Số phức (cơ bản)

Chuyên đề : Số phức

· Số có dạng $z = a + bi$ , trong đó $a,b \in \mathbb{R},\,i^2=- 1$ , gọi là số phức. Trong đó $a$ gọi là phần thực, còn $b$ gọi là phần ảo của $z=a+bi$ .

– Số $\overline z = a - bi$ , gọi là số phức liên hợp của $z = a + bi$

– $| z | = \sqrt {a^2+ b^2 }$ , gọi là mô đun của số phức $z = a + bi$

· Cộng, trừ, nhânsố phức: Cho hai số phức $z_1= a + bi;\,z_2= c + di$ .

– Cộng, trừ số phức: $z_1\pm z_2= \left( {a \pm c} \right) + \left( {b \pm d} \right)i$

– Nhân số phức: $z_1 z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$ .

Lưu ý: $\overline z= (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

Ví dụ: $(2-i)(3+2i)=2.3-2.i^2+4i-3i =8+i$ , (Vì $i^2=-1$

· Phép chia số phức:

$\dfrac{{z_1 }}{{z_2 }} = \dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c - di} \right)}}= \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{c^2 + d^2 }}$

Ví dụ:

1) $\left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}$
$= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
$= 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i$
$= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$

2) $\dfrac{1}{{3 + \sqrt 2 i}} = \dfrac{{1.\left( {3 - \sqrt 2 i} \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 2 i} \right)\left( {3 - \sqrt 2 i} \right)}} = \dfrac{{3 - \sqrt 2 i}}{{11}} = \dfrac{3}{{11}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{11}}i$

· Số $z^{ - 1}= \frac{1}{{a + bi}}$ , gọi là số phức nghịch đảo của $z = a + bi$

· Căn bậc hai của số thực âm:

Cho số thực $a < 0$ , khi đó số $a$ có hai căn bậc hai là: $i\sqrt {\left| a \right|}$ và $- i\sqrt {\left| a \right|}$

· Điểm $M\left( {a;b} \right)$ , biểu điễn trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục $Oxy$ được gọi là điểm biểu diễn của số phức $z=a+bi$ .

· Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức $z_1= a + bi;\,z_2= c + di$ .

Khi đó $a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = c \\b = d \\\end{array} \right.$

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

I. Tính toán trên số phức

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của $z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right) + \dfrac{1}{{3 + i}}$

Giải:

· Ta có $z = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{\left( {3 + i} \right)\left( {3 - i} \right)}} = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{10}}$

Hay $z = \left( {5 + \dfrac{3}{{10}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{{10}}} \right)i = \dfrac{{53}}{{10}} + \dfrac{9}{{10}}i$ .

· Suy ra số phức liên hợp của $z$ bằng

$\overline z= \dfrac{{53}}{{10}} - \dfrac{9}{{10}}i$

Ví dụ 2: Tìm mô đun của $z = \dfrac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{1 + 2i}}$ .

Giải:

· Ta có $z = \dfrac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}$

Hay $z = \dfrac{{5 + i}}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}i$

· Vậy, mô đun của $z$ bằng

$|z| = \sqrt {1^2+ \left( {\dfrac{1}{5}} \right)^2 }= \sqrt {\dfrac{{26}}{{25}}}= \dfrac{{\sqrt {26} }}{5}$

Ví dụ 3: Tìm các số thực $x, \, y$ thỏa mãn $3x + y + 5xi = 2y - 1 + \left( {x - y} \right)i$ .

Giải:

· Theo giả thiết, ta có $\left( {3x + y} \right) + \left( {5x} \right)i = \left( {2y - 1} \right) + \left( {x - y} \right)i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1 \\5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - y =- 1 \\4x + y = 0 \end{array} \right.$

· Giải hệ trên ta được $x =- \dfrac{1}{7};\,y = \dfrac{4}{7}$

II. Tìm căn bậc hai của số phức

Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của $z = 3 - 2i$ .

Giải:

· Giả sử số $a+bi$ là căn bậc hai của $z = 8 - 2i$ . Khi đó ta có $\left( {a + bi} \right)^2= 8 - 2i$

$\Leftrightarrow \left( {a^2- b^2 } \right) + 2abi = 8 - 2i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a^2- b^2= 8 \\2ab =- 2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2- b^2= 8 \\ab =- 1 \\\end{array} \right.$

· Giải hệ này ta được hai nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} a =- \sqrt {65\sqrt {17}- 268}- 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b = \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}a =+ \sqrt {65\sqrt {17}- 268}+ 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b =- \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.$

· Vậy, số $z = 8 - 2i$ có hai căn bậc hai dạng $a+bi$ , với

$\left\{ \begin{array}{l} a =- \sqrt {65\sqrt {17}- 268}- 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b = \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{array}{l} a =+ \sqrt {65\sqrt {17}- 268}+ 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b =- \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.$

III. Khai triển lũy thừa

Ví dụ 5: Tính $z = \left( {1 + i} \right)^{15}$

Giải:

· Ta có $\left( {1 + i} \right)^2= 1 + 2i - 1 = 2i$

· $z = \left( {1 + i} \right)^{15}= \left( {1 + i} \right)^{14} \left( {1 + i} \right)$

$z = \left[ {\left( {1 + i} \right)^2 } \right]^7 .\left( {1 + i} \right) = \left( {2i} \right)^7 .\left( {1 + i} \right)$

Lại có $i^7= i^6 .i = \left( {i^2 } \right)^3 .i = \left( { - 1} \right)^3 .i =- i$ .

· Suy ra

$z = 2^7 .i^7 \left( {1 + i} \right) =- 2^7 i\left( {i + 1} \right) =- 2^7 \left( { - 1 + i} \right)$

· Vậy $z = 128 - 128i$

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

View all posts by Longeobra »

Posted on 22/04/2009, in Số phức, Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 25 bình luận.

Bình luận về bài viết này
Comments 25

kjd | 27/09/2009 lúc 21:47

Thưa thầy! hiện tại em đang “bí” ở một bài toán mang tính chất số phức như sau, nhờ thầy tư vấn giúp em. Em cám ơn thầy rất nhiều:

Giải PT PHỨC sau: x^2 – x + i = 0

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 02/10/2009 lúc 03:11
  
  Em vẫn tính $\Delta$ và giải như phương trình hệ số thực. Chỉ khác ở chỗ tính căn bậc hai của delta là căn bậc hai của số phức, các em đọc lại chương trình ở SGK GIải tích 12 đó.
  —
  Giải:
  * $\Delta = (-1)^2 - 4.i = 1 - 4.i$
  Giả sử $\Delta = 1 - 4.i = (a+b.i)^2, \; a, \, b \in \mathbb{R}$
  $\Leftrightarrow 1 - 4.i = a^2 - b^2 +2ab.i$
  Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} a^2 - b^2 = 1 \\ 2ab = - 4 \end{array} \right.$
  Giải hệ này được $a = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8};\,b = - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8}$
  hoặc $a = - \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8};\,b = \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8}$
  Tóm lại $\Delta = 1 - 4.i = ( \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8} - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8}. i )^2$
  Suy ra căn của delta bằng
  $\sqrt{\Delta} = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8} - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17} - 2} }}{8}. i$
  * Từ đó viết hai nghiệm của phương trình theo công thức !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
quetieuthu | 11/11/2009 lúc 22:12

em muon’ hoi cac’ dang toan’ ve` so’ phuc’ de thi dh la` j

ThíchThích

Trả lời
Jess | 02/04/2011 lúc 20:32

Em chào thầy,
Trong bài viết của thầy có 1 vài lỗi nhỏ, em chỉ ra cho thầy chỉnh lại cho bài viết chính xác hơn:
1. Chỗ phần “Lưu ý” đầu tiên nói về số phức nhân vs số phức liên hợp thầy gõ thiếu chữ z.
2. Bài VD2, giá trị tử số thầy tính nhầm ạ, lẽ ra phải là 5-5i.

Thân,

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 05/04/2011 lúc 09:15
  
  Cảm ơn em nhiều !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
Thanh | 15/07/2011 lúc 21:42

Em chào thầy ! Năm nay e ôn thi đại học , nhưg e chọn cách ôn trên mạg , vậy e có 1 yêu cầu nhỏ đc ko ạ . Thầy có thể post bài trực tiếp lên mạg đc ko ạ . E vô mạg bằg điện thoại nên có 1 số bài thầy up tài liệu e ko tham khảo đc , e mog thầy giúp đỡ e đc ko ạ . E rất cám ơn thầy !

ThíchThích

Trả lời
- caolong | 20/07/2011 lúc 22:33
  
  Vâng. Thầy sẽ viết trực tiếp một số bài lên weblog này.
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
phuong | 22/02/2012 lúc 20:45

thay giai giup em bai nay nha
(i-1)^2012

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 23/02/2012 lúc 19:30
  
  Để làm dạng này em cần chú ý 2 kết quả sau:
  $(i-1)^2 = i^2-2i+1= -2i$
  $i^{4n}=(i^4)^n=1^n=1$ , với mọi $n$ nguyên dương.
  —
  Ta có $(i-1)^{2012} = ((i-1)^2)^{1006}=(-2i)^{1006} = (-2)^{1006}.i^{1006}$ , $(*)$
  Mà $i^{1006}=i^{251.4+2} = i^2.i^{4.251}=-1.(i^4)^{251} = -1.(1^{251}) = -1$
  Vậy, thay vào $(*)$ ta được: $(i-1)^{2012} = (-2)^{1006}.(-1) = -2^{1006}$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
nguyen van hoi | 21/03/2012 lúc 22:51

thay oi giup em bai nay voi (1 – i)^2009 cam on thay nhiu

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 22/03/2012 lúc 07:24
  
  Xét số phức $z = 1-i$ .
  Cách 1:
  Ta có $z^2 = (1-i)^2= 1-2i+i^2= -2i$
  Suy ra: $z^{2008} = (z^2)^{1004} = (-2i)^{1004} = (-2)^{1004}.i^{1004}$
  $\Leftrightarrow z^{2008} = (2)^{1004}.(i^2)^{502} = (2)^{1004}.(-1)^{502} = (2)^{1004}$
  Do đó: $z^{2009} = z^{2008}.z = (2)^{1004} (1-i) = 2^{1004} - 2^{1004}i$
  Cách 2:
  Dạng lượng giác của số $z$ là $z = 1-i = \sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2}(\cos{\dfrac{-\pi}{4}}+\sin{\dfrac{-\pi}{4}}i)$
  Theo công thức Moivre, ta có:
  $z^{2009} = (1-i)^{2009} = \sqrt{2}^{2009}(\cos{\dfrac{-2009\pi}{4}}+\sin{\dfrac{-2009\pi}{4}}i)$
  Với $\cos{\dfrac{-2009\pi}{4}} = \cos{(-\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{2008\pi}{4})}= \cos{(-\dfrac{\pi}{4} - 502\pi)} = \cos{-\dfrac{\pi}{4}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  và tương tự, ta có: $\sin{\dfrac{-2009\pi}{4}} =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  Suy ra:
  $z^{2009} = \sqrt{2}^{2009}.(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2}^{2008} (1-i) = 2^{1004}(1-i)$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
nguyen van hoi | 21/03/2012 lúc 22:56

giup em bai nay nua thay l z – 2 + 3i l=3/2 tim so phuc z co modun nho nhat ?

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 22/03/2012 lúc 08:22
  
  Xét $z=x+yi$ với $x,y \in \mathbb{R}$
  Ta có môđun của $z$ bằng: $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
  Đặt $m = x^2+y^2$ , khi đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $m$ nhỏ nhất.
  Theo giả thiết, ta có $\left| z-2+3i \right|= \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}=\dfrac{3}{2}$
  $\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+13=\dfrac{9}{4}$
  $\Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0$
  Xét hệ: $\left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\x^2+y^2=m \end{array} \right.$
  Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được hệ tương đương:
  $\left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\ m-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\ -4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.$
  Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng $d:-4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0$ và đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0$ có điểm chung.
  $\Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm $I(2;-3)$ của $(C)$ đến $d$ nhỏ hơn hoặc bằng bán kính $r=\dfrac{3}{2}$ của đường tròn $(C)$ .
  $\Leftrightarrow \dfrac{|-4.2+6.(-3)+m+\dfrac{43}{4}|}{\sqrt{(-4)^2+6^2}} \le \dfrac{3}{2}$
  $\Leftrightarrow |m-\dfrac{61}{4}| \le 3\sqrt{13}$
  $\Leftrightarrow -3\sqrt{13} \le m-\dfrac{61}{4} \le 3\sqrt{13}$
  $\Leftrightarrow -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} \le m \le 3\sqrt{13}+\dfrac{61}{4}$
  Từ đó suy ra, giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng $m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}$ đạt được khi
  $\left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2= m \\ -4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2= -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} \\ -4x+6y -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.$
  Em giải hệ này sẽ tìm được $x, y$ suy ra số phức cần tìm nhe !
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
- Đỗ Cao Long | 22/03/2012 lúc 19:31
  
  Cách 2:
  Xét $z=x+yi$ với $x,y \in \mathbb{R}$
  Ta có môđun của $z$ bằng: $| z | = \sqrt{x^2+y^2}$
  Đặt $m = x^2+y^2$ , khi đó $\left| z \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $m$ nhỏ nhất.
  Theo giả thiết, ta có $\left| z-2+3i \right|= \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}=\dfrac{3}{2}$
  $\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+13=\dfrac{9}{4}$
  $\Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0$
  Xét hệ: $\left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\x^2+y^2=m \end{array} \right.$
  Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn $(C_1): x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0$ và đường tròn $(C_2):x^2+y^2=m$ có điểm chung.
  Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $r_1 = \dfrac{3}{2}$
  Đường tròn $(C_2)$ có tâm $O(0;0)$ và bán kính $r_2 = \sqrt{m}$ , với $m > 0$
  Hai đường tròn trên có điểm chung khi và chỉ khi
  $\left \{ \begin{array}{l} r_1+r_2 \ge IO \\ | r_1 - r_2 | \le IO \end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2}+\sqrt{m} \ge \sqrt{13} \\ | \dfrac{3}{2} - \sqrt{m} | \le \sqrt{13} \end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \sqrt{m} \ge \sqrt{13} -\dfrac{3}{2} \\ -\sqrt{13} \le \dfrac{3}{2} - \sqrt{m} \le \sqrt{13} \end{array} \right.$
  $\Leftrightarrow \sqrt{13} -\dfrac{3}{2} \le \sqrt{m} \le \sqrt{13} + \dfrac{3}{2}$
  $\Leftrightarrow \dfrac{61}{4}-3\sqrt{13} \le m \le \dfrac{61}{4}+3\sqrt{13}$
  Từ đó suy ra, giá trị nhỏ nhất của $m$ bằng $m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}$ đạt được khi $r_1+r_2=m$
  $\Leftrightarrow$ hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài với nhau.
  Xét đường thẳng $d$ đi qua $I$ và $O$ có phương trình $d: y=-\dfrac{3}{2} x$
  Hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau tại giao điểm của $d$ với $(C_1)$ .
  Thay $y=-\dfrac{3}{2} x$ vào phương trình của $(C_1)$ ta được:
  $x^2+(-\dfrac{3}{2} x)^2-4x+6(-\dfrac{3}{2} x)+\dfrac{43}{4}=0$
  $\Leftrightarrow \dfrac{13}{4} x^2-13x+\dfrac{43}{4}=0$
  $\Leftrightarrow 13 x^2-52x+43=0$
  $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{26-\sqrt{117}}{13} \\ x=\dfrac{26+\sqrt{117}}{13} \end{array} \right.$
  Suy ra $d$ và $(C_1)$ cắt nhau tại hai điểm:
  $M(\dfrac{26-\sqrt{117}}{13}; \dfrac{-3(26-\sqrt{117})}{26}), \; N(\dfrac{26+\sqrt{117}}{13}; \dfrac{-3(26+\sqrt{117})}{26})$
  Kiểm tra lại ta có $(x_M)^2+(y_M)^2 = m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}$
  Vậy, số phức cần tìm là: $z = \dfrac{26-\sqrt{117}}{13} - \dfrac{3(26-\sqrt{117})}{26}i$
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
  - Đỗ Cao Long | 22/03/2012 lúc 20:01
    
    Nhận xét: Bài toán có thể mở rộng thành yêu cầu: Tìm số phức $z$ có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện $| z - 2 + 3i | = \dfrac{3}{2}$
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
bich nhu | 01/04/2012 lúc 12:12

Thay cho em hoi. co 1 so bai em em giai theo cach cua em va trinh tu hoan toan dung nhung tai sao ket qua lai khac thay a? Giong nhu bai vd1
(2-3i)(3+i)+ __1__
2 – i
= 9-7i + __1__
2-i
= (9 – 7i)(2 – i) + 1
2 – i
= 18 – 9i – 14i + 7i^2 + 1
2 – 1
= 12 – 23i
2-i
= (12 – 23i)(2 + i)
(2 – i)(2 + i)
24 + 12i – 46i – 23^2
4 – i^2
= 47 – 34i
5
= _47_ – _34_i
5 5

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 02/04/2012 lúc 11:45
  
  Trong lời giải:
  $\left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i$
  $= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$
  Thầy có nhầm ở chỗ: Từ dấu = thứ hai sang dấu = thứ ba.
  Phải sử lại là:
  $\left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) + \left( {-7 + \dfrac{1}{5}} \right)i$
  $= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{34}}{5}i$
  hoàn toàn giống kết quả của em.
  Thầy có sai sót ! 🙂
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
bich nhu | 01/04/2012 lúc 12:23

Thay cho em hoi. co 1 so bai em giai theo cach cua em va trinh tu hoan toan dung nhung tai sao ket qua lai khac thay a? Giong nhu bai vd1
(2 – 3i)(3 + i) + 1/(2 – i)
= 9 – 7i + 1/(2 – i)
= [(9 – 7i)(2 – 1) + 1)]/(2 – i)
= (18 – 9i – 14i + 7i^2 + 1)/(2 – i)
= (12 – 23i)/(2 – i)
= [(12 – 23i)(2 + i)]/[(2 – i)(2 + i)]
= (24 + 12i – 46i – 23i^2)/5
= (45 – 34i)/5
= 47/5 – 34i/5
* vi em khong biet cach ghi phan so nen thay thong cam. thanks thay a.

ThíchThích

Trả lời
- Đỗ Cao Long | 02/04/2012 lúc 11:48
  
  Thầy có nhầm trong lời giải sau:
  $\left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i$
  $= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i$
  Thầy có nhầm ở chỗ: Từ dấu = thứ hai sang dấu = thứ ba.
  Phải sử lại là:
  $\left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}$
  $= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) + \left( {-7 + \dfrac{1}{5}} \right)i$
  $= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{34}}{5}i$
  hoàn toàn giống kết quả của em.
  Thầy có sai sót ! 🙂
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
bt | 13/04/2012 lúc 23:08

thay co the co nhiu baj tap hon ko

ThíchThích

Trả lời
Học Tốt | 03/07/2012 lúc 06:22

Cái Vd 4 đề là a=3 sao lúc đặt lại a=8 thế thầy

ThíchThích

Trả lời
yen yen my | 18/03/2013 lúc 19:42

thầy ơi có tồn tại căn bậc hai của số âm như cách viết trong số thực không ạ

ThíchThích

Trả lời
- yen yen my | 18/03/2013 lúc 19:43
  
  thầy ơi có tồn tại cách viết căn bậc hai của số âm như cách viết trong số thực không ạ
  
  ThíchThích
  
  Trả lời
  - Longeobra | 19/03/2013 lúc 20:26
    
    Ở chương trình phổ thông (trong chương Số phức) ta chỉ nói “căn bậc hai của số thực âm” chứ không viết em à.
    
    ThíchThích
    
    Trả lời
phungdt | 12/04/2013 lúc 15:47

Thưa thầy, công thức tính mô đun này có được áp dụng không ạ:
I z1/z2 I = Iz1I/Iz2I
E không thấy tài liệu nào ghi cả.

ThíchThích

Trả lời

	hy trong Đề kiểm tra Hình học 10 (Tham…
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	likemath trong Các bước khảo sát hàm số
	Lê Văn Hùng trong Giải đề số 2 (Đề thi thử đại h…
	ho thi thu trong Phương trình đường thẳng trong…
	dangloc trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	hatch slack trong Tính chẵn, lẻ của hàm số
	manhhanthtt trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…
	Khoa trong Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyê…

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Số phức (cơ bản)

Chuyên đề : Số phức

About Longeobra

Bình luận về bài viết này

Comments 25

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến

Đỗ Cao Long's Blog.

Dạy Toán cơ bản cho học sinh yếu môn Toán!

Số phức (cơ bản)

Chuyên đề : Số phức

Chia sẻ:

About Longeobra

Bình luận về bài viết này

Comments 25

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Bài viết mới

Xem bài theo Chuyên đề

Các trang chính

Số lượt truy cập

Đang Online

Chào ngày mới

Rank

Giáo dục-Khuyến học (Dân trí)

Top Rated

Liên kết Web

Web học tập

Ý kiến