a \ne 0$
  Còn $\left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0$ em à. Chú ý em nhé !
  ———
  Chứng minh $\left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0$ .
  Ta có: $a$ và $\dfrac{1}{a}$ cùng dấu $\forall a \ne 0$ nên ta có $\left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| = \left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right|$
  Lúc này: $\left| a \right|$ và $\left| \dfrac{1}{a} \right|$ là các số dương, nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
  $\left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right| \ge 2.\sqrt{\left| a \right|.\left| \dfrac{1}{a} \right|} = 2$ , với mọi $a \ne 0$
  Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
Ho Lee | 05/12/2011 lúc 20:57

Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác. Cm: (b-c) bình thương < a bình phương

ThíchThích

Trả lời
- congchuacachua_53 | 04/05/2012 lúc 22:00
  
  don gian lam ban ak day nhe dpcm a^2-(b-c)^2>0 (a-b+c).(a+b-c)>0(1) vi a+c>b => a-b+c>0 tt a+b>c => a+b-c >0 => (1) luon dung
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
Ho Lee | 05/12/2011 lúc 21:03

cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác
CMR: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) >= 3

ThíchThích

Trả lời
- congchuacachua_53 | 05/05/2012 lúc 14:15
  
  bai day cau chi can dao nguoc phan so roi doi day la duok i ma
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
Chen | 09/12/2011 lúc 10:28

giúp em với a2/b+c + b2/c+a + c2/a+b > a + b + c / 2

ThíchThích

Trả lời
- congchuacachua_53 | 06/05/2012 lúc 22:17
  
  caiu nay hinh nhu phai la a^2 chu sao lai 2a ha cau neu la a^2 thi gjai de lam day
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
huỳnh minh tho | 20/12/2011 lúc 14:37

cái wed này ko có đăng kí thành viên hả thầy…! em thấy toán thầy giải dể hiểu thật ấy…!

ThíchThích

Trả lời
huỳnh minh tho | 20/12/2011 lúc 14:38

em sẽ ghé trang này thường xuyên để nhờ thầy giải dùm em một số bài toán khó!!!!

ThíchThích

Trả lời
diep | 25/12/2011 lúc 16:07

thay giai bai nay giup em voi: x^2-2(m-1)x+m^2=0.tim m de pt co dung 1 nghiem am

ThíchThích

Trả lời
Yến nhi | 03/01/2012 lúc 20:21

giải giùm e bai này ik …CMR;a^3/b+b^3/c+c^3/a>=(a+b+c)/2 với mọi a,b,c

ThíchThích

Trả lời
next | 09/01/2012 lúc 21:49

hay

ThíchThích

Trả lời
Sockboydh | 21/03/2012 lúc 10:09

thay oi ! em bi mat can ban toan lop 9 nen chu len lop 10 em hoc ma ko hieu gj het , thay giup em dc ko ? 😦

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 22/03/2012 lúc 07:20
  
  Được chứ. Em có thắc mắc gì cứ hỏi trên blog này rồi thầy sẽ giúp em.
  
  ThíchĐã thích bởi 1 người
  
  Trả lời
  - duy phương | 03/04/2012 lúc 11:34
    
    thầy có thể giải mấy bài mà chứng minh bất phương trình toán 10 cụ thể hơn ko thầy
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
  - congchuacachua_53 | 04/05/2012 lúc 22:08
    
    em thay trang toan nay rat co ich va cac ban cung thuong xuyen gui bai ve nen em rat thich em mong thay se gjup em gjai mot so bai toan kho thay nhe
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
  - congchuacachua_53 | 04/05/2012 lúc 22:10
    
    thay hay thuong xuyen len de giup chung em thay nhe neu thay giao nao cung co trach nhiem va yeu nghe nhu thay thi hay biet may
    hom sau em se gui bai len
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
    - Đỗ Cao Long | 05/05/2012 lúc 06:04
      
      Vâng. Cảm ơn em.
      Thầy mong rằng sẽ giúp các em học tập tốt hơn.
      
      ThíchThích
      
      Trả lời
congchuacachua_53 | 06/05/2012 lúc 22:17

em cam on thay nhieu ak

ThíchThích

Trả lời
congchuacachua_53 | 09/05/2012 lúc 12:28

thay giup em bai nay voi ak c/m a/b+c-a +b/a+c-b +c/a+b-c >=3
thay giup em nhanh thay nhe em dag can gap lem ak hiihi

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 10/05/2012 lúc 19:17
  
  Với bài này ta có thể đặt:
  $x=b+c-a, \; y=a+c-b, \; z=a+b-c$
  Ta có $a=\dfrac{y+z}{2}, \; b=\dfrac{x+z}{2}, \; c=\dfrac{y+x}{2}$ .
  Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
  $\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z} \ge 3$
  $\Leftrightarrow \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z} \ge 6$
  Đây là bất đẳng thức quen thuộc.
  Ta có
  $\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}$
  $= \dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}$
  $= (\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y})+(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z})+(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y})$
  $\ge 2+2+2=6$ .
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
congchuacachua_53 | 10/05/2012 lúc 20:36

em cam on thay nhieu ak nho thay ma em lam tot bai kiem tra nang cao vua roi thank you vety much

ThíchThích

Trả lời
congchuacachua_53 | 10/05/2012 lúc 20:37

hom nao co bai kho nua em xin duok hoi thay nhe

ThíchThích

Trả lời
congchuacachua_53 | 11/05/2012 lúc 21:30

them mot bai nua thay nhe thay thong cam vi em dang on thi vao lop chuyen toan ak x/(x+can cua 3x+yz)+y/(y+cancua3y+zx) +Z/(z+cancua3z+xy) =<1 thay co giup em thay nhe

ThíchThích

Trả lời
vũ tuấn | 13/05/2012 lúc 11:15

thầy giải giúp em câu 5 đề thi thử lần 6 toán học tuổi trẻ. trong đáp án em ko thấy có lời giải !! cảm ơn thầy :))

ThíchThích

Trả lời
Bunhiacopxki | 09/06/2012 lúc 15:15

Giup em bai nay voi!!
1) Cho 0<x<1 va 0<y<2. Tim GTLN cua N=(1-x)(2-y)(4x+3y)
2) Tim cac so tu nhien khac 0 thoa man: x/y +y/z +z/x =3

ThíchThích

Trả lời
dieuhuong1998 | 03/07/2012 lúc 09:29

giup em bai ni voi
cho a,b,c>o va nho hon hoac bang 1.chung minh rang: 1/(a+b+c) lon hon hoac bang 1/3+ (1-a)(1-b)(1-c)

ThíchThích

Trả lời
- Longeobra | 06/07/2012 lúc 10:04
  
  Theo giả thiết ta có: $0 < a,b,c \le 1$ .
  Suy ra $(1-a)(1-b)(1-c) \ge 0 \Rightarrow \dfrac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c) \ge \dfrac{1}{3}$ .
  Mặt khác do $a,b,c \le 1$ nên $0 < a+b+c \le 3 \Rightarrow \dfrac{1}{a+b+c} \ge \dfrac{1}{3}$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
  - linh10a3 | 02/04/2013 lúc 19:12
    
    thầy làm sai thi phải cùng dấu sao cm dc như kia
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
Gia Thinh | 04/07/2012 lúc 20:58

Cam on thay vi bai hoc cua thay giup em nhieu lam

ThíchThích

Trả lời
nguyễn thế hưởng | 18/12/2012 lúc 14:09

Thầy có cách nào áp dụng thành thạo bddt côsi ko???

ThíchThích

Trả lời
linh10a3 | 02/04/2013 lúc 19:14

xem lại bai kia đi thầy

ThíchThích

Trả lời
kieu van hanh | 11/04/2013 lúc 20:30

thầy giải hộ em bài này với:
xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm âm:
x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0

ThíchThích

Trả lời
Hà Thị Thơm | 14/05/2013 lúc 17:46

thầy ơi giúp em bài này với,cho a,b,c>=0, a+b+c=1,tinh GTLN và GTNN của P= căn(a+b) + căn(b+c) + căn(c+a)

ThíchThích

Trả lời
- Hoan | 13/02/2014 lúc 21:16
  
  GTLN = căn 6
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
anhminh | 22/06/2013 lúc 17:36

GTLB la` 3

ThíchThích

Trả lời
vũ hoàng thắng | 22/06/2013 lúc 23:17

giải hộ bài này giúp với
x^3y^2>=(x+y)^2/2

ThíchThích

Trả lời
Hoan | 13/02/2014 lúc 21:11

Nhờ mn giải hộ e bài này:
Cho a,b,c >0
CMR : (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) >= (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)

ThíchThích

Trả lời

	hy trong Đề kiểm tra Hình học 10 (Tham…
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	Lê Văn Hùng trong Giải đề số 2 (Đề thi thử đại h…
	ho thi thu trong Phương trình đường thẳng trong…
	dangloc trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	hatch slack trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	manhhanthtt trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…
	Khoa trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

BĐT Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Bình luận về bài viết này

Comments 69

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

BĐT Côsi (Cơ bản)

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN) CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Chia sẻ:

Bình luận về bài viết này

Comments 69

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI