Tam thức bậc hai


DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x)=a.x^2+bx+c, (a\neq 0) có biệt thức \Delta =b^2-4ac.

-Nếu \Delta <0 thì tam thức f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị của x\in \mathbb{R}.
Tức là a.f(x)>0, \forall x\in \mathbb{R}.

- Nếu \Delta =0 thì tam thức f(x) có nghiệm kép x=\dfrac{-b}{2a}f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị của x\neq \dfrac{-b}{2a}.
Tức là: af(x)>0,\forall x \neq \dfrac{-b}{2a}
hoặc a.f(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R}.

- Nếu \Delta >0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x_1 , x_2 .
+Lúc này nếu x\in (x_1; x_2) (trong khoảng 2 nghiệm) thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a;
+ nếu x\in (-\infty; x_1) or ( x_2; +\infty) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a.

Tức là:
+ a.f(x)>0, \forall x\in (-\infty; x_1) or ( x_2; +\infty)
+ a.f(x)<0, \forall x \in (x_1; x_2).

ÁP DỤNG

I. XÉT DẤU TAM THỨC

II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

III. GIẢI BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ

(sẽ viết sau)

  1. Nguyen Ngoc Long

    Toi muon tham gia dien dan de hoc hoi doi chut duoc ko ah.

  2. TRẦN HỒNG THẮM

    em chao thầy.thầy ah em là học sinh tốt nghiệp khoá trước vì thế chương trình cải cách em không rõ lắm.thầy có thể giúp em phần tam thức bậc hai không?phần định lí đảo không được dùng nữa thì khi câu hỏi co phần đó thì làm thế nào ah.thầy có thể hồi âm sớm giúp em được không ạhem cám ơn thầy nhiêu

    • Em có thể đọc thêm bài viết mà mình đã dùng một cách khác để xử lý bài toán đó nhé (Xem) !
      Ngoài ra có thể dùng PP hàm số để giải quyết .

  3. anhluahong_bg

    sao chi co phan bia ma khong co noi dung vay

  4. toi muon xem lai phan xet dau tam thuc bac hai. giup toi voi.cam on rat nhieu!

  5. tienbaby_kute_8x

    sao ban ko viet lot cac phan con lai

  6. tienbaby_kute_8x

    sao ban ko viet lot cac phan con lai
    hjhjhjhj:))

  7. thay` oi sao ma truong trinh` cai? cach kho’ wa’ vay. troi` bo’ ai ma` hok noi? bao nhiu cai’ cong thuc +……… dc thay` co’ cach nao` chi? em cai’

  8. thay` oi sao ma truong trinh` cai? cach kho’ wa’ vay. troi` bo’ ai ma` hok noi? bao nhiu cai’ cong thuc +……… thay` co’ cach nao` chi? em cai’

  9. cac ban chiu kho mua sach moi ve ma doc chu online thje nj chj co noj dung tom tat thuj.

  10. phan thanh binh

    doi voi tam thuc bac ba thi sao ak? lam sao de chung minh

  11. có cái gì mà mọi người than khó kinh dị vậy? thành ra học sinh bây giờ là siêu nhân à. đơn giản hóa đi sẽ thấy mấy cái kí hiệu toán học đó đơn giản và rất thú vị. hehe

  12. Như thế thì có gi mà kinh dị

  13. cảm ơn nhiều nha!!!!! yahoo: mucthu94

  14. pham thanh nguyen

    mong cac anh chi em giup minh xet dau tam thuc bac hai di

  15. thầy có thể giúp em có cách hay nhất để nắm vững và làm bài tập dạng này linh hoạt đc ko ạ. em dôt lắm thầy ơi

  16. sap kt 1t roy ma phan nay kho wak… thay giup em voi

  17. phan xet dau kho that. trong can hay gia tri tuyet doi thi phai giai sao? vi du 1 bai duoc khong?

  18. cho hàm số x^2 + 3x + m =0
    tìm m để PT có hai nghiệm và 2 nghiệm này nhỏ hơn hai nghiệm của PT x^2 – 3x + m + 2=0
    Thầy ơi giúp em với

    • thầy ơi sao lâu thế. em đợi t nãy đến giờ, t có thể trả lời nhanh cho em tí được không ạ

    • Điều kiện để phương trình x^2 + 3x + m =0 \;\; (1) có hai nghiệm (phân biệt) là: \Delta = 9-4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}.
      Điều kiện để phương trình x^2 - 3x + m+2 =0 \;\; (2) có hai nghiệm (phân biệt) là: \Delta = 9-4(m+2) > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{4}.
      Giả sử x_1, \; x_2 \;\; (x_1 < x_2) là hai nghiệm của (1)x_3, \; x_4 \;\; (x_3 < x_4) là hai nghiệm của (2)
      Lúc đó nghiệm lớn nhất của (1) là : x_2 = \dfrac{-3+\sqrt{9-4m}}{2} và nghiệm nhỏ nhất của (2) là: x_3 = \dfrac{3-\sqrt{1-4m}}{2}.
      Điều kiện cần và đủ để hai nghiệm của (1) nhỏ hơn hai nghiệm của (2)x_2 < x_3
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{-3+\sqrt{9-4m}}{2} < \dfrac{3-\sqrt{1-4m}}{2} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4} \\ \sqrt{9-4m}+\sqrt{1-4m} < 6 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4} \\ 10-8m+2 \sqrt{(9-4m)(1-4m)} < 36 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4} \\ \sqrt{(9-4m)(1-4m)} < 4m+13 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4} \\4m+13 > 0 \\ (9-4m)(1-4m) < (4m+13)^2 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -\dfrac{13}{4} < m < \dfrac{1}{4} \\ 9-40m+16m^2 < 16m^2+104m+169 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -\dfrac{13}{4} < m < \dfrac{1}{4} \\ 144m +160 > 0  \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -\dfrac{13}{4} < m < \dfrac{1}{4} \\ m > -\dfrac{160}{144} = -\dfrac{10}{9}  \end{array} \right.
      \Leftrightarrow -\dfrac{10}{9} < m < \dfrac{1}{4}
      Kết luận: Giá trị cần tìm của m thỏa yêu cầu bài toán là -\dfrac{10}{9} < m < \dfrac{1}{4}
      ——–

  19. Thầy ơi giúp em giải giùm bài toán này với nhé !
    Đề: cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1
    Chứng minh rằng
    1/(a+b+1)+1 /(b+c+1)+1/(c+a+1)≤1

  20. Thầy ơi em đang đợi thầy đấy. Mai phải trả bài cho cô giáo rồi thầy ơi

    • Thầy không mạnh về bất đẳng thức lắm. Trong lúc chờ đợi em thử hỏi trên diễn đàn khác đã em nhé !
      — Khi nào có hướng giải bài tập này, em viết lên blog này để thầy tham khảo nhé !
      —–
      Thầy có hướng giải như sau:
      Đặt a=x^3, \; b=y^3, \; c=z^3.
      Ta có abc = (xyz)^3 = 1 \Rightarrow xyz=1 (vì a,b,c > 0 \Rightarrow x, y, z > 0)
      Để ý rằng (một kết quả ở bài tập SGK Toán 10): x^3+y^3 \ge x^2y+y^2x = xy(x+y)
      Tương tự: y^3+z^3 \ge yz(y+z); z^3+x^3 \ge zx(z+x).
      Suy ra: \dfrac{1}{a+b+1} = \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \le \dfrac{1}{xy(x+y)+1} = \dfrac{1}{xy(x+y)+xyz}.
      hay \dfrac{1}{a+b+1} = \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \le \dfrac{1}{xy(x+y+z)}=\dfrac{z}{x+y+z}
      Tương tự, ta có:
      \dfrac{1}{b+c+1} = \dfrac{1}{y^3+z^3+1} \le \dfrac{1}{yz(y+z)+1} =\dfrac{x}{x+y+z}.
      \dfrac{1}{c+a+1} = \dfrac{1}{z^3+x^3+1} \le \dfrac{1}{zx(z+x)+1} =\dfrac{y}{x+y+z}.
      Cộng 3 bất đẳng thức cuối theo vế ta được:
      \dfrac{1}{a+b+1} + \dfrac{1}{b+c+1} + \dfrac{1}{c+a+1} \le \dfrac{z}{x+y+z} + \dfrac{x}{x+y+z} + \dfrac{y}{x+y+z}
      \dfrac{1}{a+b+1} + \dfrac{1}{b+c+1} + \dfrac{1}{c+a+1} \le \dfrac{z+x+y}{x+y+z} =1

  21. em cam on thay nhieu.
    nhung bai toan dang nay em hoc ngo lam thay oi

  22. Thầy ơi giúp em các bài toán này với nha
    Đề bài:
    Chứng minh rằng:Nếu hai phương trình: f¬¬1(x) = x2 + b1x + c =0
    và f2(x) = x2 +b2x + c2 = 0 vô nghiệm là phương trình f1(x) + f2(x) = 0 cũng vô nghiệm.

  23. Cho phương trình: f(x) = (m+2)x2 – 2(m-1)x+m-2=0 (m là tham số)
    a) Giải bất phương trình f(x) 0 theo tham số m
    c) Tìm m để phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm thuộc [-1;1]

    • Phương trình f(x) = 2 \Leftrightarrow (m+2)x^2 - 2(m-1)x +m -4=0 \; \; \; (1)
      ———————-
      Câu b:
      Trường hợp 1: m+2=0 \Leftrightarrow m=-2 ta có (1) trở thành:
      0x^2+6x-6=0 \Leftrightarrow x = 1
      Như vậy trường hợp này (1) chỉ có một nghiệm duy nhất x = 1.
      Trường hợp 2: m \ne -2
      Khi đó (1) là phương trình bậc hai và có hai nghiệm \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ \Delta ' \ge 0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ (m-1)^2-(m+2)(m-4) = 0m+9 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow  \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ m \in \mathbb{R} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow m \ne -2
      Hai nghiệm của (1) trong trường hợp này là:
      x_1 = \dfrac{m-1-3}{m+2} = \dfrac{m-4}{m+2};
      x_2 = \dfrac{m-1+3}{m+2} = 1
      Nhận thấy nghiệm x_2 = 1 \in [-1;1]
      DO đó, phương trình (1) có hai nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi và chỉ khi -1 \le x_1 \le 1
      \Leftrightarrow |x_1| \le 1 \Leftrightarrow |\dfrac{m-4}{m+2}| \le 1
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ |m-4| \le |m+2| \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ (m-4)^2 \le (m+2)^2 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ -12m \le -12 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m \ne -2 \\ m \ge 1 \end{array} \right.
      Kết luận: Với mọi m \ge 1 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

  24. vâng em cám ơn thầy nhiều
    em đánh lại thầy giúp em với nha

  25. Bài 1:
    Chứng minh rằng nếu hai phương trình: f1(x) = x2+b1x+c1 =0
    Và f2(x)= x2+b2x+c2 =0 vô nghiệm thì phương trình f1(x)+f2(x) =0 cũng vô nghiệm.
    thầy ơi b1 b2 c1 c2 là số ở dưới không phải số mũ,
    Bài 2:
    Cho b và c là hai số khác 0: thỏa mãn 1/b+1/c=1/2
    Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
    x2+ bx+c=0 (1) và x2+cx+b=0 (2).
    Bài 3:
    Cho phương trình:f(x)=ax2+bx+c=0 (a khác 0)
    Chứng minh rằng: nếu phương trình f(x)=x vô nghiệm thì phương trình f[f(x)]=x cũng vô nghiệm.

    Cám ơn thầy nhiều, thầy giúp em với

    • Phương trình f_1(x) = x^2+b_1x+c_1=0 vô nghiệm nên ta có {\Delta}_1 = b_1^2-4c_1 < 0
      Phương trình f_2(x) = x^2+b_2x+c_2=0 vô nghiệm nên ta có {\Delta}_2 = b_2^2-4c_2 < 0
      Phương trình f_1(x) + f_2(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^2+(b_1+b_2)x+c_1+c_2=0\Delta = (b_1+b_2)^2-8(c_1+c_2)
      Ta phải chứng mính \Delta < 0
      Thật vậy, ta có:
      \Delta = b_1^2+b_2^2 +2b_1b_2-8c_1-8c_2
      Chú ý rằng: 2b_1b_2 \le b_1^2+b_2^2
      Suy ra: \Delta = b_1^2+b_2^2 +2b_1b_2-8c_1-8c_2 \le b_1^2+b_2^2 + b_1^2+ b_2^2-8c_1-8c_2
      \Rightarrow \Delta \le 2(b_1^2-4c_1)+2(b_2^2-4c_2)
      \Rightarrow \Delta \le 2{\Delta}_1+2{\Delta}_2 < 0
      Ta có điều phải chứng minh.

    • Bài 2:
      Cho b và c là hai số khác 0 thỏa mãn \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}
      Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
      x^2+ bx+c=0 \;\; (1)x^2+cx+b=0 \; \; (2).
      ———————
      Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm.
      Phương trình x^2+ bx+c=0 \;\; (1){\Delta}_1 = b^2-4c.
      Phương trình x^2+ cx +b=0 \;\; (2){\Delta}_2 = c^2-4b
      Ta cần chứng minh {\Delta}_1 \ge 0 hoặc {\Delta}_2 \ge 0.
      Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
      Giả sử cả hai phương trình (1), \; (2) đều vô nghiệm, tức là {\Delta}_1 = b^2-4c < 0{\Delta}_2 = c^2-4b < 0
      \Rightarrow {\Delta}_1+{\Delta}_2 = (b^2-4c)+(c^2-4b) = b^2+c^2-4(b+c) < 0 \; \; (*)
      Từ giả thiết ta có \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow b+c=\dfrac{1}{2}bc (vì b \ne0, \; c \ne 0)
      Suy ra : {\Delta}_1+{\Delta}_2 = b^2+c^2-4.\dfrac{1}{2}bc = b^2+c^2 - 2bc = (b-c)^2
      Như vậy, {\Delta}_1+{\Delta}_2 = (b-c)^2 \ge 0 , \forall b, c \in \mathbb{R}
      Điều này chứng tỏ (*) không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra.
      Từ đó suy ra một trong hai phương trình đã cho phải có nghiệm.

    • Bài 3:
      Cho phương trình:f(x)=ax^2+bx+c=0 (a khác 0)
      Chứng minh rằng: nếu phương trình f(x)=x vô nghiệm thì phương trình f[f(x)]=x cũng vô nghiệm.
      —————–
      Với bài này thầy có hướng giải theo phương pháp chiều biến thiên của hàm số như sau:
      Xét hàm số f(x)=ax^2+bx+c, \; (a \ne 0).
      Xét trường hợp a > 0 khi đó hàm số đồng biến trên khoảng (-\dfrac{b}{2a}; + \infty) và nghịch biến trên khoảng (- \infty; -\dfrac{b}{2a})
      Phương trình f(x)=x vô nghiệm nên ta có f(x) \ne x, \forall x. Không mất tổng quát, giả sử f(x) > x \; \; (*1).
      TH1: Trên khoảng (-\dfrac{b}{2a}; + \infty) ta có f(x) > x > -\dfrac{b}{2a} và hàm số đồng biến suy ra f(f(x)) > f(x) \; \; (*2).
      Từ (*1), (*2) suy ra f(f(x)) > x, tức là phương trình f[f(x)]=x vô nghiệm.
      TH2: Trên khoảng (- \infty; -\dfrac{b}{2a}) ta có $latex f(x) < -\dfrac{b}{2a} vì $latex x = -\dfrac{b}{2a} là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
      Suy ra: f[f(x)] > f(-\dfrac{b}{2a}) \; \; (*3) (vì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-\dfrac{b}{2a}; + \infty))
      x <  -\dfrac{b}{2a} \; \; (*4) (ta đang xét trên khoảng (- \infty; -\dfrac{b}{2a})
      f(-\dfrac{b}{2a}) >  -\dfrac{b}{2a} \; \; (*5) (theo (*1)
      Do đó từ (*3), (*4), (*5) ta có f[f(x)] > f(-\dfrac{b}{2a}) > -\dfrac{b}{2a} > x . Điều này chứng tỏ phương trình f[f(x)]=x cũng vô nghiệm.
      Trường hợp a < 0 làm tương tự.
      Kết luận: Nếu phương trình f(x)=x vô nghiệm thì phương trình f[f(x)]=x cũng vô nghiệm.

    • Cho thầy hỏi điều này nhé.
      Có phải em đang học chương trình nâng cao hay chuyên toán không vậy ?
      Những bài em hỏi rất khó với học sinh chương trình cơ bản.

  26. em cám ơn thầy.
    Em học ở lớp chọn của trường nên những bài thầy giáo ra nó khó với em quá, em bảo thầy dạy dễ một chút nhưng không được, nếu không học được thì phải chuyển lớp, điều đó em không muốn. Thầy đồng hành cùng với em nha, giờ em chỉ biết tham khảo nơi thầy là dễ thôi. chúc thầy luôn bình an và hanh phúc.

  27. Hà ĐĂng quang Anh

    chào thầy ạ
    em có bài toán này mong thầy giúp em với ạ
    cho f(x)=a.x^2+b.x+c
    biết 13a+b+2c=0
    chứng tỏ f(-2).f(-3)<=0
    cảm ơn thầy ạ

  28. em chao thay.
    Thay giup em giai bai toan nay voi:
    Cho đường thẳng (m – 1)x + 2y – 4m + 1 = 0
    Tìm m để đường thẳng cắt Hypecbol tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của Hypec (H)

  29. vâng em cám ơn thầy
    em viết rồi thầy hướng dẫn em với.

  30. Thầy ơi phương trình Hypebol
    x2/9 – y2/4 = 1

    • Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d: (m-1)x+2y-4m+1=0 và hyperbol (H):\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1:
      \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{1}{4}(\dfrac{(1-m)x+4m-1}{2})^2=1
      \Leftrightarrow (9m^2-18m-7)x^2-(72m^2-90m+18)x+144m^2-72m+153=0 \;\; (2)
      Phương trình (2)
      \Delta ' = (36m^2-45m+9)^2-(9m^2-18m-7)(144m^2-72m+153)
      \Delta ' =1008m^2+1440m+1152 > 0 với mọi m.
      DO đó (2) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
      Nhận xét: Hai nhánh của (H) nằm hai phía của trục tung, do đó điều kiện để d cắt (H) tại hai nhánh của (H) là phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu
      \Leftrightarrow (9m^2-18m-7)(144m^2-72m+153) < 0
      \Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} < m < \dfrac{7}{3}

  31. em am on Thay nhieu.
    Thay giai ho em bai nay voi nha.
    (2x+1)/(x2∓5x+6)+3x/(x2+10x+1) ≥3

  32. vang dang toan nhu vay thay a
    dang do thi lam the nao ha thay, thay huong dan em voi

  33. vang dang nhu vay thay a
    Thay cho em vi du ve dang do va huong dan cho em voi

  34. Thầy ơi giúp em bài toán này với
    Trong hệ trục tọa độ oxy cho hình chữ nhật tâm I (1/2. 0)
    phương trình AB là x – 2y + 2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D. Biết đỉnh A có tọa độ âm

    • Gọi tọa độ của A, \; BA(2a-2;a), \; B(2b-2;b) với a,\; b \in \mathbb{R}, a \neq b.
      DO A có tọa độ âm nên \left \{ \begin{array}{l} 2a-2 < 0 \\a < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a < 0 .
      ABCD là hình chữ nhật nên I là trung điểm của các đoạn AC, \; BD.
      Suy ra tọa độ các đỉnh C(-2a+3;-a), \; D(-2b+3;-b)
      \overrightarrow{AB}=(2(b-a);b-a),
      \overrightarrow{AD}=(-2b-2a+5;-b-a)
      Theo giả thiết ta có AB=2AD \Leftrightarrow AB^2=4AD^2
      \Leftrightarrow 4(b-a)^2+(b-a)^2=4[(-2b-2a+5)^2+(-b-a)^2]
      \Leftrightarrow 5(b-a)^2=4[(-2(b+a)+5)^2+(b+a)^2] \;\;\; (1)
      Mặt khác AB \perp AD nên \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0
      \Leftrightarrow 2(b-a)(-2b-2a+5)+(b-a)(-b-a)=0
      \Leftrightarrow (b-a)[2(-2b-2a+5)-b-a]=0 \Leftrightarrow (b-a)[-5(a+b)+10]=0
      \Leftrightarrow -5(a+b)+10 = 0 \Leftrightarrow a+b=2 \;\;\; (2)
      Thay vào (1) ta được 5(b-a)^2=4[(-2.2+5)^2+2^2] \Leftrightarrow (b-a)^2=4
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b-a=2 \\ b-a=-2 \end{array} \right.
      * Trường hợp 1:
      b-a=2 kết hợp với (1) ta có hệ \left \{ \begin{array}{l} a+b=2 \\ b-a=2 \end{array} \right.
      Giải hệ này được \left \{ \begin{array}{l} a=0 \\ b=2 \end{array} \right..
      Trường hợp này a=0 nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
      * Trường hợp 2:
      b-a=-2 kết hợp với (1) ta có hệ \left \{ \begin{array}{l} a+b=2 \\ b-a=-2 \end{array} \right.
      Giải hệ này được \left \{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=0 \end{array} \right..
      Trường hợp này a=2 nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  35. em chào Thầy.
    Thầy giúp em bài toán này với nha
    Bài 1:
    Cho x, y khác 0, thay đổi thỏa mãn điều kiện
    (x+y).x.y = x2 + y2 – xy
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1/x3 + 1/y3

    Bài 2:
    Trong hệ trục tọa độ oxy xác định đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của C lên AB là H(-1; -1), đường phân giác trong của góc A có phương trình:
    x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.

    • Bài 1: Cho các số thực x, \; y \neq 0 thỏa (x+y)xy=x^2+y^2-xy.
      Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3} .
      ———
      Ta có P=\dfrac{x^3+y^3}{x^3y^3}=\dfrac{(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x^3y^3}
      Từ giả thiết x^2+y^2-xy = (x+y)xy suy ra
      P = \dfrac{(x+y)(x+y)xy}{x^3y^3} = \dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2}=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2
      Đặt t=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}, từ giả thiết chia 2 vế cho x^2y^2 \neq 0 ta có:
      \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x} =\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{xy} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} =(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2-3\dfrac{1}{xy} \Leftrightarrow t=t^2 - 3\dfrac{1}{xy} \;\; (1)
      Theo bất đẳng thức ab \leq (\dfrac{a+b}{2})^2 ta có \dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y} \leq (\dfrac{t}{2})^2
      Kết hợp với (1) suy ra t^2 - t = 3\dfrac{1}{xy} \leq 3.\dfrac{t^2}{4}
      \Leftrightarrow t^2-4t \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq t \leq 4
      Vậy P = t^2 \leq 16
      P=16 khi x=y=\dfrac{1}{2} (khi t=4).
      Suy ra giá trị lớn nhất của P bằng P_{max}=16.

    • Bài 2:
      ——–
      Gọi d là đường thẳng chứa cạnh AC khi đó d đối xứng với đường thẳng chứa cạnh AB qua đường phân giác trong góc Ap_A:x-y+2=0.
      H(-1;-1) thuộc đường thẳng AB nên điểm H' đối xứng của H qua p_A phải thuộc d.
      Ta tìm được tọa độ H'(-3;1) thuộc d. (1)
      Mặt khác d vuông góc với đường cao đi qua đỉnh B có phương trình h_B: 4x+3y-1=0 nên d nhận \overrightarrow{u_{hB}}=(3;-4) làm vecto pháp tuyến của d. (2)
      Từ (1) và (2) ta có phương trình của d: 3(x+3)-4(y-1)=0 hay d:3x-4y+13=0.
      Tọa độ của A = d \cap p_A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{array}{l} x-y+2=0 \\ 3x-4y+13=0 \end{array} \right.
      Giải hệ được (x;y) = (5;7). Suy ra A(5;7).
      Điểm C \in d nên tọa độ có dạng C(-3+4t;1+3t).
      Theo giả thiết H(-1;-1) là hình chiếu của C trên đường thẳng AB.
      Suy ra CH \perp AH \Leftrightarrow \overrightarrow{CH} . \overrightarrow{AH} = 0
      Giải ta tìm được t rồi suy ra tọa độ của C.
      Đáp số: C(-\dfrac{10}{3};\dfrac{3}{4}).

  36. EM CAM ON THAY

  37. dạ chào thầy ak! thầy có thể giúp em một chút kiến thức ko ak?

  38. thầy ơi giải giúp em bài toán này với.
    Bài1:cho M và N là 2 điểm trên 1 tiếp tuyến của (E) x^2/a^2 +x^2/b^2 =1 . sao cho mỗi điểm F1, F2 của E nhìn đoạn MN dưới góc vuông. Hãy xác định vị trí M, N trên tiếp tuyến ấy.

    Bài 2. 1 đường kính bất kì của (E) : (E) x^2/a^2 +x^2/b^2 =1 . cắt (E) tại M và N.
    a. Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại M và N song song với nhau.
    b.Tìm mối liên hệ giữa a,b,c, m để (E) tiếp xúc với đường thẳng: y= kx+m

  39. thầy ơi thầy bận à. sao lâu vậy

  40. Thanh Phung

    Thầy ơi thầy có thể cho em biết về phươg pháp so sánh 1 số với nghiệm cuả tam thức bậc 2 được không ạ?e khôg rõ vđề này lắm.mong thầy giúp em ạ!

    • Hiện nay trong chương trình chuẩn của toán phổ thông đã không đề cập về loại toán này và lý thuyết của nó nữa. Em muốn cần biết để nghiên cứu thêm thì cũng tốt.

  41. thầy ơi giúp em bài này :
    1/ cho hai phương trinh x^2 +b_1x +c_1=0x^2 + b_2x+c_2 =0 thỏa b_1b_2 \ge 2( c_1+c_2) . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
    2/ Từ hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm là : x_1+x_2+ 2.x_1x_2=4
    suy ra nghiệm kép của phương trình :(m+2).x^2 - 2(4m -1)x - 2m +5 =0.

    • Giả sử cả hai phương trình đã cho đều vô nghiệm.
      Ta có b_1^2-4c_1 < 0 b_2^2-4c_2 < 0 .
      Công hai bất đẳng thức theo vế, suy ra b_1^2+b_2^2-4(c_1+c_2) < 0 (*)
      Mặt khác (b_1-b_2)^2 \ge 0
      \Leftrightarrow b_1^2+b_2^2 \ge 2b_1b_2 (**)
      Theo tính chất bắc cầu, từ (*) và (**) suy ra:
      2b_1b_2 -4(c_1+c_2) < 0
      b_1b_2 < 2(c_1+c_2) mâu thuẩn với giả thiết.
      Như vậy điều giả sử trên là không thể xảy ra. Do đó một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

  42. Cho em hoi: Tim dieu kien cua m de Bat PT sau co nghiem mx^2+(m-5)x+ 3m+1 > 0. Huong dan gium em nhanh voi. Ngay mai em thi roi

    • De thoi em ak, BPT vo nghiem khi a<0, delta =< 0. Tim dk cua m. Tu do neu len duoc dk de BPT co nghiem thoi.

    • Trường hợp m=0, bất phương trình trở thành -5x +1 > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{5}.
      Bất phương trình có tập nghiệm \left( - \infty; \dfrac{1}{5} \right). (*1)
      Trường hợp m \ne 0. Xét tam thức f(x) =mx^2+(m-5)x+ 3m+1.
      \Delta = (m-5)^2-4m(3m+1)=-11m^2-14m+25.
      Trường hợp \Delta \le 0 \Leftrightarrow -11m^2-14m+25 \le 0 \Leftrightarrow m \le -\dfrac{25}{11} hoặc m \ge 1.
      Nếu \left \{ \begin{array}{l} \Delta \le 0 \\ m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 1 thì f(x) \ge 0 , \forall x \in \mathbb{R}. (*2)
      Nếu \left \{ \begin{array}{l} \Delta \le 0 \\ m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \le -\dfrac{25}{11} thì f(x) \le 0 , \forall x \in \mathbb{R}. (*3)
      Trường hợp \Delta > 0 \Leftrightarrow -\dfrac{25}{11} < m < 1. Tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x_1 = \dfrac{5-m-\sqrt{-11m^2-14m+25}}{2m}; x_2 = \dfrac{5-m +\sqrt{-11m^2-14m+25}}{2m} .
      m.f(x) > 0 \Leftrightarrow x < x_1 hoặc x > x_2,
      m.f(x) < 0 \Leftrightarrow  x_1 < x < x_2 (*4).
      Dễ nhận thấy, trong các trường hợp (*1), (*2), (*4) thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
      Vậy, giá trị của m cần tìm là: m \in \left( -\dfrac{25}{11}; + \infty \right) .

  43. Phai ko thay?

  44. Thầy ơi giúp e về bt dấu của tam thức bậc 2 : x2-3×2+2 =0

  45. Dấu tam thức bậc 2 x2-3×2+3=0

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 49 other followers

%d bloggers like this: