Bài toán đạo hàm hàm số căn bậc n

Th10 13

Posted by


Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm của hàm số căn bậc n (n \in \mathbb{N}, n \geq 1

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y= \sqrt[5]{x-3} \\[4pt] trên tập xác định của nó ?

Lời giải (sai):

* Tập xác định: D= \mathbb{R}

* Ta có: y= (x-3)^{\frac{1}{5}}.

Do đó: y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.

Lời Bình:

Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ đó là, khi viết y= \sqrt[5]{x-3} = (x-3)^{\frac{1}{5}} thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp x-3>0 \Leftrightarrow x>3, không phải đúng với mọi x \in \mathbb{R}.

Như vậy, nếu chú ý đến điều đó thì chúng ta cần xét hai trường hợp: x>3 và x \leq 3.

Lời giải cụ thể cho hai trường hợp trên như sau:

TH1: Với mọi x>3, ta có y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}.

TH2: Với mọi x<3, ta viết lại y= \sqrt[5]{x-3} = \sqrt[5]{-(3-x)} = - \sqrt[5]{3-x}.
Khi đó do x<3 nên 3-x>0, vì vậy ta viết được y= \sqrt[5]{x-3} = -(3-x)^{\frac{1}{5}}.

Suy ra: y' = -\dfrac{1}{5} (3-x)^{\frac{-4}{5}}(3-x)' = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(3-x)^4}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}. Vậy kết quả trường hợp này như kết quả trường hợp 1.

Lưu ý: Chúng ta chỉ mới xét x<3 để có được 3-x>0 khi đó mới viết từ dạng căn sang lũy thừa.

TH3: Do đó chúng ta cần xét thêm trường hợp x=3.
Trường hợp này phải tính đạo hàm sao đây ?

Oh. Chỉ còn cách dùng định nghĩa đạo hàm thôi. Tính đạo hàm tại một điểm ! (Xem lại lý thuyết và thử làm xem nhé)
Vấn đề này tỏ ra phức tạp rồi, phải không ?
Vậy còn có cách nào để giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn không ?

———————–

Cách 2: Một cách khác để khắc phục nhược điểm của cách tính trên (chưa tính được đạo hàm hàm số tại x=3).

Với mọi x \in \mathbb{R}, ta có: y = \sqrt[5]{x-3} \Leftrightarrow y^5 = x-3.

Xem y là hàm số hợp (theo biến x), lấy đạo hàm hai vế, ta được:
(y^5)' = (x-3)' \Leftrightarrow 5y^4.y' = 1. (*)

Trường hợp y= 0 \Leftrightarrow x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3 thì (*) vô nghiệm.

Trường hợp x \ne 3 \Leftrightarrow y \ne 0, ta có: y' = \dfrac{1}{5y^4}.

Kết luận: y'= \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.  Tại x=3 hàm số không có đạo hàm.

Nhận xét: Qua Ví dụ này các em học sinh cần lưu ý khi viết một biểu thức dạng căn thức (bậc n) sang dạng lũy thừa cần lưu ý đến điều kiện của biểu thức (dương).

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 13/10/2008, in Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 22 bình luận.

  1. BRK | 26/07/2009 lúc 10:51

    cho em hỏi, vì sao ko biến đổi đc dưới dạng lũy thừa nếu (x-3)<0 ??? em thấy đây là căn bậc lẻ nên đâu có ảnh hưởng gì đâu ạ????

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 30/07/2009 lúc 11:12

      Theo định nghĩa “Lũy thừa với số mũ hữu tỷ” thì cơ số phải là “số dương” em à !
      Em xem lại định nghĩa ở sách giáo khoa nhé !
      Theo định nghĩa đó thì nếu viết {(x-3)}^{\frac{1}{3}} ta cần có điều kiện x-3>0
      Còn viết \sqrt[3]{x-3} thì không cần điều kiện đó !
      Hai cách viết trên hoàn toàn khác nhau đó em !
      Từ đó, ta chỉ viết được \sqrt[3]{x-3}={(x-3)}^{\frac{1}{3}} khi x-3>0
      Còn nếu x-3 \leq 0 thì chỉ có \sqrt[3]{x-3} tồn tại thôi.

      Thích

      Trả lời
  2. bui van toan | 03/11/2009 lúc 20:33

    tinh dạo ham can bac n ma bien trong can co mu 3,4,5,…,m tinh nhu the nao

    Thích

    Trả lời
  3. tuyenk8c | 10/01/2010 lúc 03:12

    em thấy it ai để ý đến điều kiện của lũy thừa với số mũ hữu tỉ nắm .Thế nếu em không xét điều kiện cơ số dương thì có bị sai không ạ

    Thích

    Trả lời
  4. huyhung | 19/10/2010 lúc 01:32

    cho em hoi la : Tich phan tu -1 den -3 cua can bac 3 cua x thi tinh lam sao a?

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 26/11/2010 lúc 10:22

      EM chỉ cần chuyển \sqrt[3]{x} sang dạng lũy thừa.
      Chú ý \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} nếu x>0.
      Trên đoạn \left[ {-3;-1} \right] thì x<0 nên - x>0 nên
      \sqrt[3]{x} = - \sqrt[3]{{\left( { - x} \right)}} = - \left( { - x} \right)^{\frac{1}{3}}
      Từ đó em tính tích phân của hàm số lũy thừa theo công thức (như bình thường)
      \int\limits_{-3}^{-1} {\sqrt[3]{x}dx} = - \int\limits_{-3}^{-1} {\left( { - x} \right)^{\frac{1}{3}} dx} = - \left. {\dfrac{3}{4}\left( { - x} \right)^{\frac{4}{3}} } \right|_{-3}^{-1} =

      Kết quả em tự điền vào nhé !

      Thích

      Trả lời
  5. quỳnh | 03/04/2011 lúc 22:53

    thầy ơi e không hiểu ở cách 2 . tại sao biết được số nào để mình gắn giá trị vào y
    e thấy thầy xét trg hợp y=0 ạ . e bít làm sao chọn hết. cám ơn bài viết của thầy, nó thật bổ ích với em 🙂

    Thích

    Trả lời
    • caolong | 05/04/2011 lúc 09:21

      Ở đây không phải gán giá trị cho y em à.
      Em chú ý: Ngang đoạn 5{y^4}.y' = 1 em cần phải tính y', muốn vậy em phải chia hai vế cho 5{y^4}. DO đó em phải xét xem trường hợp y=0 có thỏa mãn phương trình 5{y^4}.y' = 1 trước khi em chia cho 5{y^4} để tránh trường hợp mất nghiệm.

      Thích

      Trả lời
  6. lan1994 | 17/06/2011 lúc 21:37

    e co bai dao ham nay k biet tinh sao ,thay giup e voi nhe! y=(x+2)^5(2x+1)^4

    Thích

    Trả lời
  7. huy | 28/07/2011 lúc 22:48

    vay em co bai dao ham nay ko biet sao day mong thay chi cho can(x+can(x binh phuong +1) mong thay co the chi cho em dao ham cap 2 dc ko

    Thích

    Trả lời
  8. khang | 09/12/2011 lúc 20:23

    nhu ban huy vua` dua baj nay y. tjm dao ham baj nay co” ca^n` TXD ko?. hay tjnh” dao ham luon

    Thích

    Trả lời
  9. Hồ hải yến | 22/02/2012 lúc 13:51

    trời ạ thật vớ vẩn

    Thích

    Trả lời
  10. Nguyễn Văn Đồng | 09/03/2012 lúc 14:28

    Thầy ơi. cho em hỏi cách tính thể tích trái bóng .

    Thích

    Trả lời
  11. khuenb | 25/03/2012 lúc 22:18

    thay giai giup em bai nay voi a! nguyen ham cua” x^3.canbachai(x^3 + 1)

    Thích

    Trả lời
  12. khuenb | 25/03/2012 lúc 22:19

    em cam on thay!

    Thích

    Trả lời
  13. dang thi yen | 15/04/2012 lúc 10:34

    nho thay giai ho em bai nay voi nguyen ham d(x)/1+x^8 em cam on thay nhieu

    Thích

    Trả lời
  14. nguyễn tấn đức | 27/06/2012 lúc 21:40

    công thức nguyên hàm của hàm số căn bậc n là gì hả thầy?

    Thích

    Trả lời
  16. binhbinh | 04/03/2013 lúc 20:48

    thầy cho em hỏi là khi x> 3 áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ thì n thuộc N nhưng n= 1/5 là số hữu tỷ ??

    Thích

    Trả lời
  17. kha | 22/04/2013 lúc 09:46

    theo em, định nghĩa về “Lũy thừa với số mũ hữu tỷ” có thể mở rộng cho số thực âm nếu căn thức có nghĩa nghĩa, ( nếu căn bậc lẻ thì vẫn dc chứ)

    Thích

    Trả lời

Bình luận về bài viết này