Giải đề só 12


Trong đề này có câu III:

Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=\tan{x},\; y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{4}.

Với bài này tôi thiết nghỉ phải sửa đường x=\dfrac{\pi}{4} thành đường khác, chẳng hạn x=\dfrac{\pi}{3}
Bởi lẻ x=\dfrac{\pi}{4} là một hoành độ giao điểm của hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} nên nếu dùng x=\dfrac{\pi}{4} làm một cận thì cần còn lại chưa xác định được.

Vậy ta sẽ xét bài toán:
Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=\tan{x},\; y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{3}.

Giải:
* Hoành độ giao điểm của hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} là nghiệm của phương trình \tan{x}=\cot{x}
\Leftrightarrow \tan ^2 x = 1 \Leftrightarrow \tan x =  \pm 1
\Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi
Xét các nghiệm trong khoảng \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) ta được nghiệm duy nhất x=\dfrac{\pi}{4}. {Vì nếu xét các ngiệm ở ngoài khoảng này so với x=\dfrac{\pi}{3} thì hai đường y=\tan{x},\; y=\cot{x} bị gián đoạn}
* Xét vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y=\tan{x},\;x=\dfrac{\pi}{4},\;x=\dfrac{\pi}{3} và trục Ox quay quanh trục Ox.
Thể tích vật thể này bằng: V_1  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx}
* Xét vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y=\cot{x},\;x=\dfrac{\pi}{4},\;x=\dfrac{\pi}{3} và trục Ox quay quanh trục Ox.
Thể tích vật thể này bằng: V_2  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cot ^2 xdx}
* Thể tích vật thể cần tìm bằng: V = \left| {V_1  - V_2 } \right|
Bây giờ ta sẽ tính V_1 ; \; V_2
– Ta có V_1  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx}  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {1 + \tan ^2 x} \right)dx}  - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {1dx}
V_1  = \pi \left( {\left. {\tan x} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}}  - \left. x \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} } \right) = \pi \left( {\sqrt 3  - 1 - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)

(Chú ý: \int {\left( {1 + \tan ^2 x} \right)dx = \int {d\left( {\tan x} \right) = \tan x + C} } )

– Tương tự: V_2  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx}  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{{\tan ^2 x}}dx}
V_2  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\left( {1 + \tan ^2 x} \right) - \tan ^2 x}}{{\tan ^2 x}}dx}
V_2  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{1 + \tan ^2 x}}{{\tan ^2 x}}dx}  - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {1.dx}  = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{\tan ^2 x}}}  - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {dx}
V_2  = \pi \left( { - \left. {\dfrac{1}{{\tan x}}} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}}  - \left. x \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} } \right) = \pi \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)
* Vậy V = \pi \left| {\left( {\sqrt 3  - 1 - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)} \right| = \pi \left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} - 2} \right)

* Cần tránh nhầm lẫn rằng
V = \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\tan x - \cot x} \right)^2 dx}
* Đúng là V = \left| {\pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan ^2 xdx}  - \pi \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cot ^2 xdx} } \right|

Advertisements
  1. thầy Long giải thử bài V đề 12

    Số lượt thích

    • Câu này không khó bạn à.
      Đặt S = \dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 4}}{{C_n^2 }} + ... + \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + ... + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}

      Bạn chỉ cần để ý tính chất C_n^k = C_n^{n-k} là ra ngay thôi .

      Viết lại đẳng thức cần chứng minh theo công thức tổng quát:

      Rồi xét các trường hợp sau
      * Với n lẻ, ta có
      S = \left( {\dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}} \right) + \left( {\dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 2n - 2}}{{C_n^n }}} \right) + ...

      S = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }}} \right)}
      Ta để ý rằng
      \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }} = \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }}
      = \dfrac{{n - 2k + n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }} = \dfrac{0}{{C_n^k }} = 0
      Suy ra
      S = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^n 0  = 0

      * Trường hợp n chẵn, ta có
      S = \left( {\dfrac{n}{{C_n^0 }} + \dfrac{{n - 2n}}{{C_n^n }}} \right) + \left( {\dfrac{{n - 2}}{{C_n^1 }} + \dfrac{{n - 2n - 2}}{{C_n^n }}} \right) + ... + \dfrac{{n - 2.\frac{n}{2}}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }}
      Ta cũng có
      \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^{n - k} }} = \dfrac{{n - 2k}}{{C_n^k }} + \dfrac{{n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }}
      = \dfrac{{n - 2k + n - 2\left( {n - k} \right)}}{{C_n^k }} = \dfrac{0}{{C_n^k }} = 0
      và có \dfrac{{n - 2.\frac{n}{2}}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = \dfrac{{n - n}}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = \dfrac{0}{{C_n^{\frac{n}{2}} }} = 0
      Suy ra S=0.
      * Kết luận: S=0 với mọi số tự nhiên n

      Số lượt thích

  2. anhchangvuitinh

    câu diện tích xung quanh của hình lăng trụ là bao nhiêu thầy?

    Số lượt thích

  3. anhchangvuitinh

    thầy giải dùm em câu hình phẳng ở đề 12 câu 4 một nhỏ nha thầy. em thấy câu đó hơi khó.

    Số lượt thích

  4. thầy Long ơi!!giải giùm em câu IV với câu VI (câu 1) của đề 12

    Số lượt thích

  5. thay oi giup em voi: tim gia tri lon va nho nhat cua hs : y=|1+2\cos x|+|1+2\sin x|

    Số lượt thích

  6. thầy ơi!đề 12 có nhiều câu khó hỉu lắm.thầy giải lun di

    Số lượt thích

  7. thầy cho đáp án các câu còn lại được không ạ

    Số lượt thích

  8. đáp án câu hình kg trong căn phải là 3- 4 sin chứ ạ

    Số lượt thích

  9. 3-4sin^2

    Số lượt thích

  10. thầy ui!cám ơn thầy

    Số lượt thích

  11. sao co de co link tai loi giai de lai k co vay thay

    Số lượt thích

  12. thầy ơi, thầy giải câu, I.2 đi thầy,còn câu II2 có phải mình xét tính đồng biến của hàm số rồi suy ra nghiệm duy nhất ko thầy ?

    Số lượt thích

  13. thay ui! thay giai cau IV cau V gium Heo voi, hihi

    Số lượt thích

  14. bombtiensin

    thay ui!thay giai cau III cau v gium con

    Số lượt thích

  15. phuongnhj_pehe0sua

    thay oi thay co the cho em xin bai tap tich phan duoc khong da thay. Em cam on thay nhieu lem

    Số lượt thích

  1. Pingback: Giải đề thi đại học của Thầy Đỗ Cao Long «

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: