Giới hạn hàm số


I. Giới hạn tại vô cực (x\rightarrow \pm\infty) .

Ví dụ 1: Tìm L_1=\lim_{x\rightarrow +\infty} (\sqrt{x^2-x+1} - x).

Cách giải: Nhân và chia hàm số dưới dấu lim với biểu thức liên hợp của nó.

Biểu thức liên hợp của a-ba+b và ngược lại.

Kết quả là (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Quay lại bài toán trên: Biểu thức liên hợp của \sqrt{x^2-x+1}-x\sqrt{x^2-x+1}+x.

(\sqrt{x^2-x+1}-x)(\sqrt{x^2-x+1}+x)
=(x^2-x+1)-x^2=-x+1.

Vậy L_1=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{(\sqrt{x^2-x+1}-x)(\sqrt{x^2-x+1}+x)}{\sqrt{x^2-x+1}+x}

=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{(x^2-x+1)-x^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x}

=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+x} =\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-x+1}{\sqrt{x^2(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2})}+x}

=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-x+1}{|x|\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+x}

x\rightarrow +\infty nên x>0 do đó |x|=x.

Vậy L_1=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{x(-1+\dfrac{1}{x})}{x(\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1)}

=\lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-1+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+1}

Khi x\rightarrow +\infty thì \dfrac{1}{x} \rightarrow 0;\dfrac{1}{x^2}\rightarrow 0 .

Suy ra L_1= \dfrac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}+1}=-\dfrac{1}{2}.

Tương tự: Tính L_2=\lim_{x\rightarrow -\infty} (\sqrt{x^2-3x+3}+x).

Lưu ý: Dùng phần mềm Maple 9.5 (hoặc cao hơn) để kiểm tra đáp án:

Cú pháp để tính \lim_{x\rightarrow a} f(x) là:

[> limit(f(x),x=a};

Để viết biểu thức giới hạn trong Maple ta dùng chữ “L” thay cho chữ “l” trong từ khóa “limit“.

Viết [> Limit(f(x),x=a} =limit(f(x),x=a}; để xem cả biểu thức lẫn kết quả.

Từ khóa của \infty   là “infinity”; của \pi là “Pi”.

(Xem kỹ hơn trong mục Tài nguyên).

II. Giới hạn dạng vô định (\dfrac{0}{0}, \dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}).

A. Dạng vô cực \dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}.

.

B.Dạng vô cực \dfrac{0}{0}.

.

  1. IamToi_dkny

    thanks

  2. thanh chung

    co nhung bai nao kho hon ko

  3. Diễm Hằng

    Dạ sao phần giới hạn dạng vô định lại không thấy có nội dung ạ ?
    Hay do em không xem được ạ .
    cảm ơn thầy .

  4. Diễm Hằng

    Dạ vâng ạ . Bài viết của thầy rất hay ạ .
    Mong là thời gian tới đây sẽ được theo dõi trọn vẹn bài giảng này của thầy ạ .
    Em cảm ơn thầy .

  5. luu hong nam

    e mong thay dang them nhiu dang toan’ 11 ki II,cam on thay nha!

  6. vu van trung

    thay con bai nao kho hon hok thay?

  7. Cho em hỏi có thể dùng từ Lim thay chi từ lim hay không

  8. chu co the cho them nhieu vi du kho hon cu the hon khong

  9. bui van binh

    hay.

  10. may bai nay de wa

  11. thay oi,em co bai nay ve gioi han vo dinh,thay giup em voi:
    lim(can bac hai cua (x mu hai +2x)+can bac ba cua (x mu 3 +x mu 2-5))
    x->am vo cuc
    thay thong cam cho em vi em khong co phan mem danh cong thuc toan.

  12. thầy ơi,ở trường bọn em khi học về giới hạn hàm số thì có học cả phần giới hạn lượng giác nữa.khi nào soạn thì thầy soạn luôn phần này nha thầy!

  13. em cảm ơn thầy,em sẽ hỏi thầy nhiều đấy ạ.hì hì

  14. thầy oi,em vừa moi lam bài kiêm tra có bai tính đạo hàm này hơi phân vân 1 chut,thầy giúp em voi:
    tính đạo hàm của 3sinx – 3/4(cos x) mu 3

  15. em cảm ơn lời giải của thầy,dạo này em bận quá không lên mạng được

  16. thay co the cho 1vai vi du ve bai tap hinh hoc duoc ko thay

  17. thầy chứng minh hộ em lim(x→0) của (ln(1+x))/x=1

  18. thầy ơi làm sao khi chứng minh có hay không 1 giới hạn hàm số thì ta có thể tìm được 2 dãy số nào đó thầy nhỉ? thôi em lấy ví dụ dễ hiểu nhé.VD: cho hàm số f(x)=\cos{\dfrac{1}{2x}} .tồn tại hay không \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos \dfrac{1}{{2x}}
    .em cảm ơn thầy!!!

    • Em để ý rằng \cos \left( {0 + n2\pi } \right) = 1,\forall n\cos \left( {\pi  + n2\pi } \right) =  - 1,\forall n.
      Bây giờ ta cần chọn hai dãy \left( {{x_n}} \right), \; \left( {{y_n}} \right) sao cho:
      - một dãy \left( {{x_n}} \right) \to 0\cos \dfrac{1}{{2{x_n}}} \to 1
      - một dãy \left( {{y_n}} \right) \to 0\cos \dfrac{1}{{2{y_n}}} \to -1.
      Cụ thể, dựa vào hai kết quả trong nhận xét trên, ta chọn:
      2{x_n} = \dfrac{1}{{0 + n2\pi }} \Leftrightarrow {x_n} = \dfrac{1}{{4n\pi }}, rõ ràng dãy \left( {{x_n}} \right) \to 0.
      Và chọn 2{y_n} = \dfrac{1}{{\pi  + n2\pi }} \Leftrightarrow {y_n} = \dfrac{1}{{2\pi  + 4n\pi }}, ta cũng có \left( {{y_n}} \right) \to 0.
      Đồng thời: {x_n} \ne {y_n},\forall n
      Với hai dãy {x_n} \ne {y_n} được chọn như trên ta có:
      \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \cos \dfrac{1}{{2{x_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \cos \left( {0 + 2n\pi } \right) = 1
      còn \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \cos \dfrac{1}{{2{y_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \cos \left( {\pi  + 2n\pi } \right) =  - 1.
      {x_n} \to 0,{y_n} \to 0 nhưng \left( {\lim \cos \dfrac{1}{{2{x_n}}} = 1} \right) \ne \left( { - 1 = \lim \cos \dfrac{1}{{2{y_n}}}} \right) nên hàm số f\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{{2x}} không có giới hạn khi x \to 0.

  19. dạ.em hiểu rồi.thế em nhờ thầy mấy bài giới hạn vô định :
    1. lim x->0 sin (x^n)/sin^n (x)
    2. lim x->1 (1-x).tan ((pj nhân x)/2)
    3.lim x->0 sin^2(x)/căn của 1+x.sin x – cos x
    4. lim x->pi/4 (pi-4x).tan 2x
    cảm ơn thầy nhiều ạ.em cũng mới học phần này nên chưa hiểu sâu cho lắm

  20. congchuacachua_53@yahoo.com

    thầy giúp em bai này với ạ tìm lim ( can bac 2 (4.x^4+5)- can bac 3 (8.x^6+21) tất cả trên (can bac 2 cua x – 1) trừ 1 ở ngoài căn thầy nhé

  21. Thầy ơi, cho em hỏi bài toán giới hạn này được không ạ? Em cảm ơn thầy nhiều:

    lim x->0 (căn bậc 5 của(1+10x) – căn bậc 3 của(1+3x) ) / ( (3x + x^2) – (2x + x^3) )

  1. Pingback: Giới hạn hàm số « CAOLONG’S WEBBLOG

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 44 other followers

%d bloggers like this: