BĐT Côsi (Cơ bản)


 

Long

MT S BÀI TOÁN CHNG MINH BT ĐNG THC (CƠ BN)
CÓ TH
S DNG BT ĐNG THC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI 


Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm a, b:
\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} (1)
– Cách viết tương đương: a+b \geq 2\sqrt{ab}. (2)
Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý a, b, ta có:
a^2+b^2 \geq 2ab (Vì \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0.

* Một số kết quả thường dùng:

a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0.

Thật vậy, vì a>0 nên \dfrac{1}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2.

\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0.

Thật vậy, vì a.b>0 nên \dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2.

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3.
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \dfrac{1}{x-1} nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1 (*)
x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương 4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}, ta có:
4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}
Hay 4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4. (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3.
Vậy 4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3 (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}
\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}
\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2} (do x-1>0)
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng (x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là (\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab. (3)
Quay lại bài tập này, với mọi x\in [1; 5] thì x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)
\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3.

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. 4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}.
2. 1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2
3. Với mọi góc 0^o < \alpha < 90^o, ta có: \tan\alpha + \cot\alpha \geq 2.
4. (3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3].
5. (2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2].

—————
Chúc các em học tốt !

  1. Mr. SaoCoDon

    Chưa có ai biết bài tập ni hết phải ko Thầy? Hầu như thời điểm này chỉ toàn các anh chị 12 mà thôi. Khối 10,11 chẳng có ai cả. Mà BT Thầy ra phải gọi là hơi bị khó

  2. cm rằng với a+b+c=2a,\; b,\;c dương:
    \dfrac{ab}{2-c} + \dfrac{bc}{2-a}+ \dfrac{ca}{2-b} \le 1
    giúp mình với

  3. giúp em bài giải hpt có 1 phương trình log của đề số 13

  4. hoc toan 10

    cho pt: 3{\rm{x}}^{\rm{2}}  - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0
    Xác định m để có 1 nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia. tính nghiệm trong trường hợp đó.

    • trước tiên bạn tìm tập nghiệm m sao cho delta > 0. còn cái phần nghiệm này gấp 3 nghiệm kia thì bạn xem lại cái định lý vi-et ak”

    • tính đen ta
      tính vi ét
      (3×1-x2)(3×2-x1)=0

    • ta co denta’ =(m+1)^2 -3(3m-5)>0 => dieu kien kua m.
      theo viet x1 +x2 =2(m+1)\3
      x1.x2 =(3m-5)\3
      gia su x1=3X2
      giai 3pt ta tim duoc m .tim duoc m thay vao pt ban dau ta tim duoc nghiem

  5. thầy giải hộ em bài 5 câu b) đề “thi vào lớp 10 THPT,tỉnh Hà Tây năm 2008-2009″

  6. cái bài của “hoc toan 10″ dễ mà dùng vi ét có x1+x2=[2(m+1)]/3(1) mà theo đề bài giả sử ta có x1=3×2(2) nên thay vào (1) có 4×2=[2(m+1)]/3 nen x2=(m+1)/6 thế vào (2) suy ra x1=(m+1)/2 cuối cùng thế x1,x2 vào P=x1.x2=(3m-5)/3 rồi tìm đc m=7;m=3

  7. Thay chi giup em cach goi dong co day hoc khai niem nguyen ham.

  8. p3_thjk_toan

    rút gọn hộ e bt này vs':
    A=5[{√(2+√3}+{√(3-√5)-√(5/2)]^2 + [√{2+√3}+{√(3-√5)-√(3/2)]^2
    +

  9. hoakhongten2008

    em đang cần nâng cao kiến thức về bất đảng thức. mong thầy có thể cho em thêm một số bài tập về bất đẳng thức/ em cám ơn nhiều

  10. phan thanh binh

    cho em biet lam sao de chung minh duoc bdt cosi voi 3 so a,b,c luon duong

  11. mấy bác giup em cai bdt nay voi, với a, b, c > 0. CM 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9/a+b+c

  12. yakumo_kyo_sai

    đá a+b+c qua bên kia rồi cosi 2 lần sau đó nhân lại là được

  13. Em cam on cac admin

  14. Dùng Cô Si cho 3 số ko âm bạn ak?

  15. tk may bac

  16. giúp mình giải bài này với:
    Cho a,b cùng dấu. hãy chứng minh đẳng thức sau:
    a)với a>b. chứng minh:1/a<1/b
    b)a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2

  17. toj xin chan thanh cam on

  18. thien hoang mi kim

    toi muon xem ve dang dong bac trong bdt cosi con nhung cai tren binh thuong qua

  19. Adm cho e hoi cach su dung cosi vs, cac code /frae may e ko doc dc e ko hju j!!!___________online365.wapka.mobi

  20. cho e hoi : e thấy sách ghi là |a+1/a|>=2 mà a lại ghi khác , zậy thì cái nào đúng . A giải thích dùm e tại sao lại có dấu gia ́trị tuyệt đối. Cam on a nhieu

    • Em chú ý: a + \dfrac{1}{a} \ge 2,\forall a \ne 0
      Còn \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0 em à. Chú ý em nhé !
      ———
      Chứng minh \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| \ge 2,\forall a \ne 0.
      Ta có: a\dfrac{1}{a} cùng dấu \forall a \ne 0 nên ta có \left| {a + \dfrac{1}{a}} \right| = \left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right|
      Lúc này: \left| a \right|\left| \dfrac{1}{a} \right| là các số dương, nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
      \left| a \right| + \left| {\dfrac{1}{a}} \right| \ge 2.\sqrt{\left| a \right|.\left| \dfrac{1}{a} \right|} = 2, với mọi a \ne 0
      Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

  21. Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác. Cm: (b-c) bình thương < a bình phương

  22. cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác
    CMR: a/(b+c-a) + b/(a+c-b) + c/(a+b-c) >= 3

  23. giúp em với a2/b+c + b2/c+a + c2/a+b > a + b + c / 2

  24. huỳnh minh tho

    cái wed này ko có đăng kí thành viên hả thầy…! em thấy toán thầy giải dể hiểu thật ấy…!

  25. huỳnh minh tho

    em sẽ ghé trang này thường xuyên để nhờ thầy giải dùm em một số bài toán khó!!!!

  26. thay giai bai nay giup em voi: x^2-2(m-1)x+m^2=0.tim m de pt co dung 1 nghiem am

  27. giải giùm e bai này ik …CMR;a^3/b+b^3/c+c^3/a>=(a+b+c)/2 với mọi a,b,c

  28. thay oi ! em bi mat can ban toan lop 9 nen chu len lop 10 em hoc ma ko hieu gj het , thay giup em dc ko ? :(

  29. thay giup em bai nay voi ak c/m a/b+c-a +b/a+c-b +c/a+b-c >=3
    thay giup em nhanh thay nhe em dag can gap lem ak hiihi

  30. em cam on thay nhieu ak nho thay ma em lam tot bai kiem tra nang cao vua roi thank you vety much

  31. hom nao co bai kho nua em xin duok hoi thay nhe

  32. them mot bai nua thay nhe thay thong cam vi em dang on thi vao lop chuyen toan ak x/(x+can cua 3x+yz)+y/(y+cancua3y+zx) +Z/(z+cancua3z+xy) =<1 thay co giup em thay nhe

  33. thầy giải giúp em câu 5 đề thi thử lần 6 toán học tuổi trẻ. trong đáp án em ko thấy có lời giải !! cảm ơn thầy :))

  34. Bunhiacopxki

    Giup em bai nay voi!!
    1) Cho 0<x<1 va 0<y<2. Tim GTLN cua N=(1-x)(2-y)(4x+3y)
    2) Tim cac so tu nhien khac 0 thoa man: x/y +y/z +z/x =3

  35. dieuhuong1998

    giup em bai ni voi
    cho a,b,c>o va nho hon hoac bang 1.chung minh rang: 1/(a+b+c) lon hon hoac bang 1/3+ (1-a)(1-b)(1-c)

  36. Cam on thay vi bai hoc cua thay giup em nhieu lam

  37. nguyễn thế hưởng

    Thầy có cách nào áp dụng thành thạo bddt côsi ko???

  38. xem lại bai kia đi thầy

  39. kieu van hanh

    thầy giải hộ em bài này với:
    xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm âm:
    x^3-(2m+1)x^2+3(m+4)x-m-12=0

  40. thầy ơi giúp em bài này với,cho a,b,c>=0, a+b+c=1,tinh GTLN và GTNN của P= căn(a+b) + căn(b+c) + căn(c+a)

  41. GTLB la` 3

  42. vũ hoàng thắng

    giải hộ bài này giúp với
    x^3y^2>=(x+y)^2/2

  43. Nhờ mn giải hộ e bài này:
    Cho a,b,c >0
    CMR : (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) >= (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 49 other followers

%d bloggers like this: