Đường thẳng trong không gian


EQUATION OF THE LINES IN THE SPACE

Một số sai lầm trong các Bài toán viết Phương trình đường thẳng:

DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM A (CHO TRƯỚC) VÀ CẮT CẢ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC (NẾU XẢY RA)

Bài toán (có nghiệm): Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm I(4; -3; -1) và cắt cả hai đường thẳng sau:

(d_1): \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2};

(d_2): \dfrac{x+3}{4}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z-1}{-1}

Cách 1: Lấy điểm A tùy ý thuộc (d_1); điểm B tùy ý thuộc (d_2) (bằng cách chuyển phương trình của (d_1), (d_2) theo tham số).
– Tìm điều kiện để A, B, I thẳng hàng. Suy ra tọa độ của A, B .
– Đường thẳng cần tìm đi qua I và có vecto chỉ phương là \vec{AB}.

Cách 2: Giả sử đường thẳng \Delta đã được xác định.
Khi đó \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng sau:
mp(P) đi qua điểm I và chứa đường thẳng (d_1) . Nên (P) có cặp vecto chỉ phương là \vec{IA}, \vec{u_1}, \vec{u_1} là vecto chỉ phương của (d_1), điểm A thuộc (d_1).
mp(Q) đi qua điểm I và chứa đường thẳng (d_2) . Nên (Q) có cặp vecto chỉ phương là \vec{IB}, \vec{u_2}, \vec{u_2} là vecto chỉ phương của (d_1), điểm B thuộc (d_2).

Hỏi: Cách làm trên có vấn đề gì không ? Điều kiện \Delta là giao tuyến của (P) \bigcap (Q) liệu đã đủ chưa ?

BÀI TẬP TỰ GIẢI(vô nghiệm):

Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm I(-2; -3; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau:

(d_1): \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2};

(d_2): \left\{ \begin{array}{l} x=-3+3t \\ y=1 \\ z=1-t \end{array} \right.

———————————————————-

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng (d_1) và cắt đường thẳng (d_2) .

Phân tích bài toán: Giả sử tồn tại đường thẳng \Delta thỏa yêu cầu bài toán, khi đó ta có:
\Delta \subset mp(P), là mặt phẳng qua A (P)\perp(d_1).
\Delta \subset mp(Q), là mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng (d_2) .
– Vậy nếu tồn tại thì \Delta là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) .

Nhưng hãy xét điều kiện đủ: Nếu \Delta = (P)\bigcap (Q) , với (P), (Q) là 2 mặt phẳng  như trên. Khi đó:
\Delta \subset (P) nên \Delta qua A \Delta \perp (d_1) .
\Delta \subset (Q) khi đó \Delta có thể cắt hoặc không cắt (song song) với (d_2) . Như vậy nếu xảy ra trường hợp \Delta \parallel (d_2) thì bài toán vô nghiệm.
♣ Từ đó để bài toán được giải đầy đủ chúng ta cần kiểm tra lại rằng \Delta có cắt (d_2) hay không rồi mới kết luận.

Các bước giải đầy đủ:

♣- Tìm vecto pháp tuyến \vec{n}_{P} của mặt phẳng (P) qua A (P)\perp(d_1).
Cách tìm: Lấy điểm N \in (d_1) . Khi đó (P) có cặp vecto chỉ phương là \vec{AN}\vec{u}_1 , là vecto chỉ phương của (d_1) . Suy ra vecto pháp tuyens của (P) \vec{n}_{P} = \vec{AN} \land \vec{u}_1 .

♣ – Tìm vecto pháp tuyến \vec{n}_{Q} của mặt phẳng (P) qua A (Q) chứa (d_2).
-Trên (d_2) ta lấy điểm M
– Vecto pháp tuyến của mp(Q)\vec{n}_{Q} = [\vec{u_{d_2}}, \;\vec{AM} ]

♣ -Vecto chỉ phương của \Delta là :
\vec{u}=\vec{n}_{Q} \land \vec{n}_{Q}

♣- Viết phương trình của \Delta

♣- Kiểm tra xem vecto chỉ phương của \Delta có cùng phương với vecto chỉ phương của (d_2) hay không. Sau đó kết luận.

Ví dụ 1 (Có nghiệm): Viết phương trình của đường thẳng \Delta đi qua điểm A(0;1; 1) , cắt đường thẳng (d) và vuông góc với đường thẳng (d') cho bởi phương trình:

(d): \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}

(d') : \left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=1+t \\ z=2+t \end{array} \right.

Ví dụ 2 (Vô nghiệm): (sẽ đăng sau)

  1. em cám ơn thầy,bài viết của thầy rất hay
    mong thầy sẽ tiếp tục viết tiếp ạ^^

  2. Thay vui long kiem tra lai xem, em thay co van de cho: “Các bước giải đầy đủ” cua phan: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng .

  3. Một cách làm đơn giản hơn nhiều đó là:
    Viết ph/trình của d_2 ở dạng tham số. Rồi gọi tọa độ điểm M tùy ý thuộc d_2 theo tham số.
    Đường thẳng (\Delta) thỏa đề bài là đường thẳng qua hai điểm A, \;M với AM \perp d_1.
    Khi đó \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {u_{d_1 } }  = 0 .
    Giải ta sẽ tìm được tọa độ của M

    Tham khảo thêm chuyên đề này tại đây

  4. em thấy bước giải đầy đủ của bài 2 có vấn đề
    d 1 có VTCP.mp (P) vuông d1,
    ta nên dùng luôn VTCP của d1 =VTPT (P)

  5. em cam on thay rat nhiu ve bai viet
    bai viet cua thay rat hay va bo ich chi tui em
    em mong muon thay hay dua that nhiu cac dang bai tap vao
    em cam on thay

  6. cảm ơn thay

  7. có cách giải nhanh hơn nhiều, bước 1 viết pt mp (P) đi qua A và vuông góc với (d’) ( cái này thi ai cung biết), bước 2 viết pt mp (Q) qua A và chứa (d) bằng cách sử dụng chùm mặt phẳng => pt cua (d1) là giao cua (P) và (Q)

  8. em cam on thay nhiu nhiu

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 50 other followers

%d bloggers like this: