Phương trình đường thẳng


Một cách giải cho chùm bài toán dạng:
“Đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước và thỏa mãn điều kiện cho trước”.
Bài toán 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) và đi qua điểm A.
Bài toán 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) và song song với đường thẳng (d).
Bài toán 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) và nằm trong mặt phẳng (Q).
Bài toán 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
Bài toán 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng (\Delta) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d_1),\; (d_2).
Sau đây là một cách giải tổng quát áp dụng được với năm dạng toán nêu trên.
– Chuyển phương trình của (d_1),\; (d_2) về dạng tham số, sau đó gọi tọa độ của M\in d_1), N\in(d_2) theo tham số.

Chẳng hạn, với (d_1): \left\{\begin{array}{l} 1-2t \\ -2+t \\ 3+4t \end{array} \right.
Ta gọi tọa độ của M\in d_1) dạng như sau:
M(1-2m; -2+m; 3+4m) với m\in\mathbb{R}.

Đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) chính là đường thẳng đi qua M,\; N.
Ta sử dụng điều kiện còn lại để tìm tọa độ của M,\;N.
– Với Bài toán 1:
(\Delta) qua điểm A nên ta có ba điểm M,\; N,\; A thẳng hàng.
Tức là hai vecto \vec{MN}, \; \vec{MA} cùng phương.
Do đó, ta có [ \vec{MN}, \, \vec{MA} ] = \vec{0}
- Với Bài toán 2:
(\Delta) song song với (d) nên ta có \vec{MN}, \; \vec{u}_{d} cùng phương.
Suy ra [ \vec{MN}, \, \vec{u}_{d} ] = \vec{0}
(Với \vec{u}_{d} là vecto chỉ phương của đường thẳng (d))
– Với Bài toán 3:
(\Delta) nằm trong mặt phẳng (Q) nên ta có M\in (Q)N \in (P). Thay tọa độ của M, \; N vào phương trình mặt phẳng (Q) ta tìm được tọa độ của M, \; N.
– Với Bài toán 4:
(\Delta) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên ta có \vec{MN}, \; \vec{n}_{Q} cùng phương.
Suy ra [ \vec{MN}, \, \vec{n}_{Q} ] = \vec{0}
(Với \vec{n}_{Q} là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q)).
– Với Bài toán 5:
(\Delta) là đường vuông góc chung của (d_1),\; (d_2) nên ta có (\Delta) \perp (d_1)(\Delta) \perp (d_2)
Suy ra \vec{MN}. \, \vec{u}_{1} = 0; \vec{MN}. \, \vec{u}_{2} = 0.
(Với \vec{u}_{1} là vecto chỉ phương của đường thẳng (d_1), \vec{u}_{2} là vecto chỉ phương của đường thẳng (d_2) )

Nhận xét:

Cách giải trên đây có nhiều thuận lợi so với các cách giải khác “Dùng giao tuyến của hai mặt phẳng” để xác định đường thẳng (\Delta).
Chẳng hạn xxets cách giải Bài toán 1: Gọi (\alpha) là mặt phẳng qua A và chứa (d_1), (\beta) là mặt phẳng qua A và chứa (d_2). Đường thẳng (\Delta) cắt hai đường thẳng (d_1),\; (d_2) và đi qua điểm A chính là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha)(\beta).
Tuy nhiên, lời giải sử dụng điều kiện trên chưa đủ.
Bởi lẽ với (\Delta)=(\alpha)\bigcap(\beta), khi đó (\Delta) chưa hẵn đã cắt cả (d_1)(d_2) mà có thể song song.
DO vậy nếu làm theo cách giải này, chúng ta cần phải kiểm tra lại (điều kiện đủ) xem (\Delta) có cắt cả (d_1)(d_2) không.
Như vậy, lời giải sẽ dài dòng, phức tạp. Rồi còn phải thêm công đoạn chuyển từ (\Delta)=(\alpha)\bigcap(\beta) sang phương trình tham số nữa chứ !

Các em học sinh hãy thử vận dụng cách giải này để giải tất cả các bài tập trong “Bộ đề thi thử đại học năm 2009 môn Toán” nhé.
Chúc các em ôn tập tốt !

  1. hay qua’
    con` nhung~ dang nao` nua khong thay`

  2. THƯA THẦY,EM MUỐN COPY NHƯNG KHÔNG ĐC.FAI LÀM THẾ NÀO ĐỂ COP VỀ MAY DC A.COP VỀ MÁY SAU ĐÓ COP WA ÚP ĐỂ IN RA.EM THẤY CÁC DẠNG BÀI NÀY RẤT HAY

  3. THƯA THẦY,EM MUỐN COPY NHƯNG KHÔNG ĐC.FAI LÀM THẾ NÀO ĐỂ COP VỀ MAY DC A.COP VỀ MÁY SAU ĐÓ COP WA USP ĐỂ IN RA.EM THẤY CÁC DẠNG BÀI NÀY RẤT HAY

    • Oh. Nếu em muốn in, em có thể copy toàn bộ bài viết sau đó lưu trên word để in.
      Hoặc cũng có thể chọn toàn bộ vùng (nội dung) cần in rồi Print (Selection)

  4. thưa thầy, em có bài này, trong đầu em đã có hướng giải nhưng vì lâu rồi em không đụng đến toán nữa nên em không còn nhớ các công thức, mong thầy giải giúp em ! Rất cám ơn thầy !

    cho hình chóp đáy tam giác ABCS. Với A(3;6;-6) B(7;-5;10) C(-8;-8;6) S(-2;0;-7). tính diện tích tam giác ABC, thể tích hình chóp, viết phương trình đường cao SO và tính độ dài SO, tính góc giữa AS và BC, viết phương trình mặt phẳng ASB.

  5. chân thành cảm ơn thầy !

  6. cam on thay ve bai viet nay

  7. Cam on thay nhieu lam

  8. thay oi. thay dang them nhieu dang ve pt duong thang nua nha thay

  9. thay oi, giai ra duoc he 3 phuong trinh ma co 2 an thì tim nghiem nhu the nao a. ?

  10. dang ngoc anh

    trong mặt phẳng với hệ trục tạo độ Oxy, lập pt các cạnh của 1 tam giác nếu biết:
    tạo độ của 1 đỉnh là (2;6) pt của đường cao và phân giác vẽ từ cùng là x-7y+15=0 và 7x+y+5=0.

  11. dang ngoc anh

    mà khi hoặc nào thi ta giao nghiệm ,hoặc nào ta hợp nghiệm hả thầy????

  12. thầy ơi. M,N chỉ là 2 điểm thuộc d1 và d2 chứ có phải là giao điểm của (\Delta) với 2 đường đó dâu. thật khó hiểu

  13. thay oi sao thay khong dua them 1 vi du minh hoa cho moi phuong phap giai nhu the co phai de hieu hon khong a

  14. thầy ơi, thế còn dạng phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với d1 đồng thời cắt d2 thì có phương pháp riêng không ạ?
    Và 1 dạng nữa là đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc + cắt đường thẳng d
    Mong thầy sớm trả lời :D

  15. Thưa thầy giúp em dạng toán viêt pt đg thẳng đi qua 1điểm kĩ hơn vs ak.

  16. he truc oxyz rac roi that

  17. thay oi cho em nick cua thay de em co the de em co the de dang trao doi duoc khong a?

  18. Thầy ơi giải dùm em bài tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm P(3:-2) trên đường thẳng delta có x=t: y=1. Em giải được là Vì PH vuông góc với delta nên nhận vecto n (1,0) (do x=0+1t ; y=1+0t) làm vecto pháp tuyến. Tới đây em không hiểu sao x – 3 =0 => x=3 ; y =1
    => H(3,1).
    Thầy gải thích giùm em cảm ơn rất nhiều.

    Em Nghĩa Trường NCT

    • Vì H thuộc \Delta :  \left\{ \begin{array}{l} x = 0+t \\ y = 1+0t \\ \end{array} \right. nên tọa độ của H có dạng H(t;1), với t là số thực tùy ý.
      Lúc đó \overrightarrow{PH}=(t-3;3).
      Vectơ chỉ phương của \Delta\overrightarrow{u}=(1;0)
      Vì H là hình chiếu của điểm P nên ta có PH \perp \Delta, do đó \overrightarrow{PH} \perp \overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{PH}.\overrightarrow{u}=0
      \Leftrightarrow (t-3).1+3.0=0 \Leftrightarrow t=3
      Vậy điểm H có tọa độ: H(3;1)

  19. thay oi giup em bai nay voi: cho diem M(1;2) va duong thang (d): x+y-1=0.
    a.Tim toa do diem N doi xung voi M qua d.
    b.Tim diem P thuoc d sao cho tam giac MNP deu.
    em biet lam2 bai nay nhung cach trinh bay hoi kem.mong thay giup em!

  20. a.Phuong trinh duong thang MN di qua diem M(1;2) va nhan vtcp u(d)=(1;-1) lam vtpt nen ta co phuong trinh tong quat cua duong thang MN la:
    1x(x-1)-1(y-2)=0=>x+y-1=0
    Goi H la giao diem cua (d) va duong thang MN.Toa do giao diem H la nghiem cua he:
    x+y-1=0 va x+y-1=0=>x=o, y=1.
    Do N la diem doi xung voi M qua d=>H la trung diem cua MN=>N(-1;0)
    b. Do P thuoc d nen P(t;1-t).
    Lai co; PM=PN=can bac hai cua (1-t)^2 cong (t+1)^2.(1)
    tam giac MNP deu khi va chi khi PM=PN=MN=can 8(2)
    tu (1) va (2) =>(1-t)^2 cong (t+1)^2=8 =>t=cog tru can 3 =>P(can3;1-can3) hoac (tru can 3;1 cong can 3).

    • Góp ý câu a)
      Đoạn đầu thầy nghỉ nên lập luận như sau:
      Gọi N là điểm đối xứng của M qua d, khi dó d là đường trung trực của đoạn MN do đó MN \bot d nên đường thẳng MN nhận vectơ chỉ phương \vec{u}=(1;-1) của d làm vectơ pháp tuyến.
      Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
      – Đoạn tiếp theo em trình bày tốt rồi !
      Câu b: EM làm tốt.

  21. thầy có thể giúp em phương pháp tìm hình chiếu của 1 điểm qua mặt không ạ???

  22. cho hbh co tam doi xung la I(3;5) va pt cua 2 duong thang kia la x-2y+6=0 va 2x+3y-5=0 tim 2pt cua 2 canh con lai

  23. Thay co the giai thich tai sao khi minh viet pt duong vuong goc chung cua 2 duong cheo nhau theo phuong phap hinh hoc
    Khi xac dinh giao diem A = (Q) giao d2 voi (Q) la mp chua d1 va d, d la duong vuong goc chung.
    Tai sao lai lam duoc nhu vay? co chac la A thuoc vao d hay ko?

    • Bài toán:
      Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2; Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1.
      Đường vuông góc chung của d1 và d2 (nếu có) là giao tuyến của (P) và (Q).

      Chứng minh:
      Thuận:
      Bước 1: Xác định giao tuyến của (P)(Q).
      Giả sử (P) vuông góc với d_2 tại B(Q) vuông góc với d_1 tại A.
      Lúc đó B \in (P)B \in d_2 \subset (Q) nên B \in (P)\cap(Q)
      Tương tự, ta có A \in (P)\cap(Q)
      Suy ra đường thẳng AB là giao tuyến của (P)(Q).
      Bước 2: Chứng minh AB \perp d_1, \;\; AB \perp d_2
      d_1 \perp (Q) \Rightarrow d_1 \perp AB \subset (Q)
      d_2 \perp (P) \Rightarrow d_2 \perp AB \subset (P)
      Như vậy, đường thẳng AB đồng thời vuông góc với d_1d_2 lần lượt tại AB.
      Suy ra đường thẳng AB là đường vuông góc chung của d_1d_2.

  24. em xin nho thay bai nay: cho hvuong ABCD co canh AB nam tren dt (d) x-y+8=0 va 2 dinh C, D nam tren (P) y=x^2.tinh S hinh vuong

    • Nhận xét: Vì CD//AB nên CD nằm trên đường thẳng d_1 song song với d. Mặt khác C, D thuộc (P) nên C, D là giao điểm của d_1(P).
      Giả sử tọa độ điểm C thuộc (P) là: C\left( c;{{c}^{2}} \right).
      Đường thẳng d_1 đi qua C và song song với d có phương trình:
      \left( x-c \right)-\left( y-{{c}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x-y+{{c}^{2}}-c=0
      Hay {{d}_{1}}:y=x+{{c}^{2}}-c.
      D thuộc (P)CD // d nên tọa độ của D là nghiệm của hệ:
      \left \{ \begin{array}{l} y={{x}^{2}} \\ y=x+{{c}^{2}}-c \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-x-{{c}^{2}}+c=0 \\ y=x+{{c}^{2}}-c \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left( x-c \right)\left( x+c-1 \right)=0 \\ y=x+{{c}^{2}}-c \end{array} \right.
      Hệ này có nghiệm : \left \{ \begin{array}{l} x=c \\ y={{c}^{2}} \end{array} \right.\left \{ \begin{array}{l} x=1-c \\ y={{c}^{2}}-2c+1  \end{array} \right..
      C, D phân biệt nên 1-c\ne c\Leftrightarrow c\ne \dfrac{1}{2}.
      Từ đó ta có tọa độ của D\left( 1-c;{{\left( c-1 \right)}^{2}} \right).
      Suy ra CD=\sqrt{{{\left( 1-2c \right)}^{2}}+{{\left( 1-2c \right)}^{2}}}=\left| 1-2c \right|\sqrt{2}.
      Khoảng cách từ C đến đường thẳng d (bằng độ dài cạnh AC= BD): CB=\dfrac{\left| c-{{c}^{2}}+8 \right|}{\sqrt{2}}.
      Điều kiện để tứ giác ABCD là hình vuông là CD=CB \Leftrightarrow \left| 1-2c \right|\sqrt{2}=\dfrac{\left| c-{{c}^{2}}+8 \right|}{\sqrt{2}}
      \Leftrightarrow \left| {{c}^{2}}-c-8 \right|=2\left| 1-2c \right|
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{c}^{2}}-c-8=2\left( 1-2c \right) \\ {{c}^{2}}-c-8=-2\left( 1-2c \right) \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{c}^{2}}+3c-10=0 \\ {{c}^{2}}-5c-6=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c=2;c=-5 \\ c=-1;c=6 \end{array} \right..
      Với c=2 ta có C\left( 2;4 \right),\,D\left( -1;1 \right).
      Với c=-5 ta có C\left( -5;25 \right),\,D\left( 6;36 \right).
      Với c=-1 ta có C\left( -1;1 \right),\,D\left( 2;4 \right).
      Với c=6 ta có C\left( 6;36 \right),\,D\left( -5;25 \right).
      Như vậy, trong bốn kết quả trên có 2 trường hợp là hoán vị của nhau.
      Từ đó suy ra có hai hình vuông cần tìm thỏa yêu cầu bài toán có cạnh bằng 3\sqrt{2}6\sqrt{2}.
      Kết luận:
      Có hai hình vuông thỏa yêu cầu bài toán có diện tích bằng 18 và 72.

  25. thay oi,giai ho e bt nay voi: cho tam giacABC co M(-2;2) la trung diem cua canh AB ,canh BC co phuong trinh la: x – 2y-2 =0,AC co phuong trinh la 2x + 5y +3 = 0.hay xac dinh toa do cac dinh cua tam giac ABC

    • Bước 1: Tìm tọa độ của đỉnh C
      C = BC \cap AC nên tọa độ của C là nghiệm của hệ
      \left \{ \begin{array}{l} x-2y-2=0 \\2x+5y+3=0 \end{array} \right.
      Giải hệ này ta được \left \{ \begin{array}{l} x=\dfrac{4}{9} \\ y=-\dfrac{7}{9} \end{array} \right.
      Suy ra tọa độ của đỉnh C(\dfrac{4}{9}; -\dfrac{7}{9})
      Bước 2: Tìm tọa độ của các đỉnh A, \; B
      Gọi tọa độ điểm B \in BC:x-2y-2=0B(2b+2;b).
      Gọi tọa độ điểm A \in AC:2x+5y+3=0A(5a+1;-2a-1).
      Trong đó a, b \in \mathbb{R}.
      ————

      Giải thích: Chuyển phương trình của đường thẳng BCAC sang dạng tham số như sau:
      BC: \left \{ \begin{array}{l} x=2+2t \\y=t \end{array} \right.AC: \left \{ \begin{array}{l} x=1+5t' \\y=-1-2t' \end{array} \right.
      Thay t=b ta có tọa độ của B
      Thay t'=a ta có tọa độ của A

      ————
      Ta có tọa độ trung điểm M của AB là:
      x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}; \;y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
      Theo giả thiết ta có:
      \left \{ \begin{array}{l} -2=\dfrac{5a+1+2b+2}{2} \\ 2=\dfrac{-2a-1+b}{2} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 5a+2b=-7 \\ -2a+b=5 \end{array} \right.
      Giải hệ này ta được: a= -\dfrac{17}{9},\; b= \dfrac{11}{9}.
      Vậy, tọa độ của các đỉnh A; \; B là:
      A(-\dfrac{76}{9};\dfrac{25}{9})B(\dfrac{40}{9};\dfrac{11}{9}).

  26. thưa thầy dạng thứ 1 và dạng thứ 5, em dùng phương pháp chùm mp, nhưng không ra kết quả chỉ 1 số bài là không ra đúng chính xác kết quả, nhất là dạng thứ 5, dạng 5 em làm hơi dài

  27. Le van Khue

    rat hay , thạnk

  28. thay oi e muon dua bai toan len hoi thay thi dua bang cach nao ak thay.dua qua y kien phan hoi ak thay

  29. thây ơi giải hộ e bài toán này vơi.viết ptđt ddi qua M(1;2) sao cho đt đó cắt ox tại A;cắt oy tại B và tam giác OAB la tam giác vuông cân

    • Cách 1:
      Giả sử đường thẳng d cần tìm cắt trục Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(0;b) với a.b \ne 0
      Khi đó phương trình của d: \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1
      d đi qua M(1;2) nên ta có \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 1 \; \; \; (1).
      Ta để ý, vì A, B nằm trên hai trục tọa độ nên tam giác OAB vuông tại O.
      Do đó, điều kiện để tam giác OAB vuông cân là OA=OB
      \Leftrightarrow \sqrt{(a-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(0-0)^2+(b-0)^2} \Leftrightarrow |a| = |b|
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b \\ a= -b \end{array} \right.
      – Trường hợp a=b , thay vào (1) ta được \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 3. Vậy trường hợp này ta có a=b=3 và phương trình của d: \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} = 1
      \Leftrightarrow d: x+y-3=0
      – Trường hợp a=-b , thay vào (1) ta được \dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{a} = 1 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{a} = 1 \Leftrightarrow a = -1. Vậy trường hợp này ta có a= -1, \; b=1 và phương trình của d: -x+y-1=0
      Kết luận: Có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
      d: x+y-3=0d: x-y+1=0 .

  30. e thank thây nhiều.cho e hỏi bài này tí.viết ptđt d` đối xứng với dqua đt a biết d có pt x-2y+4=0 ; a có pt 2x+y-2=0.e lấy A(0;2) thuộc d.rồi gọi I là gđ của d va a.tinh được I(0;2) sau đó tìm toạ độ hình chiếu H(0;2) và toạ độ điểm đối xướng với A qua d là(0;2).thưa thây theo như toạ độ điểm này thì có phải đt d và đt a trùng nhau hay không

  31. thầy ơi e hơi nhàm chô~ này tí.có phải đt d và đt d` trùng nhau hay không

  32. vâng em cảm on thầy nhiều

  33. thầy ơi thầy có bog nào về phần toán đạ số hay những phần toán hình khác không thầy.thầy ơi tại sao nhiều bog lại cần phải đăng ký thanh viên hak thầy.thầy có biết những bog náo hay2 về toán lý hoá gjói thiệu e với.ước j có nhiều bog hay gáôg như của thầy nhỉ để pọn e tiện hỏi bài

  34. vang e cam oi thay nhieu

  35. thầy ơi giải hộ e bài này với.cho tam giác ABC có A(0;-1) B(2;-3) C(2;00.CMR các đg trung tuyến đg cao đg trung truc đồng quyvà còn bài này nữa.cho hình bình hành ABCD có pt 2 cạnh là x-3y=o và 2x+5y=6=0;đỉnh C(4;-1) viết pttq 2 cạnh còn lạ của hình bình hành

    • ĐỐi với bài thứ nhất.
      Em tìm tọa độ giao điểm G của 2 đường trung tuyến (trọng tâm tam giác).
      Tìm tọa độ trực tâm H (giao điểm 2 đường cao)
      Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh).
      Đáp số: G(\dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3}), H(1;-1), I(\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2})
      Sau đó tính tọa độ các vectơ \overrightarrow{IH}=(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}), \overrightarrow{IG} =(-\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{6})
      Nhận xét: \overrightarrow{IH} = 3 \overrightarrow{IG}. Suy ra 3 điểm I, H, G thẳng hàng.
      ———–

      EM xem lại đề ! Yêu cầu không rõ ràng !

      Lúc đầu thầy nghỉ là chứng minh tất cả các đường đó đồng quy.
      Tuy nhiên, sau khi vẽ hình thầy nhận thấy chỉ có 3 đường sau đồng quy:
      – đường trung tuyến đi qua đỉnh C(2;0);
      – đường cao đi qua đỉnh B(2;-3);
      – đường trung trực của cạnh BC.
      DO đó, em chỉ cần viết phương trình 3 đường nói trên, sau đó chứng minh chúng cắt nhau tại cùng một điểm thế là xong.

    • Với bài số 2.
      ———-
      Nhận xét: C(4,-1) không thuộc hai cạnh có phương trình đã cho (vì tọa độ của C không thỏa mãn hai phương trình đó).
      Suy ra hai cạnh đề cho đi qua đỉnh A đối diện với đỉnh C.
      Vậy hai cạnh còn lại của hình bình hành đi qua C(4,-1) và song song với hai đường thẳng d_1:x-3y=0d_2:2x+5y+6=0
      – Cạnh đi qua C(4,-1) và song song với hai đường thẳng d_1:x-3y=0 có phương trình:
      d_3: 1(x-4)-3(y+1)=0 hay d_3: x-3y-7=0
      – Cạnh đi qua C(4,-1) và song song với hai đường thẳng d_1:2x+5y+6=0 có phương trình:
      d_4: 2(x-4)+5(y+1)=0 hay d_4: 2x+5y-3=0

  36. Nhờ thầy hướng dẫn bài này cho em với ạ
    Cho tam giác ABC có A(1;1;0) B(0;2;-1) và trực tâm H(2;-3;-2).viết ptđt d đi qua C và vuông góc với mp (ABC).

    • Em kiểm tra lại đề xem nhé ! Tại sao tọa độ điểm C chua có ?
      –Gọi tọa độ của C(x;y;z), ta có: \overrightarrow{HC}=(x-2;y+3;z+2)\overrightarrow{AB}=(-1;1;-1)
      H là trực tâm tam giác ABC nên ta có \overrightarrow{HC} \perp \overrightarrow{AB}
      \Leftrightarrow \overrightarrow{HC} . \overrightarrow{AB} =0
      \Leftrightarrow (x-2).(-1)+(y+3).1+(z+2).(-1)=0
      \Leftrightarrow -x+y-z+3=0
      H là trực tâm tam giác ABC nên ta có \overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}
      \Leftrightarrow (1-2).(x-0)+(-3-1).(y-2)+(-2-0).(z+1)=0
      \Leftrightarrow -x-4y-2z+6=0

      • thầy ơi em kiểm tra lại đề bài thấy giả thiết bài toán ko cho toạ độ C thầy ạ

        • Uhm. Thầy tìm được hướng giải rồi.
          Em giải tiếp như sau:
          H là trực tâm tam giác ABC nên ta có \overrightarrow{HB} \perp \overrightarrow{AC}
          Em khai triển sẽ được một phương trình ẩn số x, y, z.
          – Viết phương trình mặt phẳng (HAB).
          C \in (HAB) nên tọa độ của C thỏa mãn phương trình mặt phẳng (HAB). Như thế em sẽ có phương trình thứ 3.
          – Giải hệ 3 phương trình đó em sẽ tìm được nghiệm chính là tọa độ của C

  37. thầy ơi, thầy hướng dẫn em cách giải bài này với ạ:
    Cho hinh vuông ÁBCD:
    AB: 3x – 2y -1 = 0
    CD: 3x – 2y + 5 = 0
    Và tâm I thuộc d: x + y – 1 = O
    a. Tìm toạ độ tâm I
    b. Viết pt các cạnh còn lại: AD, BC

    • Câu a: Tìm tọa độ tâm I
      Cách 1:
      NHận xét: 2 đường thẳng AB: 3x-2y-1=0, \;\; CD:3x-2y+5=0 song song với nhau và đường thẳng d:x+y-1=0 cắt đường thẳng AB: 3x-2y-1=0 tại điểm M(\dfrac{3}{5};\dfrac{2}{5}) và cắt đường thẳng CD:3x-2y+5=0 tại điểm N(-\dfrac{3}{5};\dfrac{8}{5})
      I là tâm hình vuông ABCD nên I cách đều hai đường thẳng AB, \; CD suy ra I là trung điểm của đoạn MN, do đó ta có tọa độ của I(0;1)
      Cách 2:
      I \in d:x+y-1=0 nên gọi tọa độ của I(t;1-t), \; t \in \mathbb{R}.
      Do I là tâm hình vuông ABCD nên I cách đều hai đường thẳng AB: 3x-2y-1=0 CD:3x-2y+5=0
      Ta có d_{(I,(AB))}=d_{(I,(CD))} \Leftrightarrow \dfrac{|3.t-2.(1-t)-1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\dfrac{|3.t-2.(1-t)+5|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}
      \Leftrightarrow |5t-3|=|5t+3| \Leftrightarrow t=0.
      Suy ra tọa độ của tâm I(0;1)
      ———————-
      Câu b:
      Các đường thẳng chứa cạnh AD, \; BC vuông góc với đường thẳng $latex AB: 3x-2y-1=0 nên nhận \overrightarrow{n}=(2;3) (vectơ chỉ phương của đường thẳng AB) làm vectơ pháp tuyến do đó có phương trình dạng: \Delta: 2x+3y+m=0
      Do I là tâm hình vuông ABCD nên I cách đều các cạnh của hình vuông.
      Vì thế ta có $latex d_{(I,(AB))}=d_{(I,(\Delta))} \Leftrightarrow \dfrac{|3.0-2.1-1|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=\dfrac{|2.0+3.1+m|}{\sqrt{2^2+3^2}}
      \Leftrightarrow 3 = |m+3| \Leftrightarrow  m=0 hoặc m=-6
      Vậy phương trình hai cạnh còn lại là: 2x+3y=02x+3y-6=0

  38. thay giup em lam bai nay voi.
    Cho pt D1: 3x – 4y + 1= 0
    viet ptdt D2 biet D2 //D1 va D2 cach D1 mot khoang bang 1

    • Đường thẳng d_1:3x-4y+1=0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_1}=(3;-4).
      d_2 song song với d_1 nên d_2 nhận \overrightarrow{n_1}=(3;-4) làm vectơ pháp tuyến.
      DO đó phương trình của d_1 có dạng d_1:3x-4y+m=0, với m \in \mathbb{R}.
      Xét điểm A(1;1) \in d_1 .
      d_2 song song với d_1 nên khoảng cách giữa d_2d_1 bằng khoảng cách từ điểm A(1;1) \in d_1 đến đường thẳng d_2.
      Kết hợp giả thiết ta có: d_{(A,d_2)} = \dfrac{|3.1-4.1+m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = 1
      \Leftrightarrow \dfrac{|m-1|}{5} = 1 \Leftrightarrow |m-1| = 5
      \Leftrightarrow m= 6 hoặc m=-4.
      Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là:
      d_2: 3x-4y+6=0d_2: 3x-4y-4=0

  39. Lap pt cac canh cua tam giac ABC biet dinh C(3;5), duog cao va duog trung tuyen ke tu mot dinh co pt la: d1: 5x +4y -1 =0, d2:8x+y-7=0

    • Giả sử d_1: 5x +4y -1 =0, \; d_2:8x+y-7=0 là phương trình các đường cao, đường trung tuyến đi qua đỉnh A, khi đó tọa độ của A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} 5x+4y-1=0 \\8x+y-7=0 \end{array} \right.
      Giải hệ này ta được (x;y)= (1;-1) suy ra A(1;-1)
      Đường thẳng d_3 chứa cạnh AC nhận \overrightarrow{AC}=(2;6) làm vectơ chỉ phương, suy ra \overrightarrow{n}=(3;-1) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d_3.
      Phương trình của d_3: 3(x-1)-1(y+1)=0 hay d_3: 3x-y-4=0
      Đường thẳng d_4 chứa cạnh BC đi qua C(3;5) và vuông góc với đường cao d_1:5x+4y-1=0 nên nhận \overrightarrow{n_1}=(5;4) làm vectơ chỉ phương, suy ra \overrightarrow{u_1}=(4;-5) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d_4.
      Phương trình của d_4: 4(x-3)-5(y-5)=0 hay d_4: 4x-5y+13=0
      – Đường thẳng d_4 chứa cạnh BC cắt đường trung tuyến d_1 qua đỉnh A tại trung điểm M của cạnh BC.
      Suy ra tọa độ của M là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} 8x+y-7=0 \\4x-5y+13=0 \end{array} \right..
      Giải hệ này ta được nghiệm (x;y)= (\dfrac{1}{2};3) suy ra M(\dfrac{1}{2};3).
      Đỉnh B đối xứng với đỉnh C(3;5) qua điểm M(\dfrac{1}{2};3).
      Suy ra tọa độ của B(-2;1)
      Từ đó ta có phương trình đường thẳng d_5 chứa cạnh AB là: d_5: 2x+3y+1=0

  40. Tkay jup e gjaj baj nay nha tkay. E cam on thay

  41. thầy ơi giải hộ e bài này với.cho 2 điểm A(2;2) B(5;1).tìm điểm C trên đg thẳng d: x-2y+8=0 sao cho diên tích tam giác ABC = 17
    Bài này nũa thầy ak tìm tập hợp điểm a cách đều đg thẳng d:5x+3y-3=0 và d': 5x+3y+7=0

    • Bài 1:
      Bước 1: Gọi tọa độ của C(2t; 4+t) \in d:x-2y+8=0
      Bước 2: Tính độ dài đoạn AB = \sqrt{10}
      – Viết phương trình đường thẳng AB: x+3y-8=0
      Bước 3: Tính khoảng cách h từ điểm C đến đường thẳng AB, h là chiều cao của tam giác ABC
      Bước 4: Tính diện tích tam giác ABC: S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.h.AB
      Theo giả thiết, ta có: S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.h.AB = 17 \;\; (1)
      Em giải phương trình (1) thu được để tìm t.
      Từ đó suy ra tọa độ của C
      ———–
      Bài 2:
      EM gọi tọa độ điểm A(x;y) và tính các khoảng cách d(A,d)d(A,d')
      CHo hai khoảng cách trên bằng nhau, quy đồng, khử dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn em sẽ được phương trình của 2 đường thẳng.
      Kết luận: Tập hợp điểm A thỏa yêu cầu bài toán là hai đường thẳng em vừa tìm được.

  42. vang em cam on thay

  43. E cam on thay nkju ạ.

  44. cac phuong phap rat hay ah. thay co the giai gium em bai toan nay duoc khong ah. em cam on thay.
    Trong mp(oxy) cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ 1 đỉnh có pt lần lượt là x-3y-7=0 va x+y+1=0.
    Xác định tọa độ cac đirnh B và C của tam giác?

  45. thay oi co the giai ho em toan nay duoc khong ah.
    Trong mp(oxy)cho hình bình hành ABCD co diện tích =4. Biết A(1;0) va B(2;0) . Tâm hình bình hành thuộc đường thẳng y=x. Tìm tọa độ đỉnh C va D. em cam on thay.

  46. thay oi co the giai ho em toan nay duoc khong ah.
    Trong mp(oxy)cho hình bình hành ABCD co diện tích =4. Biết A(1;0) va B(2;0) . Tâm hình bình hành thuộc đường thẳng y=x. Tìm tọa độ đỉnh C va D. em cam on thay.

    • Thầy có hướng giải như sau:
      Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD.
      I thuộc đường thẳng y=x nên tọa độ của I có dạng I(a;a), với a \in \mathbb{R}.
      Ta biết I là trung điểm của các đường chéo AC, \; BD. Suy ra tọa độ các điểm C, \; DC(2a-1;2a), \; D(2a-2;2a)
      Diện tích hình bình hành ABCD bằng 2 lần diện tích tam giác IAB.
      Độ dài dường cao đi qua I của tam giác IAB bằng khoảng cách từ I(a;a) đến đường thẳng AB: y=0 và bằng h=|a|
      AB=1
      DIện tích hình bình hành ABCD bằng S=h.AB=|a|.
      Theo giả thiết ta có |a| = 4 \Leftrightarrow a = \pm 4
      Vậy có hai cặp nghiệm thỏa yêu cầu bài toán là:
      C(7;8), \; D(6;8)
      C(-9;-8), \; D(-10;-8)

  47. da em cam on thay nhieu ah.
    thay oi em con 1 bai toan ma em giai hoai hok dc thay giup em nha.
    Trong mp(oxy) cho điểm A(0;2) vàđường thẳng (d); x-2y+2=0. Tìm trên đường thẳng (d) 2 điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông tại Bva ta có AB=2BC.
    Em tìm được đỉnh B rồi nhưng không biết làm sao nửa cả. thay giup em với.
    cách giải của em là:
    viết đường thẳng đi qua A(0;2) co vtpt=vtcp(d)=(2;1)
    ta có được đường thẳng AB : 2x+y-2=0 tim được toa độ đỉnh B la nghiệm của hệ phương trình 2x+y=2 và x-2y=-2 nên có nghiệm là x=2/5 và y=6/5 tọa độ điểm B(2/5;6/5) con sau thi em khong biết làm nửa.

    • Em để ý điểm C \in d:x-2y+2=0 nên gọi tọa độ của C dạng C(2c-2;c)

      {Cách tính: trong phương trình của d:x-2y+2=0 ta cho y=c là tham số, khi đó ta tính được x=2y-2=2c-2
      Hoặc nếu cho x=2c khi đó ta tính được y=\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{2c+2}{2}=c+1.
      Trường hợp này ta có: C(2c;c+1)}

      Theo giả thiết AB=2BC nên ta có:
      \sqrt{(\dfrac{2}{5}-0)^2+(\dfrac{6}{5}-2)^2}=2 \sqrt{(\dfrac{2}{5}-2c+2)^2+(\dfrac{6}{5}-c)^2}
      Em giải phương trình này để tìm giá trị của c, từ đó suy ra tọa độ điểm C

  48. da em cam on thay ah. ma thay oi sao em tim trong nay em khong thay co huong giai ve phuong trinh duong tron vay thay?

  49. Thay giai dùm e bàj nay voi ạ. Cho tam giac ABC co A(2;-1) va pt hai duog phan gjac trog cua goc B va C lan lu0t la dB: x-2y+1=0, dC: x+y+3=0. Tim pt cah BC

    • Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của góc \widehat{B} và góc \widehat{C}, khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-2y+1=0 \\x+y+3=0 \end{array} \right.
      Giải hệ ta được (x;y)=(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{2}{3}). Suy ra I(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{2}{3}).
      B \in d_B:x-2y+1=0 nên ta gọi tọa độ của B dạng B(2b-1;b).
      C \in d_C:x+y+3=0 nên ta gọi tọa độ của C dạng C(-c;c-3).
      Lúc này I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ta có
      \left \{ \begin{array}{l} \cos{(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{BA})}=\cos{(\overrightarrow{BI};\overrightarrow{BC})} \\ \cos{(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CA})}=\cos{(\overrightarrow{CI};\overrightarrow{CB})} \end{array} \right.
      Giải hệ này tìm được b, \; c.
      Suy ra tọa độ của B, \; C rồi viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

      • Thầy có hướng giải này tốt hơn.
        —————–
        Gọi A_1 là điểm đối xứng của A(2;-1) qua đường phan giác d_B:x-2y+1=0.
        Gọi A_2 là điểm đối xứng của A(2;-1) qua đường phan giác d_C:x+y+3=0.
        Khi đó hai điểm A_1, \; A_2 phải thuộc cạnh BC.
        Em tìm tọa độ các điểm A_1, \; A_2 từ đó suy ra phương trình đường thẳng đi qua A_1, \; A_2 chính là phương trình đường thẳng chứa cạnh BC

        • Tuy nhiên khi làm theo hướng này em cần kiểm tra lại xem giao điểm I của d_B, \; d_C vfa A có nằm khác phía so với đường thẳng BC hay không.
          Nếu đúng thì I là tâm đường tròn nội tiếp suy ra d_B, \; d_C là các đường phân giác trong.
          Nếu sai thì kết quả hướng làm trên không phải là nghiệm hình của bài toán.

      • Em kiểm tra lại đề xem giúp thầy.
        Khi vẽ trên phần mềm Toán để tìm đáp án thầy nhận thấy các điểm B, \; C rất gần điểm I.

  50. thay ọ giup bạ nay vọ em gjaj họa hok dc
    ma em co nho thay nhung thay chua gjaj.
    Trong mp(oxy) cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ 1 đỉnh có pt lần lượt là x-3y-7=0 va x+y+1=0.
    Xác định tọa độ cac đirnh B và C của tam giác?

    • Thầy không để ý. EM thông cảm nhé !
      Mà khi hỏi bài em cố gắng viết đầy đủ các từ bằng Tiếng Việt, có dấu nhé. Mình là người Việt Nam phải tôn trọng chữ viết của mình chứ, đúng không em ?
      ——————–
      Nhận xét: Tọa độ điểm A(2,1) không thỏa mãn các phương trình d_1:x-3y-7=0d_2:x+y+1=0 nên ta giả sử d_1, \; d_2 là đường cao và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B.
      Khi đó tọa độ của B là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-3y-7=0 \\ x+y+1=0 \end{array} \right.
      Giải hệ này được (x;y)=(1;-2). Suy ra B(1;-2).
      Đường thẳng d chứa cạnh AC vuông góc với đường cao d_1 nên nhận \overrightarrow{n_1}=(1;-3) làm vectơ chỉ phương của d, suy ra \overrightarrow{n}=(3;1) là vectơ pháp tuyến của d.
      Phương trình của d: 3(x-2)+1(y-1)=0 \Leftrightarrow d: 3x+y-7=0
      Trung điểm M của cạnh AC là giao điểm của đường trung tuyến d_2 với đường thẳng d chứa cạnh AC.
      Suy ra tọa độ của M là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} 3x+y-7=0 \\ x+y+1=0 \end{array} \right.
      Giải hệ này được (x;y)=(4;-5). Suy ra M(4;-5).
      M(4;-5) là trung điểm của đoạn AC nên ta có
      x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}, \; y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}
      Suy ra tọa độ của C là: x_C=2x_M-x_A=2.4-2=6 , \; y_C=2y_M-y_A=2.(-5)-1=-11
      Vậy C(6;-11).

  51. thầy ơi thầy giải giúp e bài này nha thầy!
    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;2;1) và d: x/2=y/4=(z+3)/1
    viết pt đường thẳng qua A, vuông góc với d và cắt d

    • Bài này có những cách giải sau:
      ——————-
      Cách 1:
      Vecto chỉ phương của d\overrightarrow{u}=(2;4;1)
      Gọi M(2t;4t;t-3) là điểm thuộc đường thẳng d: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z+3}{1} sao cho AM \perp d , (t \in \mathbb{R}).
      Ta có \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM}=0
      \Leftrightarrow 2.(2t-3)+4.(4t-2)+1.(t-3-1)=0 \Leftrightarrow 21t-18=0
      \Leftrightarrow t=\dfrac{6}{7}, suy ra M(\dfrac{12}{7};\dfrac{24}{7};-\dfrac{15}{7})
      \overrightarrow{AM}=(-\dfrac{9}{7};\dfrac{10}{7};-\dfrac{22}{7})
      Đường thẳng \Delta đi qua AM là đường thẳng cần tìm (vuông góc và cắt d tại M).
      \Delta nhận \overrightarrow{u_1}=-7\overrightarrow{AM} =(9;-10;22) làm vecto chỉ phương nên có phương trình
      \Delta : \dfrac{x-3}{9}=\dfrac{y-2}{-10}=\dfrac{z-1}{22}

      • Cách 2:
        Gọi (P) là mặt phẳng qua A(3;2;1) và vuông góc với d
        Khi đó (P) nhận vecto chỉ phương của d\overrightarrow{u}=(2;4;1) làm vecto pháp tuyến của (P).
        Phương trình của (P):2(x-3)+4(y-2)+1(z-1)=0
        Hay (P): 2x+4y+z-15=0
        Xét hệ phương trình \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z+3}{1} \\2x+4y+z-15=0 \end{array} \right.
        \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 4x=2y \\ x=2(z+3) \\2x+4y+z-15=0 \end{array} \right.
        \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2x-y=0 \\ x-2z-6=0) \\2x+4y+z-15=0 \end{array} \right.
        Giải hệ ta được (x;y;z)=(\dfrac{12}{7};\dfrac{24}{7};-\dfrac{15}{7}).
        Suy ra M(\dfrac{12}{7};\dfrac{24}{7};-\dfrac{15}{7}).
        Đường thẳng \Delta cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm AM.
        Em làm theo cách 1 nhé !

  52. thay oi thay giai ho em bai nay voi a:
    cho 4 diem A(-2,0,1) B(0,10,3) C(2,0,-1) D(5,3,-1)
    viet phuong trinh duong thang (denta) qua D cat truc hoanh va vuong goc voi Ox. yinh goc giua (denta) voi (ABC)

    • Vecto đơn vị của trục Ox\overrightarrow{i}=(1;0;0)
      Gọi M(t;0;0) là điểm thuộc trục hoành Ox sao cho DM \perp Ox.
      Khi đó ta có \overrightarrow{DM} \perp \overrightarrow{i} \Leftrightarrow \overrightarrow{DM}.\overrightarrow{i}=0
      \Leftrightarrow (t-5).1+(0-3).0+(0+1).0=0 \Leftrightarrow t=5
      Suy ra M(5;0;0)\overrightarrow{DM}=(0;-3;1).
      Đường thẳng \Delta cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm D, \; M nhận \overrightarrow{DM}=(0;-3;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình:
      \Delta : \left \{ \begin{array}{l} x=5+0t \\ y=0-3t \\ z=0+t \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \Delta : \left \{ \begin{array}{l} x=5 \\ y=-3t \\ z=t \end{array} \right.

      • Để tính góc giữa \Delta với mặt phẳng (ABC) ta làm như sau:
        – Tìm tọa độ vecto pháp tuyến \overrightarrow{n} của mặt phẳng (ABC).
        – Tìm tọa độ vecto chỉ phương \overrightarrow{u} của \Delta.
        – Gọi \varphi là góc giữa \Delta với mặt phẳng (ABC), ta có:
        \sin{\varphi}=|\cos{(\overrightarrow{n},\overrightarrow{u})}|=\dfrac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{u}|}.
        Tính \sin{\varphi} theo công thức trên rồi suy ra giá trị của \varphi.

  53. Thầy giải dùm em bài này đi ạ!Cảm ơn thầy nhiều.
    Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1,0,0) tiếp xúc với ba trục tọa độ và tâm của mặt cầu có tọa độ là 3 số thực dương.

    • Gọi I(a;b;c) là tọa độ tâm mặt cầu cần tìm.
      Vì mặt cầu tiếp xúc với ba trục tọa độ nên ta có \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{c^2+a^2}.
      \Leftrightarrow a^2=b^2=c^2
      Mặt khác tâm của mặt cầu có tọa độ là 3 số thực dương nên a > 0 , \; b > 0 , \; c > 0 .
      Từ đó ta có a = b = cI(a;a;a).
      Nhận xét: A(1;0;0) thuộc trục hoành.
      Do đó, mặt cầu tiếp xúc với trục hoành tại A(1;0;0).
      Suy ra \overrightarrow{IA} \perp \overrightarrow{OA}.
      \Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{OA}=0
      \Leftrightarrow (1-a)*1+(0-a)*0+(0-a)*0=0 \Leftrightarrow a=1.
      Mặt cầu cần tìm có tâm I(1;1;1) và bán kính r = IA= \sqrt{2}.
      Vậy phương trình mặt cầu là:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=2

  54. thầy giải giúp e với. trong hệ tọa độ 0XYZ cho mặt phẳng (P): x+2y-3z+5=0 và 3 điểm A(1;1;1) B(3;1;5) C(3;5;3). tìm trên mp (P) điểm M(x;y;z) cách đều 3 điểm A,B,C

    • Bài này có nhiều cách giải.
      Thầy hướng dẫn em cách làm sau:
      – Nhận xét: M cách đều các điểm A, \; B, \; C nên M thuộc các mặt phẳng (\alpha), \; (\beta), \; (\gamma) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn AB, \; BC, \; CA.
      – Vậy em chỉ cần viết phương trình các mặt phẳng (\alpha), \; (\beta) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các đoạn AB, \; BC.
      – Bước tiếp theo, giải hệ gồm ba phương trình của các mặt phẳng (\alpha), \; (\beta), \; (P).
      Tìm được tọa độ điểm M.
      Có thể kiểm tra lại xem MA = MB= MC hay không nhé !

  55. Vì mặt cầu tiếp xúc với ba trục tọa độ nên ta có
    \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{c^2+a^2}.
    Thầy ơi, sao em không hiểu chỗ này.Hix.Mong thầy giảng lại cụ thể hơn.

    • Em cần tính khoảng cách từ I đến các trục tọa độ.
      Khi đó, do mặt cầu tiếp xúc với 3 trục tọa độ nên khoảng cách từ I đến các trục tọa độ là bằng nhau.
      Gọi I_1 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng yOz ta có I_1(0;b;c)
      Suy ra khoảng cách từ I đến trục Ox bằng khoảng cách từ I_1 đến trục Ox và bằng OI_1=\sqrt{b^2+c^2}.
      Tương tự ,khoảng cách từ I đến trục Oy bằng \sqrt{a^2+c^2} , khoảng cách từ I đến trục Oz bằng \sqrt{a^2+b^2}.

  56. thầy giải giúp e bài này
    cho d: x+2y-6=0
    d';x-2y+3=0
    viết phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi 2 đt trên
    cám ơn thầy

    • Bài này có nhiều cách giải.
      Thầy hướng dẫn em một cách sau:
      – Gọi M(x_0;y_0) là điểm thuộc đường phân giác của các góc hợp bởi d:x+2y-6=0, \; d':x-2y+3=0.
      Khi đó điểm M(x_0;y_0) cách đều các đường thẳng d, \; d', tức là khoảng cách từ M(x_0;y_0) đến d bằng khoảng cách từ M(x_0;y_0) đến d'.
      Nên ta có d_{(M,d)}=d_{(M,d')}
      \Leftrightarrow  \dfrac{|x_0+2y_0-6|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \dfrac{|x_0-2y_0+3|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}
      \Leftrightarrow  \dfrac{|x_0+2y_0-6|}{\sqrt{5}}= \dfrac{|x_0-2y_0+3|}{\sqrt{5}}
      \Leftrightarrow  |x_0+2y_0-6|=|x_0-2y_0+3|
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0+2y_0-6=x_0-2y_0+3 \\ x_0+2y_0-6= -(x_0-2y_0+3) \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l} 4y_0-9=0 \\ 2x_0-3= 0 \end{array} \right.
      Như vậy tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình các đường thẳng t_1:4y-9=0t_2:2x-3=0.
      Vậy phương trình các đường phân giác cần tìm là t_1:4y-9=0t_2:2x-3=0.

  57. cảm ơn thầy, nhờ thầy giảng giùm e bài này ạ
    cho tam giác ABC biết A(1;2),B(3;1),C(5;4)
    a) Viết pt tham số và tổng quát của đt d đi qua A và song song với trung tuyến CMcủa t/g ABC
    b) viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC

    • Hướng dẫn Câu a:
      – Em tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB.
      – Tính tọa độ vecto \overrightarrow{CM}.
      – Vì d | | CM nên d nhận vecto \overrightarrow{CM} làm vecto chỉ phương.
      Suy ra vecto pháp tuyến của d\overrightarrow{n}=(-y_{\overrightarrow{CM}};x_{\overrightarrow{CM}}).
      – Từ đó viết được phương trình đường thẳng d (đi qua điểm A).
      ———————-
      Hướng dẫn Câu b:
      Thầy giới thiệu một cách cơ bản cho dạng này như sau:
      – Gọi D(a;b) là chân đường phân giác trong góc \widehat{A} của tam giác ABC ta có \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=k \;\; (1)
      Em tự tính độ dài các cạnh AB, \; AC suy ra k=\dfrac{AB}{AC}.
      – Vì D thuộc đoạn BC nên hai vecto \overrightarrow{DB}, \; \; \overrightarrow{DC} ngược hướng.
      Nên từ (1) suy ra \overrightarrow{DB} = -k.\overrightarrow{DC}.
      Cho tọa độ vecto ở hai vế bằng nhau em sẽ tìm được a, \; b.
      – Từ đó tính được tọa độ điểm D(a;b).
      Sau đó viết phươgn trình đường thẳng AD.

  58. truong thanh tien

    hi. hay qua. anh dua may bai dang viet pt mat cau o

  59. thay oi giup e bai nay voi

  60. cho mc (S): x^2+y^2+Z^2-2x+4y-6z-11=0 va mp(P): x+3y+2z-1=0.
    Viet pt mp (Q) song song voi mp (P)va tiep xuc voi mc (S)
    thay giup e cach trinh bay voi!

    • Bài này thuộc bài toán cơ bản em à.
      EM ghi nhớ: điều kiện để mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) có tâm I , bán kính r là:
      Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) bằng bán kính r của mặt cầu.
      —————
      * Ta có mặt cầu (S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0
      \Leftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.
      Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính r=\sqrt{25}=5.
      * Mặt phẳng (Q) | | (P):x+3y+2z-1=0 nên nhận \overrightarrow{n}=(1;3;2) làm một vecto pháp tuyến.
      Do đó, phương trình của (Q) có dạng (Q):x+3y+2z+m=0, với số thực m \neq -1.
      Điều kiện để mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)d_{\;(I,(Q))}=r
      \Leftrightarrow \dfrac{|1+3(-2)+2.3+m|}{\sqrt{1^2+3^2+2^2}}=5
      \Leftrightarrow \dfrac{|1+m|}{\sqrt{14}}=5
      \Leftrightarrow |1+m|=5\sqrt{14}
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1+m=5\sqrt{14} \\ 1+m=-5\sqrt{14} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=5\sqrt{14}-1 \\ m=-5\sqrt{14}-1 \end{array} \right.
      * Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán, có phương trình là:
      (Q):x+3y+2z+5\sqrt{14}-1=0,
      (Q):x+3y+2z-5\sqrt{14}-1=0.

  61. trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). viết phương trình mp (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

    trường hợp 1: (P) qua A,B và song song CD
    trường hợp 2: (P) qua A,B và cắt CD, suy ra (P) cắt CD tại trung điểm của CD
    em không hiểu lắm ở trường hợp 2 thầy có nói chi tiết cho em không ạ
    bài này có cách nào khác nữa không ạ, nếu có thầy có thể dạy e không

    • Có hai trường hợp :
      Trường hợp 1: C, \; D nằm cùng phía so với mặt phẳng (P). Khi đó CD | | (P).
      Trường hợp 2: C, \; D nằm khác phía so với mặt phẳng (P). Khi đó (P) cắt CD tại trung điểm của CD.
      ——————-
      Cách giải khác:
      Giả sử phương trình (P):ax+by+cz+d=0.
      (P) đi qua A(1;2;1), \; B(-2;1;3) nên ta có hệ
      \left \{ \begin{array}{l} a+2b+c+d=0 \\ -2a+b+3c+d=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{l} a+2b+c+d=0 \\ 3a+b-2c=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{l} a+2(2c-3a)+c+d=0 \\ b=2c-3a \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{l} d=5a-5c \\ b=2c-3a \end{array} \right.
      Tức là mặt phẳng (P) có phương trình (P): ax+(2c-3a)y+cz+5a-5c=0 \;\;\; (*).
      Theo giả thiết, khoảng cách từ C(2;-1;1) đến (P) bằng khoảng cách từ D(0;3;1) đến (P) nên ta có:
      \dfrac{|a.2+(2c-3a)(-1)+c.1+5a-5c|}{\sqrt{a^2+(2c-3a)^2+c^2}}=\dfrac{|a.0+(2c-3a).3+c.1+5a-5c|}{\sqrt{a^2+(2c-3a)^2+c^2}}
      \Leftrightarrow |10a-6c| = | 2c-4a|
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 10a-6c = 2c-4a \\ 10a-6c = -(2c-4a) \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 7a = 4c \\ 3a = 2c \end{array} \right.
      Chú ý a, \; b, \; c không đồng thời bằng không.
      * Trường hợp 7a=4c ta có a=\dfrac{4}{7}c thay vào (*) ta được:
      \dfrac{4}{7}cx+(2c-3.\dfrac{4}{7}c)y+cz+5.\dfrac{4}{7}c-5c=0 \;\;\; (*1)
      c=0 \Rightarrow a=0, \; b=2c-3a=0 không thỏa mãn điều kiện. Suy ra c \neq 0.
      Do đó ta có (chia 2 vế của (*1) cho c \neq 0):
      \dfrac{4}{7}x+(2-3.\dfrac{4}{7})y+z+5.\dfrac{4}{7}-5=0
      \Leftrightarrow 4x+2y+7z-15=0.
      ** Trường hợp 3a=2c làm tương tự ta có phương trình của (P): 2x+3z-5=0.
      Kết luận: Có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán:
      (P): 2x+3z-5=0
      (P):4x+2y+7z-15=0

  62. Thầy ơi, em gần thi học kì rồi, thầy giúp em làm bài này với, em tìm hướng giãi rồi mak` vẫn chưa tìm ra ạ
    Bài 1: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn CosA+cosB = SinA.CosB + SinB.CosA. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông?

  63. cho 2 điểm A,B và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất.
    em đọc được cách giải như sau
    b1 Tìm tọa độ các điểm A1,B1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A,B lên d
    b2 tính độ dài AA1 và BB1. từ đó suy ra tọa độ điểm N chia vectơ A1B1 theo tỉ số -(AA1/BB1) [vectơ NA1 chia cho vectơ NB1 bằng -(AA1 chia cho BB1)] rồi suy ra tọa độ của N
    b3 ta đi chứng minh rằng MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng N
    em không hiểu lắm về bước 2 chỗ lập tỉ số ạ, thầy có thể giúp em không ạ

    • Em xem hình vẽ sau:


      Theo hình vẽ này có hai trường hợp:
      TH1: A, \; B khác phía so với d.
      Lúc đó N = AB \cap d nên \dfrac{NA_1}{NB_1}=\dfrac{AA_1}{BB_1}=k > 0 vì hai tam giác NAA_1NBB_1 đồng dạng.
      Suy ra NA_1 = k.NB_1.
      Mặt khác hai vecto \overrightarrow{NA_1}, \; \overrightarrow{NB_1} ngược hướng, do đó \overrightarrow{NA_1} = -k.\overrightarrow{NB_1}.
      TH2: A, \; B cùngc phía so với d.
      Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d.
      Gọi N = A'B \cap d ta có hai tam giác NAA_1NBB_1 đồng dạng.
      Lập luận tương tự, suy ra \overrightarrow{NA_1} = -k.\overrightarrow{NB_1}.

      • thế làm bài dạng này e phải xét xem thuộc dạng nào ạ, em tưởng chỉ trong mp thì mới phải xét xem A,B nằm cùng phía hay khác phía trứ

  64. thay oi giup e bai nay voi: xac dinh dang cua tam giac ABC biet 1/sinA +1/sinB =1/cos(C/2).cam on thay nhju

  65. Nguyen dinh tung

    Thầy ơi. Cho em xin file hình ảnh các kiến thức của hình không gian 0xyz . Có thêm 0xy càng tốt ạ. Em thi khối V . Em học kém toán lắm. Nếu muốn kiếm 5đ thi đh thì e nên ôn tập những gì thưa thầy?

  66. cho 2 đường thẳng chéo nhau, em muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng thì viết ptmp vuông góc vs 1 đường thẳng rồi lấy 1 điểm thuộc đường thẳng kia rồi tính từ điểm đấy đến mp vừa tìm đúng không thầy

  67. cho 2 điểm A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2) và mp(P);ax+by+cz+d=0. tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho /MA-MB/ lớn nhất

  68. Thầy hướng dẫn giúp e bài này với : cho hbh có tọa độ (4,-1) ,d9p đường thẳng chứa cạnh x-3y=0 , 2x+5y+6=0 . tìm tọa độ ba điềm còn lại

    • Em ghi lại rõ đề bài thầy xem nhé !
      Có phải đề bài:

      Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4,-1), phương trình đường thẳng chứa hai cạnh của hình bình hành là x-3y=0, \; 2x+5y+6=0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

      • Nhận xét: Giả sử đỉnh đã cho là A. Tức là A(4;-1)
        Tọa độ đỉnh A(4;-1) không thỏa mãn phương trình đường thẳng chứa hai cạnh đã cho. Suy ra giao điểm của hai đường thẳng này là đỉnh đối diện của A, gọi đó là đỉnh C.
        Tọa độ của C là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-3y=0 \\ 2x+5y+6=0 \end{array} \right.
        GIải hệ này ta được (x;y)=(-\dfrac{18}{11};-\dfrac{6}{11}).
        Suy ra C(-\dfrac{18}{11};-\dfrac{6}{11}).
        * Đường thẳng d_3 đi qua A(4;-1) và song song với cạnh d_1: x-3y=0 có phương trình
        d_3: x-4-3(y+1)=0 hay d_3: x-3y-7=0.
        * Đường thẳng d_4 đi qua A(4;-1) và song song với cạnh d_2: 2x+5y+6=0 có phương trình
        d_4: 2(x-4)+5(y+1)=0 hay d_4: 2x+5y-3=0.
        **Gọi B là giao điểm của d_1: x-3y=0d_4:2x+5y-3=0
        Tọa độ của B làn nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-3y=0 \\ 2x+5y-3=0 \end{array} \right.
        GIải hệ này ta được (x;y)=(\dfrac{9}{11};\dfrac{3}{11}).
        Suy ra B(\dfrac{9}{11};\dfrac{3}{11}).
        **Gọi D là giao điểm của d_3: x-3y-7=0d_2:2x+5y+6=0
        Tọa độ của D làn nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-3y-7=0 \\ 2x+5y+6=0 \end{array} \right.
        GIải hệ này ta được (x;y)=(\dfrac{17}{11};-\dfrac{20}{11}).
        Suy ra D(\dfrac{17}{11};-\dfrac{20}{11}).
        Vậy tọa độc các đỉnh còn lại của hình bình hành là:

        C(-\dfrac{18}{11};-\dfrac{6}{11}), B(\dfrac{9}{11};\dfrac{3}{11}), D(\dfrac{17}{11};-\dfrac{20}{11}).

  69. em chua hỉu:A(-4,1) không thỏa mãn phương trình chứa hai cạnh đã cho là sao hả thầy ? Vì sao mình biết điều đó

    • Em chỉ cần thay tọa độ điểm A(4;-1) vào phương trình x-3y=0.
      Tức là thay x=4, \; y=-1.
      Ta có x-3y=4-3.(-1)=7 \ne 0.
      Suy ra tọa độ điểm A(4;-1) không thỏa mãn phương trình x-3y=0.
      Tương tự cho phương trình còn lại !

  70. em hiểu rồi , em cảm ơn thầy nhiều

  71. Thầy có thẻ giúp em bài toán này không ? em chỉ tìm đc vecto chỉ phương và 1 hệ 2pt 3 ẩn, cần 1 pt nữa thưa thầy
    Cho đt (d) : x= 1 +2t và mp (P) : x + 2y -z -3=0
    y = -2 +t
    z= t
    viết ptđt (d2) nằm trong (P), vuông gốc với (d), sao cho khoang cách giữa (d) và (d2) = căn 2, thầy hướng dẫn giúp em nhé, cảm ơn thầy rất nhiều

    • Bài này có nhiều hướng giải.

      • Sau đây là một cách giải:
        ———————————

        Đường thẳng d:\left\{ \begin{array}{l}  x = 1 + 2t \\   y =  - 2 + t \\   z = t \\   \end{array} \right. đi qua điểm M\left( 1;-2;0 \right) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u}=\left( 2;1;1 \right).
        Mặt phẳng \left( P \right):x+2y-z-3=0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}=\left( 1;2;-1 \right).
        Đường thẳng d cắt mặt phẳng \left( P \right) tại điểm I\left( 5;0;2 \right).
        Đường thẳng \Delta đi qua M\left( 1;-2;0 \right) và vuông góc với \left( P \right) nhận \overrightarrow{n}=\left( 1;2;-1 \right) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \Delta :\left\{ \begin{array}{l}  x = 1 + t \\   y =  - 2 + 2t \\   z =  - t \\   \end{array} \right..
        Đường thẳng \Delta cắt mặt phẳng \left( P \right) tại điểm K\left( 2;0;-1 \right).
        Đường thẳng {d}' đi qua hai điểm I\left( 5;0;2 \right)K\left( 2;0;-1 \right) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng \left( P \right).
        Vectơ chỉ phương của {d}'\overrightarrow{IK}=\left( -3;0;-3 \right) nên ta có phương trình d':\left\{ \begin{array}{l}  x = 5 + t \\   y = 0 \\   z = 2 + t \\   \end{array} \right. .
        Gọi H là điểm trên {d}'{H}' là hình chiếu vuông góc của H trên d.
        Ta có H{H}' là khoảng cách từ H đến d.
        Hình vẽ  minh họa
        Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \left( P \right), ta có
        \sin \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {2.1 + 1.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{6}
        Tam giác IH{H}' vuông tại H'\sin \varphi =\dfrac{H{H}'}{HI}\Rightarrow HI=H{H}'\sin \varphi .
        Xét điểm H sao cho H{H}'=\sqrt{2} ta có HI=\sqrt{2}\sin \varphi =\dfrac{\sqrt{2}}{6}.
        Gọi tọa độ của H\left( 5+t;0;2+t \right)\in {d}'.
        Ta có HI=\dfrac{\sqrt{2}}{6}\Leftrightarrow 18.H{{I}^{2}}=1\Leftrightarrow 18\left[ {{t}^{2}}+{{0}^{2}}+{{t}^{2}} \right]=1 \Leftrightarrow {{t}^{2}}=\dfrac{1}{36}\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{6}.
        Với t=\dfrac{1}{6} ta có H\left( \dfrac{31}{6};0;\dfrac{13}{6} \right).
        Với t=-\dfrac{1}{6} ta có H\left( \dfrac{29}{6};0;\dfrac{11}{6} \right)
        Xét vectơ \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{n} \right)=\dfrac{1}{3}\left( -3;2;3 \right)=\left( -1;1;1 \right).
        Gọi \left( \beta  \right) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng d,{d}'.
        Ta có \overrightarrow{v}=\left( -1;1;1 \right) là một vectơ pháp tuyến của \left( \beta  \right).
        Đường thẳng cần tìm đi qua điểm H và vuông góc với \left( \beta  \right) nên nhận \overrightarrow{v}=\left( -1;1;1 \right) làm vectơ chỉ phương.
        Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:

        {l_1}:\left\{ \begin{array}{l}  x = \dfrac{{31}}{6} - t \\   y = t \\   z = \dfrac{{13}}{6} + t \\   \end{array} \right.
        {l_2}:\left\{ \begin{array}{l}  x = \dfrac{{29}}{6} - t \\   y = t \\   z = \dfrac{{11}}{6} + t \\   \end{array} \right.

  72. thầy giúp e bài này nha!
    1.trong mp (Oxy),cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD:x-y=0 ,đường cao CH:2x+y+3=0, cạnh AC quaa M(0;-1), AB=2AM. viết phương trình ba cạnh tam giác ABC.
    2.trong mp (Oxy), cho đường tròn (C):x^2 +y^2 +2x-4y-4=0 và điểm A(3;5). viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn. giả sử các tiếp điểm là M,N. tính độ dài đoạn MN.

    • Bài 1:
      —————

      Gọi tọa độ của A\left( a;a \right)C\left( -c;2c-3 \right).
      Đường thẳng AB\bot CH nên AB nhận vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}=\left( 2;1 \right) của CH làm vectơ chỉ phương của AB.
      Vì đường thẳng AC đối xứng với đường thẳng AB qua AD:y=x là đường phân giác của góc xOy (góc phần tư thứ nhất) nên AC có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}=\left( 1;2 \right).
      Mặt khác AC đi qua M nên ta có \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC} cùng phương và đồng thời \overrightarrow{AC},\overrightarrow{u} cùng phương.
      Từ đó ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}  \overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MC}  \\   \overrightarrow {AC}  = t\overrightarrow u  \\   \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a = k\left( { - c} \right) \\   a + 1 = k\left( {2c - 2} \right) \\    - c - a = t.1 \\   2c - a - 3 = t.2 \\   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a =  - kc \\   3a + 1 =  - 2k \\   t =  - a - c \\   a + 4c - 3 = 0 \\   \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  a =  - kc \\   3a =  - 2k - 1 \\   12c = 9 - 3a \\   t =  - a - c \\   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  12a =  - k.12c \\   3a =  - 2k - 1 \\   12c = 2k + 10 \\   t =  - a - c \\   \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  4\left( { - 2k - 1} \right) =  - k\left( {2k + 10} \right) \\   3a =  - 2k - 1 \\   12c = 2k + 10 \\   t =  - a - c \\   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}  2{k^2} + 2k - 4 = 0\, \\   3a =  - 2k - 1 \\   12c = 2k + 10 \\   t =  - a - c \\   \end{array} \right.

      Vì cạnh AC đi qua M nên k < 0 nên phương trình 2{{k}^{2}}+2k-4=0 có nghiệm k=-2.
      Từ đó ta có a=1c=\dfrac{1}{2}.
      Suy ra A\left( 1;1 \right),\,C\left( -\dfrac{1}{2};-2 \right).
      Đường thẳng AB đi qua A\left( 1;1 \right) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 1;-2 \right) nên có phương trình AB:1.\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)=0 hay AB:x-2y+1=0.
      Đường thẳng AC đi qua A\left( 1;1 \right) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 2;-1 \right) nên có phương trình AC:2.\left( x-1 \right)-1\left( y-1 \right)=0 hay AC:2x-y-1=0.
      Gọi tọa độ điểm B\in AB:x-2y+1=0B\left( 2b-1;b \right).
      Ta có AB=2AM\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=4A{{M}^{2}}
      \Leftrightarrow {{\left( 2b-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4.5\Leftrightarrow {{\left( b-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow b-1=\pm 2.
      Suy ra b=3 hoặc b=-1.
      Như vậy ta có B\left( 5;3 \right) hoặc B\left( -3;-1 \right).
      Vì AD là đường phân giác trong của góc A nên B, C nằm khác phía só với AD.
      Do đó chỉ có điểm B\left( -3;-1 \right) thỏa mãn (em tự kiểm tra nhé !).
      Đến đây em tự viết phương trình của đường thẳng BC.

    • Bài 2:
      —————
      Đường tròn (C):(x+1)^2+(y-2)^2=9 có tâm I(-1;2) và bán kính r=\sqrt{9}=3.
      Dễ thấy khoảng cách từ tâm I(-1;2) đến đường thẳng x=x_A=3 bằng h=| 3-(-1) |=4 \ne r nên tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;5) không có phương trình dạng x=m , (song song hoặc trùng với trục tung).
      Do đó, tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng qua A(3;5) với hệ số góc k nên có phương trình dạng \Delta :y=k(x-3)+5
      Hay \Delta : kx-y-3k+5=0.
      Ta có khoảng cách từ tâm I(-1;2) đến \Delta bằng r=3. (vì \Delta tiếp xúc với (C)).
      \dfrac{ | k.(-1)-2-3k+5 | }{\sqrt{k^2+(-1)^2}}=3 \Leftrightarrow | 3-4k |=3\sqrt{k^2+1}
      \Leftrightarrow 16k^2-24k+9=9(k^2+1) \Leftrightarrow  7k^2-24k=0
      \Leftrightarrow k=0 hoặc k= \dfrac{24}{7}
      Vậy phương trình các tiếp tuyến cần tìm là:
      \Delta _1: y=5 ,
      \Delta _2: \dfrac{24}{7}x-y-\dfrac{37}{7}=0 .

      • em có cách này thầy xem có được không a.
        giả sử điểm M(x1;y1) là tiếp điểm, khi đó pt tiếp tuyến có dạng (d): x.x1+y.y1+(x+x1)-2(y+y1)-4=0 (1)
        vì M thuộc (C) (x1)^2+(y1)^2+2×1-4y1-4=0 (2)
        điểm A(3;5) thuộc (d) 4×1+7y1-11=0 (3)
        giải hệ pt tạo bởi (2),(3) khi đó ta tìm được x1 và y1 rồi suy ra điểm M.
        Tương tự ta tìm được điểm N,
        em lam hơi ẩu nên có sai số thì thày tính lại hộ e.

  73. thầy giải thích giúp e ở bài 1, vì sao AC có vecto u(1;2)

  74. thầy giải hộ em bai nay
    trong hệ Oxyz, cho đường thẳng d: (x-1)/2=y/1=(z+2)/(-1), điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P): 5x-y+3z-7=0. Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm trong (P) và khoảng cách từ nó đến d bằng 2căn3

  75. cho mp(P) 2x+y+z+1=0 A(1;2;-1), B(2;3;0). tìm M thuộc (P) sao cho /MA-MB/ lớn nhất
    mong thầy giải giùm e với a, cám ơn thầy.

    • Đường thẳng AB nhận \overrightarrow{AB}=(1;1;1) làm vecto chỉ phương nên có phương trình
      \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y =2+t \\ z=-1+t \end{array} \right.
      Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại điểm I(0;1;-2).
      Ta có \overrightarrow{IA}=(-1;-1;-1) , \overrightarrow{IB}=(-2;-2;-2).
      Nhận thấy \overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IA} nên \overrightarrow{IB}\overrightarrow{IA} cùng hướng. Suy ra A, \; B cùng nằm về một phía so với mặt phẳng (P).
      Với điểm M \in (P) tùy ý, ta luôn có | MA - MB | \le AB (1)
      Dấu ”=” xảy ra (tức | MA - MB | = AB) khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng, lúc đó M = AB \cap (P). (2)
      Từ (1) và (2) ta suy ra | MA-MB | đạt giá trị lớn nhất bằng AB=\sqrt{3} khi M \equiv I(0;1;-2).
      Vậy điểm M cần tìm có tọa độ M(0;1;-2).

      • thưa thầy nếu như A,B khác phía thì gọi A1 là điểm đối xứng của A qua mp(P) rồi tìm giao của A1B và (P) là điểm I, rồi chứng minh điểm M trùng với I là xong đúng không thầy.

  76. Thiên Phước

    Thưa thầy cho con hỏi bài này ạ, nó về phần đồ thị hàm số
    Cho hàm số y = (2m – x) / ( x+m ) có đồ thị (Cm) ( m là tham số )
    Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của (Cm) và A (0;1). Tìm giá trị của tham số m để trên (Cm) tồn tại điểm B sao cho tam giác AIB vuông cân tại A
    Con suy nghĩ hoài nhưng con vẫn chưa tìm ra hướng giải quyết của bài này, mong thầy giúp cho con bài này ạ !

    • =========================
      Đường tiệm cận đứng của (C_m) có phương trình là: x=-m.
      Đường tiệm cận ngang của (C_m) có phương trình là: y=-1.
      Suy ra tọa độ của I(-m;-1), với điều kiện m \ne 0.
      Xét điểm B(b-m;\dfrac{3m-b}{b}) \in (C_m).
      Ta có \overrightarrow{AI}=(-m;-2), \; \overrightarrow{AB}=(b-m;\dfrac{3m-b}{b}-1)

  77. Thiên Phước

    Dạ thưa tới đó là ra hết r hả thầy ?
    Nhưng mà con chưa hiểu cái phần xét điểm B lắm thầy ơi

    • Chưa hết ! Do lúc trưa mất kết nối nên thầy không viết tiếp được.
      Để gọi điểm B \in (C_m) thầy chọn hoành độ của B bằng x_B= b-m để khi thay vào trong hàm số thì mẫu số sẽ được rút gọn.
      ==============
      Điều kiện để tam giác ABI vuông cân tại A\left \{ \begin{array}{l} AB \perp AI \\ AB = AI \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AI} = 0 \\ AB = AI \end{array} \right.
      Giải hệ điều kiện này em sẽ tìm được m, \; b.

  78. thầy giúp e bài này với
    cho (d1) 3x-y-4=0; (d2) x+y-6=0 và (d3) x-3=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A,C thuộc (d3), B thuộc (d1), D thuộc(d2).
    mong thầy giúp em cám ơn thầy.

    • Gọi tọa độ các đỉnh là A(3;a), \; C(3;c), \; B(b;3b-4), \; D(d;6-d).
      Ta có: \overrightarrow{AB}=(b-3;3b-a-4), \; \overrightarrow{DC}=(3-d;c+d-6),
      \overrightarrow{AD}=(d-3;6-d-a), \; \overrightarrow{BC}=(3-b;c-3b+4).
      Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi \left \{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC} =0 \end{array} \right.
      Giải hệ này em sẽ tìm được a, b, c, d.
      ==========
      ==========
      Cách 2: (Đơn giản hơn)
      Gọi I là tâm hình vuông ABCD khi đó I là trung điểm của AC$ nên I \in d_3 : x=3.
      Gọi tọa độ của II(3;m).
      Đường thẳng BD \perp AC và đi qua I(3;m) nên có phương trình dạng BD: y=m.
      Mặt khác B \in d_1 : 3x-y-4=0.
      DO đó tọa độ của B là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} 3x-y-4=0 \\ y=m \end{array} \right..
      Giải hệ ta được (x;y)=(\dfrac{m+4}{3};m). Suy ra B(\dfrac{m+4}{3};m).
      Tương tự, D \in d_2 : x+y-6=0.
      DO đó tọa độ của B là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x+y-6=0 \\ y=m \end{array} \right..
      Giải hệ ta được (x;y)=(6-m;m). Suy ra D(6-m;m).
      Mặt khác I(3;m) là trung điểm của BD nên ta có x_B+x_D=2x_I \Leftrightarrow \dfrac{m+4}{3} + 6-m = 2.3
      \Leftrightarrow m= 2.
      Từ đó ta có B(2;2), \; D(4;2).
      Gọi tạo độ của A \in d_3 : x=3A(3;a) .
      Ta có \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AD} =0.
      \Leftrightarrow (2-3).(4-3)+(2-a).(2-a)=0 \Leftrightarrow (a-2)^2=1 \Leftrightarrow a-2 = \pm 1
      Giải ta được a=3 hoặc a=1.
      Với a=3 ta có A(3;3)I là trung điểm của AC nên ta có C(3;1).
      Với a=1 ta có A(3;1)I là trung điểm của AC nên ta có C(3;3).
      ===
      Kết luận: A(3;3), B(2;2), C(3;1), D(4;2)
      hoặc A(3;1), B(2;2), C(3;3), D(4;2) .

  79. bài này nữa thầy ơi cho mp(P) x-y-z-5=0 và mp(Q) 2x+y+3z+7=0 viết pt mp phân giác qua 2 góc nhọn tạo bởi 2mp (P) và (Q).
    có phải gọi M(x;y;z) rồi tính d(M,(P))=d(M,(Q)) lúc đó sẽ được 2 mp đúng không thầy.

    • Làm theo cách đó em sẽ được 2 mặt phẳng là hai mặt phân giác của các góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó có một cặp góc nhọn, một cặp góc tù.
      Em cần xác định xem mặt phẳng nào là mặt phân giác của cặp góc nhọn.

      • Thầy có hướng làm như sau:
        Đầu tiên tìm hai mặt phẳng theo cách làm của em. Gọi hai mặt phân giác đó là (R_1), \; (R_2).
        Sau đó tiếp tục làm theo các bước sau:
        ========
        1. Chọn điểm A tùy ý thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (P), \; (Q). Chẳng hạn A(-2;-9;2).
        {Cách chọn A là: Cho z=2 sau đó thay vào phương trình của (P), \; (Q) để tìm x,y. EM có thể cho z nhận giá trị khá, cũng có thể cho x và tính y, z}.
        2. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và vuông góc với (P)(Q).
        Mặt phẳng này nhận vecto [\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}] làm vecto pháp tuyến.
        Trong đó \overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q} lần lươtk là vecto pháp tuyến của (P)(Q).
        3. Chọn điểm B \in (\alpha) \cap (P), điểm C \in (\alpha) \cap (Q).
        Cách làm như chọn điểm A ở bước 1.
        Tính \cos{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}=a.
        Nếu a > 0 thì góc \widehat{BAC} là góc nhọn, a < 0 thì góc \widehat{BAC} là góc tù.
        4. Viết phương trình đường thẳng AB.
        Giả sử a > 0, tức là góc \widehat{BAC} là góc nhọn.
        Tìm giao điểm của I=AB \cap (R_1) và kiểm tra xem \overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}.
        Nếu k < 0 thì A, \; B nằm khác phía so với (R_1).
        Kết luận (R_1) là mặt phân giác cần tìm.
        Nếu k > 0 thì A, \; B nằm cùng phía so với (R_1).
        Kết luận (R_2) là mặt phân giác cần tìm.
        ===
        Trường hợp khác em thử biện luận xem nhé !

      • phải chứng minh nữa ạ, còn cách nào nữa thầy, thầy có thể cho e biết không, e muốn hiểu thêm về mặt này.

  80. Thiên Phước

    Dạ con cảm ơn thầy ạ

  81. thưa thầy k biết ở đây có giải hình kgian nhưng em cứ share 1 đề nhé
    Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’

  82. thưa thầy k biết ở đây có giải hình học kgian k nữa, nhưng em cứ sharre 1 đề nhé
    cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có AB = 2a, Â’ = 3a, AD = 2a và gBAD = 60, cmr AB vuông góc với BD’ và tính d9A’,(ABD’))
    em vẫn chưa nghĩ ra phần khoảng cách ? thầy có thể gợi ý dùm e k ạ ?

  83. thầy giải giúp e 2 bài trên với bài này nữa. trong hệ trục tọa độ 0xyz cho điểm A(5;-7;1) và đừng thẳng (d) x=-1+2t; y=-3+t ; z=3-3t. Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua A và tạo với (d) một góc 60 độ.
    mong thầy giải giúp e với, e đang cần gấp mong thầy giải nhanh giúp e. cám ơn thầy rất nhiều.

    • Em xem lại đề bài tập này nhé.
      ====
      Nếu đề như trên thì bài toán có vô số nghiệm.
      Thầy mô tả để ví dụ: Em xét một mặt nón có đỉnh nằm trên d và góc ở đỉnh bằng 120^{\circ}.
      Khi đó đường thẳng \Delta bất kỳ đi qua A và song song với một đường sinh của mặt nón đó đều hợp với d một góc 60^{\circ}.
      Từ đó suy ra có vô số đường thẳng \Delta như vậy (vì mặt nón có vô số đường sinh).
      =========
      =========
      Kết quả bài tập em hỏi đợt trước ở đây.

  84. thầy ơi e add níc longdocao của thay rùi, có gì e hỏi thầy qua đấy đc k, njic e là yun.sutu ý

  85. cám ơn thầy còn bài này thầy giúp e với ạ: Trong mặt phẳng 0xy, cho A(3;1) , B(-1;2) và d: 2x-3y+5=0. Tìm M thuộc d sao cho: /2MA+4MB+AB/ ( MA.MB,AB là vectơ và dấu //là trị tuyệt đối thầy nha).
    Có phải gọi điểm N sao cho 2 lần vecto MA=MB rồi chèn N vào MA và MB đúng không thầy

  86. Thầy ời giúp e giai bài tập này với:
    cho tứ diện ABCD, 2 mat ABC và ABD là những tam giác đều cạnh a. 2 mp (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. tim giá trị góc giữa 2 dường thẳng AD và BC.???
    nhò thầy giúp!!!
    aK e còn cái này muốn hỏi nữa: về giải phương trình logarit khác cơ số thì mình nên giải bằng phương pháp nào vậy thấy???

  87. thưa thầy k biết ở đây có giải hình học kgian k nữa, nhưng em cứ sharre 1 đề nhé
    cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có AB = 2a, Â’ = 3a, AD = 2a và gBAD = 60, cmr AB vuông góc với BD’ và tính d9A’,(ABD’))
    em vẫn chưa nghĩ ra phần khoảng cách ? thầy có thể gợi ý dùm e k ạ ?

  88. Thiên Phước

    Thưa thầy, cho con hỏi 2 bài này ạ , nó thuộc về phần số phức
    1. Trong mp Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hai số phức z^2 – 2z + 3 và (z – 1 +2i)(z + 3i -1 ) có modun bằng nhau
    2. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết | z-4i | + | z + 4i | = 10
    Con cảm ơn thầy nhiều ạ

    • Câu 2:
      =====
      Giả sử z=x+yi với x,y \in \mathbb{R}.
      Ta có | z-4i | + | z+4i | =10
      \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y-4)^2}+\sqrt{x^2+(y+4)^2}=10.
      \Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y+4)^2}=10-\sqrt{x^2+(y-4)^2}
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 10-\sqrt{x^2+(y-4)^2} \ge 0 \\ x^2+(y+4)^2 = 100 - 20 \sqrt{x^2+(y-4)^2} + x^2+(y-4)^2 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+(y-4)^2 \le 100 \\ 20 \sqrt{x^2+(y-4)^2} = 100 -  16y \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+(y-4)^2 \le 100 \\ 5\sqrt{x^2+(y-4)^2} = 25 -  4y \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+(y-4)^2 \le 100 \\ 25-4y \ge0 \\ 25(x^2+(y-4)^2) = (25 -  4y)^2 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+(y-4)^2 \le 100 \\ y \le \dfrac{25}{4} \\ 25x^2+9y^2 = 225 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+(y-4)^2 \le 100 \\ y \le \dfrac{25}{4} \\ \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25} = 1 \end{array} \right.
      Vậy quỹ tích các điểm cần tìm thỏa mãn các điều kiện sau:
      – nằm trên elip có phương trình \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25} = 1 ;
      – thuộc hình tròn tâm I(0;4), bán kính bằng r=10;
      – thuộc nữa mặt phẳng chứa O(0;0) có bờ là đường thẳng y=\dfrac{25}{4}.
      Biễu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta thấy các điểm thuộc elip \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25} = 1 thỏa mãn hai điều kiện còn lại.
      Kết luận:
      Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa yêu cầu bài toán là elip có phương trình \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25} = 1 .

  89. cho 2 điểm A(a;0;a) và B(4a/3;-2a/3;-a/3) và đường thẳng (d) có phương trình
    x=t
    y=t
    z=a-t
    Tìm điểm M thuộc (d) sao cho /MA-MB/ lớn nhất
    thầy giải giúp e dạng này với em còn dạng này chưa biết.

    • bạn ơi vẽ hình ra sẽ thấy | MA – MB| luôn =< AB nên giá trị tuyệt đối đó lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đưởng thằng AB và đường thẳng (d) theo hướng đó sẽ ra đó

      • cách bạn đúng trong mp nếu như A và B cùng phía, mình nghĩ trong đường thẳng sẽ khác, cũng như MA+MB nhỏ nhất trong mp cách làm lại khác vs đường thẳng nên mình nghĩ MA-MB lớn nhất cũng khác trứ.

  90. thầy ơi giải cho em 2 bài này với:
    1.cho hình vuông ABCD có tâm I(5/2;5/2;). 2 điểm A, B lần lượt nằm trên các đường thẳng x+y-3=0 và x+y-4=0.tìm toạ độ các đỉnh hình vuông.
    2.cho tam giác ABC đường cao kẻ từ B và đường phân giác trong góc A lần lượt có pt: 3x+4y+10=0 và x-y+1=o.điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C 1 khoảng =căn 2.tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC.

  91. em thay thay rat tam huyet va cung rat nhiet tinh , va tat nhien la em rat thick duok hoc hoj tu nhung nguoi thay co nhu the . em mong thay se luon thuong xuyen len blog nay de em co the hoj mot so baj toan can thiet ,,

  92. thầy cho em hỏi:cho hcn tâm I(1/2;0) phương trình AB:x-2y+2=0:AB=2AD.tìm tọa độ 4 đỉnh của hcn,biết A co hoành độ âm

  93. thay oy, giúp em, viết ptdt qua 1 điểm và vuông góc vs 2 mp # làm ntn hả thầy? ^^

    • Bước 1: Xác định 2 vectơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng đề cho.
      Tính tích có hướng \overrightarrow{n} của 2 vectơ đó.
      Nếu \overrightarrow{n} = \overrightarrow{0} thì 2 mặt phẳng đã cho song song hoặc trùng nhau nên bài toán vô nghiệm hình.
      Nếu \overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0} thì \overrightarrow{n} là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
      Bước 2: Viết phương trình đường thẳng cần tìm.

  94. thầy ơi! neu viết đương thẳng d1 đối xứng với d2 qua d3 thi sao thưa thầy?

  95. thay oi cho e hoi cach lam bai dang tim phuong trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cho trước được không ạ? ví dụ như tìm phương trình tham số của dường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng lần lượt có pt sau: x+3y-5z+4=0 và 4x-y+3z-1=0

    • Bước 1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường thẳng.
      Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x+3y-5z+4=0(\beta):4x-y+3z-1=0.
      Tọa độ của M(x;y;z) thỏa mãn hệ phương trình: \left \{ \begin{array}{l} x+3y-5z+4=0 \\ 4x-y+3z-1=0 \end{array} \right.
      Trong hệ trên, cho z=1 ta được hệ \left \{ \begin{array}{l} x+3y-1=0 \\ 4x-y+2=0 \end{array} \right.
      Giải hệ này được x=\dfrac{6}{13}, y=-\dfrac{5}{13}.
      Như vậy ta được điểm M\left( {\dfrac{6}{{13}}; - \dfrac{5}{{13}};1} \right) \in d.
      Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của d.
      Vectơ pháp tuyến của (\alpha):x+3y-5z+4=0: \overrightarrow{n_1}=(1;3;-5).
      Vectơ pháp tuyến của (\beta):4x-y+3z-1=0: \overrightarrow{n_2}=(4;-1;3).
      Suy ra \overrightarrow{u} = \left[ \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} \right]=(4;-23;-13).
      d  \subset (\alpha), d  \subset (\beta) nên hai vectơ \overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2} có giá vuông góc với d.
      Suy ra \overrightarrow{u} =(4;-23;-13) là vectơ chỉ phương của d.
      Từ hai ý trên em tự viết phương trình của đường thẳng d.
      ===
      Chú ý:
      Việc để tọa độ điểm M \in d, ta chỉ cần cho x hoặc (y,z) nhận giá trị cụ thể.
      Rồi giải hệ thu được để tìm y, z.
      Từ đó ta có tọa độ điểm M \in d.

  96. nhóc mập

    Thầy ơi em muốn hỏi bài này hướng giải như thế nào ạ.Cho (P): x+2y+2z-5=0 và đương thẳng d có x=1; y=2+t; z=-t. Viết phương (Q) chứa đường d và tạo với (P) 1 góc anfa có cos anfa = căn6/3

    • Giả sử phương trình của (Q) : ax+by+cz+d=0, với a^2+b^2+c^2 \ne 0.
      Lấy hai điểm A(1;2;0), B(1;1;1) \in d : \{ x=1; y=2+t; z=-t \}.
      (Q) chứa d nên (Q) đi qua A, B. Do đó ta có:
      \left \{ \begin{array}{l} a+2b+d=0 \\ a+b+c+d =0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} d=-a-2b \\ c=b \end{array} \right.
      Suy ra phương trình của (Q): ax+by+bz+(-a-2b)=0 (*).
      Vectơ pháp tuyến của (Q): \overrightarrow{n_Q}=(a;b;b).
      Vectơ pháp tuyến của (P): \overrightarrow{n_P}=(1;2;2).
      Theo giả thiết ta có \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{3}
      \Leftrightarrow | \cos (\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{n_Q} ) | = \dfrac{\sqrt{6}}{3}
      \Leftrightarrow \dfrac{|a.1+b.2+b.2|}{\sqrt{a^2+b^2+b^2}.\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}
      \Leftrightarrow |a+4b| = \sqrt{6(a^2+2b^2)}
      \Leftrightarrow (a+4b)^2=6(a^2+2b^2)
      \Leftrightarrow 5a^2-4b^2-8ab=0
      \Leftrightarrow (5a+2b)*(a-2b)=0
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5a+2b=0 \\ a-2b =0 \end{array} \right.
      Trường hợp 5a+2b=0 \Leftrightarrow b=-\dfrac{5a}{2}, thay vào (*) ta được:
      (Q): ax-\dfrac{5a}{2}y-\dfrac{5a}{2}z+4a=0.
      \Leftrightarrow  (Q): 2x-5y-5z+8=0.
      (Vì a^2+b^2+c^2 \ne 0; b=-\dfrac{5a}{2}; c=b nên a \ne 0. Do đó ta giản ước được a ở hai vế)
      Trường hợp a-2b=0 \Leftrightarrow a=2b, thay vào (*) ta được:
      (Q): 2bx+by+bz-4b=0.
      \Leftrightarrow  (Q): 2x+y+z-4=0.
      (Vì a^2+b^2+c^2 \ne 0; a=2b; c=b nên b \ne 0. Do đó ta giản ước được b ở hai vế)
      Kết luận:
      Có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu, có phương trình là:
      (Q): 2x-5y-5z+8=0 hoặc (Q): 2x+y+z-4=0.

  97. nhóc mập

    Em cảm ơn thầy, ah thầy ơi em muốn hỏi dạng bài này thì làm thế nào ạ
    Bai 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): x^2 /8 +y^2 /4 =1 có các tiêu điểm F1,F2 (F1 có hoành độ âm). Đường thẳng d đi qua F2 và song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt (E) tại A và B. Tính diện tích tam giác ABF1.
    Bai 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) :y^2=2x và điểm K(2;0). Đường thẳng d đi qua K cắt (P) tại 2 điểm phân biệt M, N. Chứng minh rằng tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đương thẳng d

  98. thầy ơi em không hiểu cho lắm về các gợi ý về các dạng thầy cho thầy có thể nói dõ hơn được không ạh

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 50 other followers

%d bloggers like this: