Nguyên hàm-PP tính


I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I.1 Đổi biến số dạng 1. (Đặt x = f(t))

Một số dấu hiệu:

* Chứa \sqrt{a^2-x^2} :

Cách đạt ẩn phụ: Đặt x=|a|.\sin t với -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Hoặc x=|a|.\cos t với 0 \leq t \leq \pi

*\sqrt{x^2-a^2}:

Cách đặt ẩn phụ: Đặt x=\dfrac{|a|}{\sin t} với -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2}t \neq 0

Hoặc x=\dfrac{|a|}{\cos t} với 0 \leq t \leq \pit \neq \frac{\pi}{2}

*\sqrt{x^2+a^2}: Đặt x=|a|\tan t với t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).

* \sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}  hoặc \sqrt{\dfrac{a-x}{a+x}}: Đặt x=a.\cos{2t}

* \sqrt{(x-a)(x-b)}: Đặt x=a+(b-a)\sin^2t

Bài tập: Tính các nguyên hàm sau:

1. I= \int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.

2.J= \int \dfrac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3}}.

3. K= \int \dfrac{x^2dx}{\sqrt{x^2-1}}.

  1. Thắc mắc:
    Tìm nguyên hàm I= \int {\sqrt {4 - x^2 } dx}.

    Lời giải 1:
    Đặt x = 2\sin t với t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right].
    Ta có dx = d\left( {2\sin t} \right) = 2\cos t.dt.
    Suy ra I= \int {\sqrt {4\left( {1 - \sin ^2 t} \right)} .2\cos t.dt}
    I= \int {4\sqrt {\cos ^2 t} .\cos t.dt = 4\int {|\cos t|.\cos t.dt} }
    t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] nên \cos t \geq 0.
    Do đó I= 4\int {\cos ^2 t.dt = 4\int {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} }
    I = \int {\left( {2 + 2\cos 2t} \right)dt = 2t + \sin 2t + C} .
    Ta biết x = 2\sin t suy ra \sin t = \dfrac{x}{2}, do đó \cos t = \sqrt {1 - \sin ^2 t}  = \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{4}} \cos t \geq 0, còn t = \arcsin \dfrac{x}{2}.
    Nên \sin 2t = 2\sin t.\cos t = 2\frac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{x^2 }}{4}}  = \dfrac{x}{2}\sqrt {4 - x^2 }
    Vậy I= 2\arcsin \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}.\sqrt {4 - x^2 }  + C.

    Lời giải 2:

    Đặt x = 2\sin t với t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right].
    Ta có dx = d\left( {2\sin t} \right) = 2\cos t.dt.
    Suy ra I= \int {\sqrt {4\left( {1 - \sin ^2 t} \right)} .2\cos t.dt}
    I= \int {4\sqrt {\cos ^2 t} .\cos t.dt = 4\int {|\cos t|.\cos t.dt} }
    t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right] nên \cos t \leq 0.
    Do đó I= -4\int {\cos ^2 t.dt = -4\int {\frac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} }
    I = -\int {\left( {2 + 2\cos 2t} \right)dt = -(2t + \sin 2t) + C} .
    Ta biết x = 2\sin t suy ra \sin t = \dfrac{x}{2}, do đó \cos t = \sqrt {1 - \sin ^2 t}  = \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{4}} \cos t \leq 0, còn t = \arcsin \dfrac{x}{2}.
    Nên \sin 2t = 2\sin t.\cos t = 2\frac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{x^2 }}{4}}  = \dfrac{x}{2}\sqrt {4 - x^2 }
    Vậy I= -(2\arcsin \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}.\sqrt {4 - x^2 } ) + C.

    Tại sao vậy ?
    Để ý: Vì x = 2\sin t-2 \leq x \leq 2 \Leftrightarrow -1 \leq \sin t \leq 1 nên có thể lấy t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] hoặc t \in \left[ { \dfrac{\pi }{2};\dfrac{3\pi }{2}} \right] !
    Đúng không nào ?
    Nhưng kết quả hai Lời giải lại không giống nhau. Why ?

  2. thầy ơi cho em hỏi
    khi nào phải chia cận khi gặp hàn \sin ,  \cos mà cận từ 0 đến 2\pi ?
    em có đọc 1 cuốn sách khi tìm độ dài của \int_{0}^{2\pi} \cos \dfrac{x}{2}dx thì ko chia cận ra để tính nếu vậy thì lúc lấy nguyên hàm thi \sin sẽ lúc âm, lúc dương
    còn 1 bài là \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-cos{2x}}dx thì lại chia cận ra thầy có thể cho em ví dụ cụ thể ko thầy
    em xin cám on thầy

    • Vâng. Chào em.
      ———————

      Trong khi tính tích phân \int_{a}^{b} |f(x)|dx nếu hàm số y=f(x) có dấu chưa xác định (thay đổi) trên đoạn \lbrack a; b \rbrack khi đó chúng ta phải tìm các nghiệm x_{1}, x_{2},..., x_{n} của phương trình f(x)=0 trên đoạn \lbrack a; b \rbrack để khử dấu giá trị tuyệt đối.
      Khi đó, trên mỗi khoảng \lbrack a; x_{1}\rbrack, \lbrack x_{1}; x_{2} \rbrack,…, \lbrack x_{n}; b \rbrack hàm số y=f(x) giữ nguyên một dấu. Chúng ta cần lập bảng xét dấu và chia tích phân ra để tính trên mỗi đoạn đó.

      Quay lại bài toán tính I= \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1- \cos{2x}}dx.
      Ta có: \sqrt{1- \cos{2x}} = \sqrt{1 - (1-2\sin^2 x)} = \sqrt{2\sin^2 x}= \sqrt{2}|\sin x|.
      Trên đoạn \lbrack 0; 2\pi \rbrack ta nhận thấy:
      * \sin x \leq 0 nếu 0 \leq x \leq \pi;
      * \sin x \geq 0 nếu \pi \leq x \leq 2\pi
      Vậy I= \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx.
      I=\sqrt{2}(\int_{0}^{\pi} \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx).
      Em hãy tính tiếp nhé !

      ————–

      Với bài toán tính J=\int_{0}^{2\pi} \cos \dfrac{x}{2} dx. Riêng bài này hàm số dưới dấu tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối nên không cần phải chia cận để tính.

      Nếu tính K=\int_{0}^{2\pi} |\cos \dfrac{x}{2}| dx ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối.
      Ta để ý: Với mọi 0 \leq x \leq 2\pi ta có 0 \leq \dfrac{x}{2} \leq \pi.
      Để an toàn em đổi biến: Đặt t=\dfrac{x}{2}.
      Ta có dt=\dfrac{1}{2}dx. Với x=0 ta có t=0; với x=2\pi ta có t=\pi.
      Vậy K=2\int_{0}^{\pi} \cos t dt.
      Rõ ràng trên đoạn \lbrack 0; \pi \rbrack ta có \cos t \geq 0 nếu 0 \leq t \leq \dfrac{\pi}{2};
      còn \cos t \leq 0 nếu \dfrac{\pi}{2} \leq t \leq \pi.
      Do đó K=2(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t dt)

  3. ∫(sint/2)bình cận (0,2pi), sau đó cô em lấy ∫ trị tuyệt (sin(t/2) ) rồi bỏ trị tuyệt mà không cần xét cận
    thầy giải dùm em bài này nữa nha
    ∫(1-cosx)2 sinx/2 dt cận (0,2pi)
    nếu như bài tón mà không có trị tuyệt mà cận nó từ (0,2 pi) của hàm sin hoặc cos thì mình có cần chia cận không thầy
    ∫sinx(cosx)^3 dx thì giải như thế nào thầy

  4. Có phải em hỏi I=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\sin^2 \dfrac{t}{2}}dt ?
    Nếu là tích phân trên thì ta viết lại I=\int_{0}^{2\pi} |\sin \dfrac{t}{2}|dt=2\int_{0}^{2\pi} |\sin \dfrac{t}{2}|d(\dfrac{t}{2}).
    Nếu em đặt u=\dfrac{t}{2} khi đó em sẽ thấy
    I=2\int_{0}^{\pi} |\sin u| du.
    Trên đoạn \lbrack 0; \pi \rbrack thì \sin u \geq 0 do đó I=2\int_{0}^{\pi} \sin u du.
    Em tự tính tiếp nhé !
    (Đó là lý do tại sao giáo viên bỏ dấu giá trị tuyệt đối ! Vì trên đoạn lấy tích phân, hàm số dưới dấu tích phân luôn không âm).

  5. Àh. Mong em nên gỏ đúng công thức toán bằng ngôn ngữ Latex trên weblog để th dễ nhận biết điều em hỏi. Cảm ơn !

  6. Với tích phân I=\int_{0}^{2\pi} (1-\cos x)^2 \sin \dfrac{x}{2} dx em chỉ cần tính bình thường mà không cần chia khoảng.
    Khi hàm số dưới dầu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì rõ ràng ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính được.
    Tuy nhiên có một số bài toán tính tích phân của hàm số không chứa dấu giá trị tuyệt đối vẫn có thể chia ra nhiều đoạn để dễ tính.
    ——–
    Bài toán trên em có thể làm như sau:
    Biến đổi I=\int_{0}^{2\pi} (2-2\cos^2 \dfrac{x}{2})^2 \sin \dfrac{x}{2} dx.
    Sau đó đặt t=\cos \dfrac{x}{2}, \, dt=-\dfrac{1}{2} \sin \dfrac{x}{2} dx.
    Với x=0 \Rightarrow t=1, x=2\pi \Rightarrow t=-1.
    Do đó I=-8\int_{1}^{-1} (1-t^2)^2 dt.
    Đáp số I=\dfrac{128}{15}

  7. Với tích phân I=\int \sin x \cos^3 x dx ta chỉ cần đổi biến cho dễ nhận thấy.
    Đặt t=\cos x, \, dt=-\sin x dx.
    Khi đó I=\int \cos^3 x \sin x dx = \int -t^3 dt
    Nếu có cận thì đổi cận và tính tiếp nhé !
    Dạng tổng quát:
    I=\int \cos^n x \sin x dx= -\int \cos^n x d(\cos x)
    = \dfrac{-1}{n+1} \cos^{n+1} x +C

  8. Chào thầy
    Em biết đây là blog toán phổ thông nhưng em có thể Hỏi thầy tón cao cấp được không ạ
    Thầy có thể cho em email không em sẽ gửi câu hỏi cho thầy
    Em cám ơn thầy
    Chúc thầy năm mới vạn sự như ý

  9. thầy ơi giải dùm em mấy bài này
    tìm diện tích r=asin5t (a>0)
    tìm độ dài cung y=2(1-sint)
    tìm thể tích vật thể tròn xoay bởi D quay quanh Oy
    D : y= sinx, x=0, y=1 (0<x<90)
    tìm diện tích miền D giới hạn bởi:
    x= 1/(1+t^2), y=t(1-t^2)/ (1+t^2)

    • 1). Diện tích miền D: y=\sin x , y=1 , x=0 , (0\leq x \leq \dfrac{\pi}{2})
      Thể tích khi D xoay quanh trục Ox bằng:
      V = \pi\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1-\sin^2 x) dx =\dfrac{\pi ^2}{4}
      Thể tích khi D xoay quanh trục Oy bằng:
      V=\pi\int_{0}^{1} \arcsin ^2 y dy=\pi(\dfrac{\pi ^2}{4}-2)

      2). Với miền D: x=\dfrac{1}{1+t^2} , y=\dfrac{t(1-t^2)}{1+t^2}.
      Khử tham số t trong hai biểu thức trên ta có hai đường y=\pm (2x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x}-1}.
      Hoành độ giao điểm của hai đường này là x=0,5 ; x=1.
      Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng:
      S=\int_{0,5}^{1} 2(2x-1)\sqrt{\dfrac{1}{x}-1}dx=1-\dfrac{\pi}{4}.
      Bạn tự tính tích phân này nhé.

      —–
      Các bài đường cong trong tọa độ cực để mình xem lại đã nhé !

  10. thầy giải giúp em mấy bài này nha
    tìm S giới hạn r=asin5t (t>0)
    tìm thể tích vật thể tròn xoay bởi D quay quanh Oy
    D: y=sinx , x=0 , y=1 (0<x<90)

    • Bạn đợi mình một thời gian nhé.
      Hiện mình lo cho công tác kết nạp đoàn viên mới và ĐH Hội LHTN nên hơi bận một tý.
      Tuần sau, mình sẽ trả lời. Mong bạn thông cảm.

  11. thay cho em hoi? 1 bai em ngi~ hoai` ma` cung~ ko ra
    tinh’ nguyen ham cua? x^x

    • Có phải Bạn hỏi F(x)=\int x^x dx ?

      ————————————————-

      Mình cũng đã thử dùng phần mềm Maple để tính nó nhưng không cho ra kết quả. Để mình thử dùng các câu lệnh khác thử tính xem có ra không đã nhé !

  12. chao thay! thay co chuong trinh on thi tot nghiep hay dai hocj cua mon toan du cacs phan khong?

    • Mình có biên tập một tập nhỏ ôn thi tốt nghiệp theo cấu trúc của Bộ GD. Thuong có thể xem ở mục tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp nhé !

    • thanh mai :

      1 Votes

      PDRTJS_settings_192296_comm_1308 = {
      “id” : “192296″,
      “unique_id” : “wp-comment-1308″,
      “title” : “em+cam+on+thay+%2Cbai+soan+cua+thay+rat+hay…”,
      “item_id” : “_comm_1308″,
      “permalink” : “http%3A%2F%2Fcaolong.wordpress.com%2Fhoc-toan%2Fphe%2Fnguyen-ham-pp-tinh%2F%23comment-1308″
      }

      em cam on thay ,bai soan cua thay rat hay

  13. thay` oi!
    thay` co’ the~ tong~ hop lai phuong phap’ giai~ cac’ dang nguyen ham` nang cao ko vay

  14. thay oi! thay co cac dang bai tap len quan den nhi thuc Newton, chung minh cac dang thuc lien quan den To hop, Chinh hop va pp giai khong a!

  15. thầy ơi thầy có thẻ tổng hợp lai cách ttinhs nguyên hàm ko ạ?

  16. em cam on thay ,bai soan cua thay rat hay

  17. thay oi e co bai nay nghi ko ra thay ạ.huhu..no la the nay: tinh nguyen ham cua: f(x)= \cos x^2 , cos cua x binh phuong do thay. thay giup e nhe

  18. thay oi thay co the cho con bit them ly thuyen ve nguyen ham dc ko thay

    • thay oi thay co the giup em tong hop phuong phap giai phuong trinh vo ty bang :phuong phap luong giac hoa, phuong phap chia khoang ,phuong phap dua ve dang tich
      e cam on thay

  19. này bạn dọc cosx bình phương ỏ đâu thế.

  20. Nguyen Van Man

    thay oi! Nguyen ham cua 1/( X^2 + X + 1) thi lam sao thay

  21. Thầy ơi giải dùm bài này e với thầy
    2
    a.Cho hình phẳng (H): y = x − 4x + 3 và y = x + 3 .Tính diện tích hình phẳng (H).

    x2
    x2
    b. Cho hình phẳng (H): y = 4 −
    và : y =
    . Tính diện tích hình phẳng (H).
    4 2
    4

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 49 other followers

%d bloggers like this: