Wrong in the changing variables of integrator


SAI LẦM TRONG ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN

Trong quá trình trình bày lời giải các bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến một số học sinh thường mắc sai lầm sau:

Ví dụ : Tính tích phân I=\int_{\sqrt{5}} ^{2\sqrt{3}} \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}

Xem lời giải sau: Đặt t=\sqrt{x^2+4} ta có:
t^2=x^2+4 \Rightarrow tdt=xdx dx=\dfrac{tdt}{x}x^2=t^2-4.

Vơí x=\sqrt{5} ta có t=3; x=2\sqrt{3} ta có t=4.

Suy ra I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{x^2 .t}=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{(t^2-4) .t} =\int_{3}^4 \dfrac{dt}{(t^2-4)}

————-

Hỏi: Lời giải trên có sai lầm chỗ nào không ?
Trả lời: Có một sai lầm nhỏ mà rất nhiều học sinh không chú ý đó là khi viết I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{x^2 .t}. Viết như thế là không đúng vì cậnn tích phân là từ 3 - 4 là của biến t trong khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa cả biến x.

—–

Một cách khắc phục:

Rõ ràng trong khoảng {\lbrack \sqrt{5}; 2\sqrt{3} \rbrack} thì x>0 nên có thể nhân tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với x.

Ta có: I=\int_{\sqrt{5}}^{2\sqrt{3}} \dfrac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+4}}.

Đặt t=\sqrt{x^2+4} ta có:

t^2=x^2+4 \Rightarrow tdt=xdx , x^2=t^2-4.

Vơí x=\sqrt{5} ta có t=3; x=2\sqrt{3} ta có t=4.

Vậy I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{(t^2-4)t} =\int_{3}^4 \dfrac{dt}{t^2-4}.

Như vậy, với việc nhân thêm x để làm xuất hiện xdx=tdt giúp ta không cần phải biểu thị (rút) dx theo t dễ mắc sai lầm như trên.

Bookmark and Share

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 14/01/2009, in Tích phân. Bookmark the permalink. 2 phản hồi.

  1. Từ chỗ tdt = xdx \Rightarrow dx = { \dfrac{t}{x}} dt cũng không ổn Thầy à. Nếu đúng bản chất và định nghĩa của vi phân thì dy = y'(x) dx với y'(x) là biểu thức theo biến x. Do đó cần phải viết: dx = \dfrac{t}{\sqrt{t^2 - 4}}dt

    Like

    • Vâng !
      Em cảm ơn Thầy Nhân nhiều. Chúc Thầy cùng gia đình một năm mới an lành, hạnh phúc.
      Chúc Thầy có nhiều bài viết hay giúp cho sinh viên phát huy khả năng tự học, tự sáng tạo của mình.

      Like

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: