Bài toán về hàm số (Bài 10-trang46-SGK GT12 Cơ bản)


Một số cách giải Bài 10, trang 46 SGK GT12, Cơ bản.
Kết quả có vấn đề !

Bài toán 1: Cho hàm số y=-x^4+2mx^2-2m+1 (m là tham số ) có đồ thị là (C_m) .
a) Biện luận theo m số cực trị của ham số.
b) Với giá trị nào của m thì (C_m) cắt trục hoành ?
c) Xác định m để (C_m) có cực đại, cực tiểu.

Hướng dẫn.

a) Phân tích: Chúng ta thấy, hàm số đã cho là hàm bậc 4 (trùng phương), đạo hàm của nó là đa thức có bậc bằng 3. Nên số cực trị của hàm số đã cho phụ thuộc vào nghiệm của đạo hàm.
Một yếu tố thứ hai cần chú ý: Đồ thị hàm số trùng phương chỉ có 2 dạng, dạng chỉ có 1 cực trị và dạng có đúng 3 cực trị.
Ta có y'= -4x^3+4mx = -4x(x^2-m)
y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc $latex  x^2  = m$.
* Nếu m<0 thì phương trình x^2 =m vô nghiệm ; hoặc m=0 phương trình x^2 =m có nghiệm x=0. Cả hai trường hợp này xảy ra thì phương trình y'=0 có đúng một nghiệm x=0. Mặt khác vì y' là đa thức bậc 3 (lẻ) nên nó luôn đổi dấu khi x chạy qua nghiệm x=0 này. Vậy trường hợp này hàm số có một cực trị (cụ thể là một cực đại, vì y' đổi dấu từ dương sang âm).
* Nếu m>0 thì phương trình x^2=m có hai nghiệm phân biệt là x= \pm \sqrt{m}.
Trường hợp này y'=0 có 3 nghiệm phân biệt x=0, x= \pm \sqrt{m}y' đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó. Vậy trường hợp này hàm số có 3 cực trị.

Lời giải (tham khảo):

Ý1: Tập xác định: D= \mathbb{R}

Ý2: Đạo hàm: y'= -4x^3+4mx = -4x(x^2-m)
y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc $latex  x^2  = m$.

Ý3: Biện luận
* Nếu m \leq 0 thì y'=0 \Leftrightarrow x=0y' >0, \forall x \in (- \infty; 0), y'<0, \forall x \in (0; + \infty) nên hàm số đạt cực đại tại x=0.

* Nếu m >0 thì y'=0 \Leftrightarrow x=0; x= \pm \sqrt{m}. Ta có bảng xét dấu y'

x

- \infty

-\sqrt{m}

0

+ \sqrt{m}

+ \infty

y

+

0

-

0

+

0

-

Qua bảng trên ta thấy trường hợp này hàm số đạt cực đại tại x= \pm \sqrt{m} và đạt cực tiểu tại x=0.

Ý4: Kết luận
* m \leq 0: hàm số có 1 cực trị.
* m>0: hàm số có 3 cực trị.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) với trục hoành: -x^4+2mx^2-2m+1=0,  (1)
Số giao điểm của (C_m) với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình (1). Vậy (C_m) cắt trục hoành khi (1) có nghiệm (ít nhất 1 nghiệm, không phải là nghiệm kép).
Có một số cách để giải quyết bài tóan này như sau:

Cách 1: Đặt t = x^2, t \geq 0. Phương trình (1) trở thành t^2-2mt+2m-1=0,  (2).
(1) có nghiệm \Leftrightarrow (2) có nghiệm t \geq 0.
Đặt f(t) = t^2-2mt+2m-1, f(t) làt tam thức bậc hai biến số t.
Điều kiện này được thỏa mãn khi xảy ra một trong các trường hợp sau:

TH1: (2) có nghiệm t=0
Tức là 0^2-2m.0+2m-1=0 \Leftrightarrow 2m-1=0 \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}.
Khi đó nghiệm còn lại của (2) là t=1 . (Học sinh tự giải)
Vậy nếu m= \dfrac{1}{2} thì (1) có 3 nghiệm x=0 (nghiệm kép) , x =\pm 1. Suy ra C_m cắt trục hoành.

TH2: (2) có 1 nghiệm t>0, tức là (2) có 2 nghiệm t_1, t_2 thỏa mãn t_2 >0 > t_1.
Trường hợp này được thỏa mãn khi và chỉ khi P<0, (tam thức bậc 2 có hai nghiệm trái dấu)
\Leftrightarrow 2m-1<0 \Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}

TH3: (2) có 2 nghiệm t>0, tức là (2) có 2 nghiệm t_1, t_2 thỏa mãn t_2 \geq t_1 >0.
Trường hợp này được thỏa mãn khi và chỉ khi
\left\{ \begin{array}{l} \Delta' \geq 0 \\ a.f(0)>0 \\ \dfrac{S}{2}>0 \end{array} \right. ,    (*)

Ta có: \Delta' =m^2-2m+1= (m-1)^2 \geq 0, \forall m \in \mathbb{R},
a.f(0)=2m-1>0 \Leftrightarrow m> \dfrac{1}{2}
\dfrac{S}{2} =m>0 \Leftrightarrow m>0
Vậy (*) \Leftrightarrow m> \dfrac{1}{2} .

Tóm lại, kết hợp ba trường hợp trên ta nhận thấy, phương trình (2) luôn có nghiệm t \geq 0 với mọi giá trị của m.

Vậy đò thị (C_m) luôn cắt trục Ox với mọi giá trị của m.

Cách 2:

Để ý rằng, trong cách 1, khi tính $latex \Delta’ $ của phương trình (2) ta có \Delta' = (m-1)^2 \geq 0. Suy ra (2) có hai nghiệm: t=1, t=2m-1.
Điều này chứng tỏ (2) luôn có nghiệm dương t=1 với mọi giá trị của m. Suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x= \pm 1 với mọi giá trị của m.
Vậy đồ thị (C_m) luôn cắt trục hoành với mọi giá trị của m.

Cách 3: (Dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên )

Theo kết quả câu a) chúng ta nhận thấy:

* Với m \leq 0 thì (C_m) có một điểm cực đại duy nhất. Do đó (C_m) cắt trục Ox khi và chỉ khi y_{Cd} >0 \Leftrightarrow y(0) = -2m+1>0 \Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}.
Vậy m \in (- \infty ; \dfrac{1}{2})

* Với m>0 thì hàm số đạt cực đại tại x= \pm \sqrt{m}y_{Cd}=-m^2+2m^2-2m+1, y_{Cd}= (m-1)^2 \geq 0, \forall m nên (C_m) luôn có giao điểm với trục hoành với mọi m.
Nhưng (C_m) chỉ cắt trục Ox khi và chỉ khi y_{Cd} >0 \Leftrightarrow m-1 \not= 0.
Vậy m \not= 1 \Leftrightarrow m \in (- \infty; 1) \bigcup (1; + \infty)

Kết hợp cả hai trường hợp trên ta có giá trị của m phải tìm để (C_m) cắt trục Oxm \not= 1

Lời bình:

Vậy cách nào đúng, cách nào sai ?
Để ý rằng đề yêu cầu (C_m) phải “cắt” trục Ox. Nên lập luận của cách 3 là hoàn toàn đúng.
Với cách 1 và cách 2, chúng ta chưa đề cập đến việc (C_m) tiếp xúc với trục Ox, tức là chưa chú ý đến việc (2) có nghiệm kép.

Hỏi: Đáp án ở Sách giáo viên và một số sách tham khảo trên thị trường cũng kết luận là (C_m) cắt trục Ox với mọi m  ?
Nếu chấp nhận kết quả đó thì “tiếp xúc” cũng được xem là “cắt” , phải vậy không ?
Chúng tôi nhận thấy chưa có định nghĩa cụ thể ở các SGK về khái niệm “Cắt” (đường thẳng “cắt” đường cong). Vậy rất mong mọi người cùng trao đổi, bàn luận về vấn đề này !

Xem đồ thị (C_m) khi m=1, tức là đồ thị của hàm số y= -x^4 +2x^2-1.

Rất mong mọi người cùng trao đổi và xem lại !

==> Các em học sinh hãy xem lại các lập luận ở cách 1 và cách 2. Hãy xét và loại trừ trường hợp (2) có 1 nghiệm kép (hoặc (1) có 2 nghiệm kép_ đồ thị hàm số trùng phương khi có hai nghiệm kép sẽ luôn tiếp xúc với trục hoành và phần còn lại nằm trên hoặc dưới trục hoành).

Advertisements

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 29/09/2008, in Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 2 phản hồi.

  1. Ngô Quang Khánh

    Tôi mới dạy bài này m cãi nhau máu lữa luôn, tôi cho rằng giờ đây ko quan tâm việc cắt hay tiếp xúc nữa. Ví dụ có 1 con đường đi qua nhà mình, mặc dù nó có đi vô trong nhà đâu, còn nếu họ ra đề thi chắc là chết học trò nên các bạn học sinh an tâm đi khỏi phải hoang mang nhé.

    Số lượt thích

  2. khong hiu lam giup minh bai nay voi 1!+2!+3!+…+2013!=n

    Số lượt thích

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: