Bài toán đạo hàm hàm số căn bậc n


Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm của hàm số căn bậc n (n \in \mathbb{N}, n \geq 1

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y= \sqrt[5]{x-3} \\[4pt] trên tập xác định của nó ?

Lời giải (sai):

* Tập xác định: D= \mathbb{R}

* Ta có: y= (x-3)^{\frac{1}{5}}.

Do đó: y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.

Lời Bình:

Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ đó là, khi viết y= \sqrt[5]{x-3} = (x-3)^{\frac{1}{5}} thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp x-3>0 \Leftrightarrow x>3, không phải đúng với mọi x \in \mathbb{R}.

Như vậy, nếu chú ý đến điều đó thì chúng ta cần xét hai trường hợp: x>3x \leq 3.

Lời giải cụ thể cho hai trường hợp trên như sau:

TH1: Với mọi x>3, ta có y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}.

TH2: Với mọi x<3, ta viết lại y= \sqrt[5]{x-3} = \sqrt[5]{-(3-x)} = - \sqrt[5]{3-x}.
Khi đó do x<3 nên 3-x>0, vì vậy ta viết được y= \sqrt[5]{x-3} = -(3-x)^{\frac{1}{5}}.

Suy ra: y' = -\dfrac{1}{5} (3-x)^{\frac{-4}{5}}(3-x)' = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(3-x)^4}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}. Vậy kết quả trường hợp này như kết quả trường hợp 1.

Lưu ý: Chúng ta chỉ mới xét x<3 để có được 3-x>0 khi đó mới viết từ dạng căn sang lũy thừa.

TH3: Do đó chúng ta cần xét thêm trường hợp x=3.
Trường hợp này phải tính đạo hàm sao đây ?

Oh. Chỉ còn cách dùng định nghĩa đạo hàm thôi. Tính đạo hàm tại một điểm ! (Xem lại lý thuyết và thử làm xem nhé)
Vấn đề này tỏ ra phức tạp rồi, phải không ?
Vậy còn có cách nào để giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn không ?

———————–

Cách 2: Một cách khác để khắc phục nhược điểm của cách tính trên (chưa tính được đạo hàm hàm số tại x=3).

Với mọi x \in \mathbb{R}, ta có: y = \sqrt[5]{x-3} \Leftrightarrow y^5 = x-3.

Xem y là hàm số hợp (theo biến x), lấy đạo hàm hai vế, ta được:
(y^5)' = (x-3)' \Leftrightarrow 5y^4.y' = 1. (*)

Trường hợp y= 0 \Leftrightarrow x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3 thì (*) vô nghiệm.

Trường hợp x \ne 3 \Leftrightarrow y \ne 0, ta có: y' = \dfrac{1}{5y^4}.

Kết luận: y'= \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.  Tại x=3 hàm số không có đạo hàm.

Nhận xét: Qua Ví dụ này các em học sinh cần lưu ý khi viết một biểu thức dạng căn thức (bậc n) sang dạng lũy thừa cần lưu ý đến điều kiện của biểu thức (dương).

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 13/10/2008, in Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 22 phản hồi.

  1. cho em hỏi, vì sao ko biến đổi đc dưới dạng lũy thừa nếu (x-3)<0 ??? em thấy đây là căn bậc lẻ nên đâu có ảnh hưởng gì đâu ạ????

    Like

    • Theo định nghĩa “Lũy thừa với số mũ hữu tỷ” thì cơ số phải là “số dương” em à !
      Em xem lại định nghĩa ở sách giáo khoa nhé !
      Theo định nghĩa đó thì nếu viết {(x-3)}^{\frac{1}{3}} ta cần có điều kiện x-3>0
      Còn viết \sqrt[3]{x-3} thì không cần điều kiện đó !
      Hai cách viết trên hoàn toàn khác nhau đó em !
      Từ đó, ta chỉ viết được \sqrt[3]{x-3}={(x-3)}^{\frac{1}{3}} khi x-3>0
      Còn nếu x-3 \leq 0 thì chỉ có \sqrt[3]{x-3} tồn tại thôi.

      Like

  2. bui van toan

    tinh dạo ham can bac n ma bien trong can co mu 3,4,5,…,m tinh nhu the nao

    Like

  3. em thấy it ai để ý đến điều kiện của lũy thừa với số mũ hữu tỉ nắm .Thế nếu em không xét điều kiện cơ số dương thì có bị sai không ạ

    Like

  4. cho em hoi la : Tich phan tu -1 den -3 cua can bac 3 cua x thi tinh lam sao a?

    Like

    • EM chỉ cần chuyển \sqrt[3]{x} sang dạng lũy thừa.
      Chú ý \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} nếu x>0.
      Trên đoạn \left[ {-3;-1} \right] thì x<0 nên - x>0 nên
      \sqrt[3]{x} =  - \sqrt[3]{{\left( { - x} \right)}} =  - \left( { - x} \right)^{\frac{1}{3}}
      Từ đó em tính tích phân của hàm số lũy thừa theo công thức (như bình thường)
      \int\limits_{-3}^{-1} {\sqrt[3]{x}dx}  =  - \int\limits_{-3}^{-1} {\left( { - x} \right)^{\frac{1}{3}} dx}  =  - \left. {\dfrac{3}{4}\left( { - x} \right)^{\frac{4}{3}} } \right|_{-3}^{-1}  =

      Kết quả em tự điền vào nhé !

      Like

  5. thầy ơi e không hiểu ở cách 2 . tại sao biết được số nào để mình gắn giá trị vào y
    e thấy thầy xét trg hợp y=0 ạ . e bít làm sao chọn hết. cám ơn bài viết của thầy, nó thật bổ ích với em 🙂

    Like

    • Ở đây không phải gán giá trị cho y em à.
      Em chú ý: Ngang đoạn 5{y^4}.y' = 1 em cần phải tính y', muốn vậy em phải chia hai vế cho 5{y^4}. DO đó em phải xét xem trường hợp y=0 có thỏa mãn phương trình 5{y^4}.y' = 1 trước khi em chia cho 5{y^4} để tránh trường hợp mất nghiệm.

      Like

  6. e co bai dao ham nay k biet tinh sao ,thay giup e voi nhe! y=(x+2)^5(2x+1)^4

    Like

  7. vay em co bai dao ham nay ko biet sao day mong thay chi cho can(x+can(x binh phuong +1) mong thay co the chi cho em dao ham cap 2 dc ko

    Like

  8. nhu ban huy vua` dua baj nay y. tjm dao ham baj nay co” ca^n` TXD ko?. hay tjnh” dao ham luon

    Like

  9. trời ạ thật vớ vẩn

    Like

  10. Nguyễn Văn Đồng

    Thầy ơi. cho em hỏi cách tính thể tích trái bóng .

    Like

  11. thay giai giup em bai nay voi a! nguyen ham cua” x^3.canbachai(x^3 + 1)

    Like

  12. em cam on thay!

    Like

  13. dang thi yen

    nho thay giai ho em bai nay voi nguyen ham d(x)/1+x^8 em cam on thay nhieu

    Like

  14. nguyễn tấn đức

    công thức nguyên hàm của hàm số căn bậc n là gì hả thầy?

    Like

  15. thầy cho em hỏi là khi x> 3 áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ thì n thuộc N nhưng n= 1/5 là số hữu tỷ ??

    Like

  16. theo em, định nghĩa về “Lũy thừa với số mũ hữu tỷ” có thể mở rộng cho số thực âm nếu căn thức có nghĩa nghĩa, ( nếu căn bậc lẻ thì vẫn dc chứ)

    Like

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: