Nguyên hàm


Một số bài toán tìm nguyên hàm.

Ghi nhớ một số nguyên hàm cơ bản:

1. \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| +C

2.\int \dfrac{dx}{x+a}=\ln|x+a|+C

3. \int\dfrac{dx}{ax+b}=\dfrac{1}{a}\int\dfrac{d(ax+b)}{ax+b}= \dfrac{1}{a} \ln|ax+b|+C

——————————————-

Bài 1: Tìm nguyên hàm \int \dfrac{dx}{\sin x}.

Cách 1:  Ta phân tích biểu thức dưới dấu nguyên hàm như  sau:

\dfrac{dx}{\sin x}=\dfrac{\sin x.dx}{\sin^2 x}  =\dfrac{-d(\cos x)}{1-\cos^2 x}

Đặt t=\cos x, khi đó nguyên hàm cần tìm được viết lại theo t như sau:

\int \dfrac{-dt}{1-t^2}=\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\dfrac{1}{2} \int (\dfrac{1}{t-1} -\dfrac{1}{t+1})dt

= \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{dt}{t-1} - \int \dfrac{dt}{t+1} ) = \dfrac{1}{2} ( \int \dfrac{d(t-1)}{t-1} - \int \dfrac{d(t+1)}{t+1} )

=\dfrac{1}{2} (\ln |t-1| - \ln |t+1|)+C =\dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{t-1}{t+1}|+C

Cuối cùng thay t=\cos x ta được:

\int \dfrac{dx}{\sin x}= \dfrac{1}{2} \ln|\dfrac{\cos x -1}{\cos x+1}|+C

———————————————

Cách 2: Dùng công thức góc nhân đôi ta có \sin x = 2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}

Khi đó \dfrac{dx}{\sin x} = \dfrac{dx}{2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}  =\dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} . \cos^2 \dfrac{x}{2}}.

Ta biết \dfrac{dx}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} = d(\tan \dfrac{x}{2})

Suy ra  \dfrac{dx}{2\tan\dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}} =\dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} .d(\tan \dfrac{x}{2})

Vậy nguyên hàm đã cho được tính như sau:

\int \dfrac{dx}{\sin x} = \int \dfrac{d(\tan \dfrac{x}{2})}{\tan \dfrac{x}{2}}  =\ln|\tan \dfrac{x}{2}|+C .

  1. thầy ơi sao không có đề cương ôn tập chương III vậy cho em địa chỉ đó nha

  2. Thầy có thể cho em xin giáo trình đó được ko ah?

    • thay oi sao ko co them cac pp giai khac va ti mi hon ve he phuong trinh

      • Em thông cảm. Hiện thầy đang cố gắng biên soạn một số tài liệu theo chuyên đề để giúp các em ôn tập.
        Tuy nhiên, do thời gian làm việc nhiều nên chưa rãnh được.
        Hẹn các em vào một dịp sớm nhất có thể.

  3. Le Duy Toan

    Thua thay ,thay co the giai mot so bai tap mot cac ti mi hon ko a!

  4. Le Duy Toan

    thay giang chung chung rat kho hieu

  5. do thanh duc

    thay oi giup em tinh tick phan tu -pi/4 den pi/4 cua bieu thuc (sin^6x +cos^6x)/(6^x+1)
    em viet cong thuc toan hoi kem nen thay chiu kho dick ho em
    I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin ^6 x + \cos ^6 x}}{{6^x  + 1}}dx}

    • BÀi này có dạng tổng quát:

      Nếu hàm số f(x) là hàm chẵn, liên tục trên đoạn \left[ { - a;a} \right] , khi đó
      I=\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{b^x  + 1}}dx}  = \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}

      Chứng minh :
      Đặt t=-x khi đó dt=-dxf(x)=f(-t)=f(t) do hàm số f(x) là hàm chẵn.
      Đổi cận: x=-a \Rightarrow t=a; và x=a \Rightarrow t=-a
      Ta có I = \int\limits_a^{ - a} {\dfrac{{f\left( t \right)}}{{b^{ - t}  + 1}}\left( { - dt} \right)}  = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^t f\left( t \right)}}{{1 + a^t }}dt}  = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx}
      {Chú ý: Vì tích phân không phụ thuộc vào đối số nên ta có
      \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^t f\left( t \right)}}{{1 + a^t }}dt}  = \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx} }
      Như vậy
      2I=I+I=\int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{b^x  + 1}}dx}+ \int\limits_{ - a}^a {\dfrac{{a^x f\left( x \right)}}{{1 + a^x }}dx} = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}=2\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}
      Suy ra I=\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx}
      Áp dụng với hàm số f\left( x \right) = \sin ^6 x + \cos ^6 x là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right] , ta có
      I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin ^6 x + \cos ^6 x}}{{6^x  + 1}}dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin ^6 x + \cos ^6 x} \right)dx}
      Em hạ bậc rồi tính tiếp nhé !

  6. TRAN BAO KIEU

    thay oi cho em xin hoi the nao la vi phan ? tai sao trong bieu thuc lai co dx ? thay em noi do chi la mot ki hieu chu khong phai phep nhan nhung khi tinh toan thi em lai thay do la mot phep nhan, chang han dt=2xdx suy ra dx=dt/2x ?

  7. Em lần đầu tiên vào đây nhưng mạn phép hỏi thầy bài này. Mong thầy giúp em:
    Nguyên hàm của: e^(sin2x).cosxdx
    Em cảm ơn!

  8. em xin thay giup em giai bai nguyen ham nay duoc khong a (x-2)/(x^2+2x+8).em xin cam on thay

  9. thay oi sao phan nguyen ham nay truu tuong vay thay

  10. em chào thầy a em rất thích wed này of thầy

    thầy giải em bài nay nhe’ tìm nguyên hàm của hàm số

    căn bậc hai của sinx trên căn bậc hai sinx cộng căn bậc hai của cosx dx em ko biết viết kiểu toán thay thông cảm nhe’

  11. trang ưed này thật bổ ích em cũng dang tìm 1 trang để ôn

  12. hocmai_9x_151

    lam the nao de hoc dc nguyen ham tot day thay
    sao ma nguyen nay kho vay

  13. vâg ạ đúng baì naỳ dâý thâỳ ạ thâỳ giaỉ giùm em tí

  14. cho e hỏi làm sao chúng ta có thể biết công thức nghiêm horne có nghiệm nào mà để giải

  15. học nguyên hàm tốt chỉ có 1 cách là làm nhiều hơn nghĩ tự tạo tư duy xác định phương pháp giải ngoài cách đó ra thì chịu .có ai giỏi thì làm bài này nè mấy bài trên bt quá [ cận từ 0 -> 1 căn bận 2 của ( x bình + 1 )dx

  16. phan nay sao ma kho the?

  17. thay oi sao mai ko tha’y thay tra loi vay’ co’ kho’ qua’ ko vay thay`

  18. Co aj co the chj cho mjnh cach hoc tot fan nguyen ham va tjch fan ko nhj fan nay truu tuog wa mjnh hok hju may

  19. Nguyễn Lê Hoài

    có ai biết cách giảng phần NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN một cách dễ hiểu không
    giảng dùm em y. Em còn mơ hồ vế phần này quá àh. Em không biết cách nào đễ hiểu nó hết trơn ak. Không học được chắc em thi rớt quá àh.

  20. ai biết cách giảng về phần bài Nguyên hàm – tích phân thì em cảm tạ lắm vì giờ cả đời học Toán em chỉ ngu nhất là phần này mà thôi. Các phần còn lại thì em chỉ cần đi hỏi một tẹo là ra

  21. thầy ơi nguyên hàm chỉ có bằng đó kiểu giải đề thôi hả thầy?

  22. nguyen minh hai

    thua thay! thay co file nao tap hop cac cong thuc toan hoc co ban cua chuong trinh 12 khong? thay co the post len
    giup em duoc khong thay? em cam on a.

  23. NGUYEN94(THPT VAn lAM)

    hay the nay ma k pit vao som/.hoho

  24. thầy giải hộ em con tích phân này với: tích phan cận từ 0 đến pi/4 của dx/(1+sin^2 (x)). em cám ơn thầy

  25. ∫▒(X^2+1)/(X^4+X^2+1) dx baì này làm seo thầy

  26. ∫▒x^201/〖(1+x^2)〗^102 dx
    ∫▒(x^4+1)/(x^6-1) dx
    ∫▒dx/〖(x^2+1)〗^3

  27. Lâm Huyền

    thầy ơi giải giúp em con tích phân này: cận từ 0 đến pi/2 (sin3x d(x)/(1+cosx))

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 53 other followers

%d bloggers like this: