BĐT Côsi (Cơ bản)


 

Long

MT S BÀI TOÁN CHNG MINH BT ĐNG THC (CƠ BN)
CÓ TH
S DNG BT ĐNG THC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI 


Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm a, b:
\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} (1)
– Cách viết tương đương: a+b \geq 2\sqrt{ab}. (2)
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý a, b, ta có:
a^2+b^2 \geq 2ab (Vì \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0.

* Một số kết quả thường dùng:

a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0.

Thật vậy, vì a>0 nên \dfrac{1}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2.

\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0.

Thật vậy, vì a.b>0 nên \dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \dfrac{1}{x-1} nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1 (*)
x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}, ta có:
4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}
Hay 4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4. (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3.
Vậy 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3 (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}
\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2} (do x-1>0)
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng (x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab. (3)
Quay lại bài tập này, với mọi x\in [1; 5] thì x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)
\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3.

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. 4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}.
2. 1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2
3. Với mọi góc 0^o < \alpha < 90^o, ta có: \tan\alpha + \cot\alpha \geq 2.
4. (3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3].
5. (2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2].

—————
Chúc các em học tốt !

Advertisements
  1. Mr. SaoCoDon

    Chưa có ai biết bài tập ni hết phải ko Thầy? Hầu như thời điểm này chỉ toàn các anh chị 12 mà thôi. Khối 10,11 chẳng có ai cả. Mà BT Thầy ra phải gọi là hơi bị khó

    Số lượt thích

  2. cm rằng với a+b+c=2a,\; b,\;c dương:
    \dfrac{ab}{2-c} + \dfrac{bc}{2-a}+ \dfrac{ca}{2-b} \le 1
    giúp mình với

    Số lượt thích

  3. giúp em bài giải hpt có 1 phương trình log của đề số 13

    Số lượt thích

  4. hoc toan 10

    cho pt: 3{\rm{x}}^{\rm{2}}  - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0
    Xác định m để có 1 nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. tính nghiệm trong trường hợp đó.

    Số lượt thích

  5. thầy giải hộ em bài 5 câu b) đề “thi vào lớp 10 THPT,tỉnh Hà Tây năm 2008-2009”

    Số lượt thích

  6. cái bài của “hoc toan 10” dễ mà dùng vi ét có x1+x2=[2(m+1)]/3(1) mà theo đề bài giả sử ta có x1=3×2(2) nên thay vào (1) có 4×2=[2(m+1)]/3 nen x2=(m+1)/6 thế vào (2) suy ra x1=(m+1)/2 cuối cùng thế x1,x2 vào P=x1.x2=(3m-5)/3 rồi tìm đc m=7;m=3

    Số lượt thích

  7. Thay chi giup em cach goi dong co day hoc khai niem nguyen ham.

    Số lượt thích

  8. p3_thjk_toan

    rút gọn hộ e bt này vs’:
    A=5[{√(2+√3}+{√(3-√5)-√(5/2)]^2 + [√{2+√3}+{√(3-√5)-√(3/2)]^2
    +

    Số lượt thích

  9. hoakhongten2008

    em đang cần nâng cao kiến thức về bất đảng thức. mong thầy có thể cho em thêm một số bài tập về bất đẳng thức/ em cám ơn nhiều

    Số lượt thích

  10. phan thanh binh

    cho em biet lam sao de chung minh duoc bdt cosi voi 3 so a,b,c luon duong

    Số lượt thích

  11. mấy bác giup em cai bdt nay voi, với a, b, c > 0. CM 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9/a+b+c

    Số lượt thích

  12. yakumo_kyo_sai

    đá a+b+c qua bên kia rồi cosi 2 lần sau đó nhân lại là được

    Số lượt thích

  13. Em cam on cac admin

    Số lượt thích

  14. Dùng Cô Si cho 3 số ko âm bạn ak?

    Số lượt thích

  15. tk may bac

    Số lượt thích

  16. giúp mình giải bài này với:
    Cho a,b cùng dấu. hãy chứng minh đẳng thức sau:
    a)với a>b. chứng minh:1/a<1/b
    b)a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2

    Số lượt thích

  17. toj xin chan thanh cam on

    Số lượt thích

  18. thien hoang mi kim

    toi muon xem ve dang dong bac trong bdt cosi con nhung cai tren binh thuong qua

    Số lượt thích

  19. Adm cho e hoi cach su dung cosi vs, cac code /frae may e ko doc dc e ko hju j!!!___________online365.wapka.mobi

    Số lượt thích

  20. cho e hoi : e thấy sách ghi là |a+1/a|>=2 mà a lại ghi khác , zậy thì cái nào đúng . A giải thích dùm e tại sao lại có dấu gia ́trị tuyệt đối. Cam on a nhieu

    Số lượt thích

    • Em chú ý: a + \dfrac{1}{a} \ge 2,\forall a \ne 0
      Còn \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0 em à. Chú ý em nhé !
      ———
      Chứng minh \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0.
      Ta có: a\dfrac{1}{a} cùng dấu \forall a \ne 0 nên ta có \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| = \left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right|
      Lúc này: \left| a \right|\left| \dfrac{1}{a} \right| là các số dương, nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
      \left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right| \ge 2.\sqrt{\left| a \right|.\left| \dfrac{1}{a} \right|} = 2, với mọi a \ne 0
      Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

      Số lượt thích

  21. Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác. Cm: (b-c) bình thương < a bình phương

    Số lượt thích

  22. cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác
    CMR: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) >= 3

    Số lượt thích

  23. giúp em với a2/b+c + b2/c+a + c2/a+b > a + b + c / 2

    Số lượt thích

  24. huỳnh minh tho

    cái wed này ko có đăng kí thành viên hả thầy…! em thấy toán thầy giải dể hiểu thật ấy…!

    Số lượt thích

  25. huỳnh minh tho

    em sẽ ghé trang này thường xuyên để nhờ thầy giải dùm em một số bài toán khó!!!!

    Số lượt thích

  26. thay giai bai nay giup em voi: x^2-2(m-1)x+m^2=0.tim m de pt co dung 1 nghiem am

    Số lượt thích

  27. giải giùm e bai này ik …CMR;a^3/b+b^3/c+c^3/a>=(a+b+c)/2 với mọi a,b,c

    Số lượt thích

  28. thay oi ! em bi mat can ban toan lop 9 nen chu len lop 10 em hoc ma ko hieu gj het , thay giup em dc ko ? 😦

    Số lượt thích

  29. em cam on thay nhieu ak

    Số lượt thích

  30. thay giup em bai nay voi ak c/m a/b+c-a +b/a+c-b +c/a+b-c >=3
    thay giup em nhanh thay nhe em dag can gap lem ak hiihi

    Số lượt thích

  31. em cam on thay nhieu ak nho thay ma em lam tot bai kiem tra nang cao vua roi thank you vety much

    Số lượt thích

  32. hom nao co bai kho nua em xin duok hoi thay nhe

    Số lượt thích

  33. them mot bai nua thay nhe thay thong cam vi em dang on thi vao lop chuyen toan ak x/(x+can cua 3x+yz)+y/(y+cancua3y+zx) +Z/(z+cancua3z+xy) =<1 thay co giup em thay nhe

    Số lượt thích

  34. thầy giải giúp em câu 5 đề thi thử lần 6 toán học tuổi trẻ. trong đáp án em ko thấy có lời giải !! cảm ơn thầy :))

    Số lượt thích

  35. Bunhiacopxki

    Giup em bai nay voi!!
    1) Cho 0<x<1 va 0<y<2. Tim GTLN cua N=(1-x)(2-y)(4x+3y)
    2) Tim cac so tu nhien khac 0 thoa man: x/y +y/z +z/x =3

    Số lượt thích

  36. dieuhuong1998

    giup em bai ni voi
    cho a,b,c>o va nho hon hoac bang 1.chung minh rang: 1/(a+b+c) lon hon hoac bang 1/3+ (1-a)(1-b)(1-c)

    Số lượt thích

  37. Cam on thay vi bai hoc cua thay giup em nhieu lam

    Số lượt thích

  38. nguyễn thế hưởng

    Thầy có cách nào áp dụng thành thạo bddt côsi ko???

    Số lượt thích

  39. xem lại bai kia đi thầy

    Số lượt thích

  40. kieu van hanh

    thầy giải hộ em bài này với:
    xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm âm:
    x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0

    Số lượt thích

  41. thầy ơi giúp em bài này với,cho a,b,c>=0, a+b+c=1,tinh GTLN và GTNN của P= căn(a+b) + căn(b+c) + căn(c+a)

    Số lượt thích

  42. GTLB la` 3

    Số lượt thích

  43. vũ hoàng thắng

    giải hộ bài này giúp với
    x^3y^2>=(x+y)^2/2

    Số lượt thích

  44. Nhờ mn giải hộ e bài này:
    Cho a,b,c >0
    CMR : (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) >= (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)

    Số lượt thích

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: