Gợi ý giải câu VII.b, Đề 11


Đề bài: Chứng minh rằng khi n chẵn, ta có:

\dfrac{{\cos nx}}{{\cos ^n x}} = 1 - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x - ... + \left( { - 1} \right)^k C_n^{2k} \tan ^{2k} x + ... + C_n^n \tan ^n x
Gợi ý giải:
Thông thường, khi chứng minh các đẳng thức chứa các hệ số tổ hợp C_n^k chúng ta thường gặp và sử dụng các phương pháp: khai triển nhị thức Newton, rồi dùng đạo hàm, dùng tích phân để biến đổi các nhị thức f\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)^n , sau đó chọn giá trị của a, b, x phù hợp để được kết quả.
Để vận dụng được các PP nêu trên, ta cần để ý đến dấu hiệu nhận biết các dạng đó.
Ở đây, với bài toán trên, ta sẽ vận dụng các PP nêu trên, tuy nhiên vấn đề ở đây là việc chịn các giá trị a, b, x để giải quyết vấn đề.
Nhận xét: Trong đẳng thưc cần chứng minh có chứa \tan x nên ta sẽ khai triển biểu thức dạng f\left( x \right) = \left( {a + b\tan x} \right)^n
Hãy xem lại Câu VII.b, Đề 10.
Ta chọn a=1,\; b=i !
Ta có f\left( x \right) = \left( {1 + i\tan x} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k 1^{n - k} i^k \tan ^k x}
f\left( x \right) = C_n^0  + C_n^1 i\tan x + C_n^2 i^2 \tan ^2 x + ... + C_n^n i^n \tan ^n x
f\left( x \right) = C_n^0  + C_n^1 i\tan x - C_n^2 \tan ^2 x - C_n^3 i\tan ^3 x + ... + C_n^n \tan ^n x
Tương tự, xét khai triển

g\left( x \right) = \left( {1 - i\tan x} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k 1^{n - k} \left( { - 1} \right)^k i^k \tan ^k x}
g\left( x \right) = C_n^0  - C_n^1 i\tan x + C_n^2 i^2 \tan ^2 x + ... + C_n^n i^n \tan ^n x
g\left( x \right) = C_n^0  - C_n^1 i\tan x - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^3 i\tan ^3 x + ... + C_n^n \tan ^n x
Đến đây, chỉ việc cộng f(x)+g(x) cho nhau theo vế.
Sau đó dùng công thức Moav-rơ để biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh.
Các em thử xem nhé !
Có gì thắc mắc hãy viết vào mục “Để lại hồi âm” thầy sẽ giải đáp.

Advertisements

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 07/06/2009, in Học tập, Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 5 phản hồi.

  1. nguyen tan duy

    kho hieu qa!

    Like

  2. Gợi ý tiếp theo :
    Lấy f(x)+g(x) ta được:
    f\left( x \right) + g\left( x \right) = 2\left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right)
    Với f\left( x \right) = \left( {1 + i\tan x} \right)^n  = \left( {1 + \dfrac{{i\sin x}}{{\cos x}}} \right)^n
    Theo công thức Moa-vrơ ta có
    f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {\cos x + i\sin x} \right)^n }}{{\cos ^n x}} = \dfrac{{\cos nx + i\sin nx}}{{\cos ^n x}}
    Tương tự ta cũng có
    g\left( x \right)   = \dfrac{{\cos nx - i\sin nx}}{{\cos ^n x}}
    Suy ra: f\left( x \right) + g\left( x \right) = \dfrac{{2\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Hay
    2\left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right) =\dfrac{{2\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Suy ra
    \left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right) =\dfrac{{\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Điều phải chứng minh

    Like

  3. người gọi cho thầy lucs chiều

    Câu 4: cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là 2a và đường cao bằng 2.Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (\alpha) chứa AB và đi qua trung điểm I cạnh SC .Tìm a để khoảng cách đạt GTLN

    Like

  4. thầy giải đề 12 lun đi

    Like

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: