Gợi ý giải câu VII.b, Đề 11


Đề bài: Chứng minh rằng khi n chẵn, ta có:

\dfrac{{\cos nx}}{{\cos ^n x}} = 1 - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x - ... + \left( { - 1} \right)^k C_n^{2k} \tan ^{2k} x + ... + C_n^n \tan ^n x
Gợi ý giải:
Thông thường, khi chứng minh các đẳng thức chứa các hệ số tổ hợp C_n^k chúng ta thường gặp và sử dụng các phương pháp: khai triển nhị thức Newton, rồi dùng đạo hàm, dùng tích phân để biến đổi các nhị thức f\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)^n , sau đó chọn giá trị của a, b, x phù hợp để được kết quả.
Để vận dụng được các PP nêu trên, ta cần để ý đến dấu hiệu nhận biết các dạng đó.
Ở đây, với bài toán trên, ta sẽ vận dụng các PP nêu trên, tuy nhiên vấn đề ở đây là việc chịn các giá trị a, b, x để giải quyết vấn đề.
Nhận xét: Trong đẳng thưc cần chứng minh có chứa \tan x nên ta sẽ khai triển biểu thức dạng f\left( x \right) = \left( {a + b\tan x} \right)^n
Hãy xem lại Câu VII.b, Đề 10.
Ta chọn a=1,\; b=i !
Ta có f\left( x \right) = \left( {1 + i\tan x} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k 1^{n - k} i^k \tan ^k x}
f\left( x \right) = C_n^0  + C_n^1 i\tan x + C_n^2 i^2 \tan ^2 x + ... + C_n^n i^n \tan ^n x
f\left( x \right) = C_n^0  + C_n^1 i\tan x - C_n^2 \tan ^2 x - C_n^3 i\tan ^3 x + ... + C_n^n \tan ^n x
Tương tự, xét khai triển

g\left( x \right) = \left( {1 - i\tan x} \right)^n  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k 1^{n - k} \left( { - 1} \right)^k i^k \tan ^k x}
g\left( x \right) = C_n^0  - C_n^1 i\tan x + C_n^2 i^2 \tan ^2 x + ... + C_n^n i^n \tan ^n x
g\left( x \right) = C_n^0  - C_n^1 i\tan x - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^3 i\tan ^3 x + ... + C_n^n \tan ^n x
Đến đây, chỉ việc cộng f(x)+g(x) cho nhau theo vế.
Sau đó dùng công thức Moav-rơ để biến đổi thành đẳng thức cần chứng minh.
Các em thử xem nhé !
Có gì thắc mắc hãy viết vào mục “Để lại hồi âm” thầy sẽ giải đáp.

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 07/06/2009, in Học tập, Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 5 phản hồi.

  1. nguyen tan duy

    kho hieu qa!

    Like

  2. Gợi ý tiếp theo :
    Lấy f(x)+g(x) ta được:
    f\left( x \right) + g\left( x \right) = 2\left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right)
    Với f\left( x \right) = \left( {1 + i\tan x} \right)^n  = \left( {1 + \dfrac{{i\sin x}}{{\cos x}}} \right)^n
    Theo công thức Moa-vrơ ta có
    f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {\cos x + i\sin x} \right)^n }}{{\cos ^n x}} = \dfrac{{\cos nx + i\sin nx}}{{\cos ^n x}}
    Tương tự ta cũng có
    g\left( x \right)   = \dfrac{{\cos nx - i\sin nx}}{{\cos ^n x}}
    Suy ra: f\left( x \right) + g\left( x \right) = \dfrac{{2\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Hay
    2\left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right) =\dfrac{{2\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Suy ra
    \left( {C_n^0  - C_n^2 \tan ^2 x + C_n^4 \tan ^4 x + ... + C_n^n \tan ^n x} \right) =\dfrac{{\cos nx}}{{\cos ^n x}}
    Điều phải chứng minh

    Like

  3. người gọi cho thầy lucs chiều

    Câu 4: cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy là 2a và đường cao bằng 2.Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (\alpha) chứa AB và đi qua trung điểm I cạnh SC .Tìm a để khoảng cách đạt GTLN

    Like

  4. thầy giải đề 12 lun đi

    Like

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: