Diện tích-Thể tích


I. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x=a, \, x=b.

S=\int_{a}^{b} |f(x)| dx

Để tính tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y=|f(x)| trên đoạn \lbrack a; b\rbrack, chúng ta làm như  sau:

– Giải phương trình f(x)=0 và tìm các nghiệm x_{1}, x_{2},...,x_{n} thuộc khoảng (a; b), n\in\mathbb{N}.

– Trên mỗi khoảng (a; x_{1}), (x_{1}; x_{2}),...,(x_{n}; b) thì biểu thức f(x) có dấu không thay đổi nên ta có:

$latex  S=\int_{a}^{x_{1}} |f(x)| dx+  \int_{x_{1}}^{x_{2}} |f(x)| dx+…+ \int_{x_{n}}^{b} |f(x)| dx $.

S=|\int_{a}^{x_{1}} f(x)dx|+ |\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x)dx|+...+|\int_{x_{n}}^{b} f(x)dx|.

Chú ý rằng: Nếu hàm số y=f(x) không đổi dấu trên khoảng (a; b) thì \int_{a}^{b} |f(x)|dx=|\int_{a}^{b} f(x)dx|.

MỘT SỐ BÀI TOÁN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y=x^3-2x^2-x+2, trục  Ox và hai đường thẳng x=0; x=3.

Lời giải:

♣ Diện tích hình phẳng ần tìm bằng S=\int_{0}^{3} {|x^3-2x^2-x+2|}dx.

♣ Trên đoạn \left[ 0; 3 \right] , ta có:
x^3-2x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x=1; x=2.

♣ Do đó ta có
S=\int_{0}^{1} {|x^3-2x^2-x+2|}dx + \int_{1}^{2} {|x^3-2x^2-x+2|}dx
+ \int_{2}^{3} {|x^3-2x^2-x+2|}dx

S= |\int_{0}^{1} {x^3-2x^2-x+2}dx|+ |\int_{1}^{2} {x^3-2x^2-x+2}dx|
+|\int_{2}^{3} {x^3-2x^2-x+2}dx|

Ta có:
S=| (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{0}^{1} | + | (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{1}^{2} | + | (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{2}^{3} |.

S=|\dfrac{13}{12}|+|\dfrac{-5}{12}|+|\dfrac{37}{12}|=\dfrac{55}{12}

♣ Diện tích hình phẳng cần xác định bằng \dfrac{55}{12} (đvdt)

Bài tập tương tự:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=\sin 2x, trục Ox , hai đường thẳng x=\dfrac{-\pi}{6}; x=\dfrac{5\pi}{6}.

II. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x); y=g(x) và hai đường thẳng x=a, \, x=b.

S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)| dx
Cách tính tích phân này hoàn toàn như trên.

Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=\sin x ; y=\cos x và hai đường thẳng x=\dfrac{\pi}{6}; x=\dfrac{\pi}{3}

Giải:

♣Diện tích hình phẳng cần tìm bằng

S=\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}} |\sin x- \cos x | dx.

♣ Trên đoạn \left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{3} \right] ta có: \sin x - \cos x =0
\Leftrightarrow\sin x = \cos x \Leftrightarrow\tan x =1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}.

Do đó: S =\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}} |\sin x- \cos x | dx +\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}} |\sin x- \cos x | dx

S= |\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}} {\sin x- \cos x}dx |+|\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}} {\sin x- \cos x}dx |

S = |\left(-\cos x - \sin x \right)|_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{4}} + | \left(-\cos x - \sin x \right)|_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}

S=|\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}|

Vậy S=2\sqrt{2}-\sqrt{3}-1.

Advertisements

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 05/02/2009, in Tích phân and tagged . Bookmark the permalink. Bạn nghĩ gì về bài viết này?.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: