Category Archives: Toán lớp 12

Cộng, trừ, nhân số phức

Addition, Substraction, Multiplication
of
complex number.

Bài toán 1: Tìm số phức x\in\mathbb{C}, biết:
a) (5-3i)+\sqrt{2}x=(1-2i)(3+4i);
b) (3-7i)+2ix=(4-i)(5+2i)

Cách giải 1:

a) Rút gọn vế phải sau đó trừ hai vế cho 5-3i ta được:
(5-3i)+\sqrt{2}x=11-2i \Leftrightarrow \sqrt{2}x=(11-2i)-(5-3i)
\Leftrightarrow \sqrt{2}x=6+i

Nhân hai vế cho \dfrac{1}{\sqrt{2}} (vì chưa sử dụng phép chia số phức nên ta chỉ dùng phép nhân), ta được:
x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} (6+i)=3\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i

b) Làm tương tự câu a) ta được:

2ix=19+10i.

Chú ý rằng i^2=-1, do đó để có được x ta nhân 2 vế với -\dfrac{1}{2}i, ta được:

-\dfrac{1}{2}i.2ix=-\dfrac{1}{2}i(19+10i)

\Leftrightarrow x=-5-\dfrac{19}{2}i.

Cách giải 2:

b) Đặt x=a+bi, ta có:
(3-7i)+2i(a+bi)=(4-i)(5+2i)

\Leftrightarrow (3-2b)+(2a-7)i=22+3i

Theo tính chất của 2 số phức bằng nhau ta có:

\left\{ \begin{array}{l} 3-2b=22 \\ 2a-7=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=\dfrac{-19}{2} \\ a=5 \end{array} \right..
Vậy x=a+bi=5-\dfrac{19}{2}i

a) Câu này giải tương tự.

Bài toán 2: Tìm x\in\mathbb{C} biết :
(5-3i)x=(4+3i).

Cách giải 1: Để có được x ở vế trái, chúng ta sử dụng tính chất (a-bi)(a+bi)=a^2+b^2.

Vì vậy, chúng ta chỉ cần nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với 5-3i, sau đó nhân tiếp với \dfrac{1}{5^2+3^2}=\dfrac{1}{34}.

Lời giải: Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với \dfrac{1}{34}(5+3i) ta được:
\dfrac{1}{34}(5+3i)(5-3i)x=\dfrac{1}{34}(5+3i)(4+3i)
\Leftrightarrow \dfrac{1}{34}(5^2+3^2)x=\dfrac{1}{34}(11+27i)
\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{34}+\dfrac{27}{34}i).

Cách 2: Đặt x=a+bi và sử dụng tính chất của 2 số phức bằng nhau để tìm a, b.

Kiểm tra Giải tích 12

CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA – ĐỀ THAM KHẢO
(CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN)

Cấu trúc đề gồm 3 câu:

Câu I (2 điểm): Nguyên hàm các hàm số cơ bản (Bài tập SGK)

Câu II (4 điểm): Tích phân xác định.
Gồm 1 câu giải bằng PP đổi biên số; 1 câu giải bằng PP tích phân từng phần (mức độ khó như bài tập SGK)

Câu III (4 điểm): Ứng dụng của tích phân
Gồm 1 câu tính thể tích khối tròn xoay; 01 câu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

ĐỀ THAM KHẢO

Câu I (2 điểm): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) F(x)=\int \dfrac{\sqrt[3]{x}-x+x^2}{2\sqrt{x}} dx
b) G(x)=\int (\sin x +2\cos 3x )dx

Câu II (4 điểm): Tính các tích phân sau:

a) I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos 2x) \sin  x dx

b) J=\int_{0}^{1} x.e^{2x}dx

Câu III (4 điểm):

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau:

y=x^3+x^2-1; y=-x^2+x+1

b) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=\cos x , trục Ox và hai đường thẳng x=0; x=\dfrac{\pi}{6}.
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi cho (D) quay quanh trục Ox .

————————-


Diện tích-Thể tích

I. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x=a, \, x=b.

S=\int_{a}^{b} |f(x)| dx

Để tính tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y=|f(x)| trên đoạn \lbrack a; b\rbrack, chúng ta làm như  sau:

- Giải phương trình f(x)=0 và tìm các nghiệm x_{1}, x_{2},...,x_{n} thuộc khoảng (a; b), n\in\mathbb{N}.

- Trên mỗi khoảng (a; x_{1}), (x_{1}; x_{2}),...,(x_{n}; b) thì biểu thức f(x) có dấu không thay đổi nên ta có:

$latex  S=\int_{a}^{x_{1}} |f(x)| dx+  \int_{x_{1}}^{x_{2}} |f(x)| dx+…+ \int_{x_{n}}^{b} |f(x)| dx $.

S=|\int_{a}^{x_{1}} f(x)dx|+ |\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x)dx|+...+|\int_{x_{n}}^{b} f(x)dx|.

Chú ý rằng: Nếu hàm số y=f(x) không đổi dấu trên khoảng (a; b) thì \int_{a}^{b} |f(x)|dx=|\int_{a}^{b} f(x)dx|.

MỘT SỐ BÀI TOÁN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y=x^3-2x^2-x+2, trục  Ox và hai đường thẳng x=0; x=3.

Lời giải:

♣ Diện tích hình phẳng ần tìm bằng S=\int_{0}^{3} {|x^3-2x^2-x+2|}dx.

♣ Trên đoạn \left[ 0; 3 \right] , ta có:
x^3-2x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x=1; x=2.

♣ Do đó ta có
S=\int_{0}^{1} {|x^3-2x^2-x+2|}dx + \int_{1}^{2} {|x^3-2x^2-x+2|}dx
+ \int_{2}^{3} {|x^3-2x^2-x+2|}dx

S= |\int_{0}^{1} {x^3-2x^2-x+2}dx|+ |\int_{1}^{2} {x^3-2x^2-x+2}dx|
+|\int_{2}^{3} {x^3-2x^2-x+2}dx|

Ta có:
S=| (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{0}^{1} | + | (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{1}^{2} | + | (\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-2x) |_{2}^{3} |.

S=|\dfrac{13}{12}|+|\dfrac{-5}{12}|+|\dfrac{37}{12}|=\dfrac{55}{12}

♣ Diện tích hình phẳng cần xác định bằng \dfrac{55}{12} (đvdt)

Bài tập tương tự:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=\sin 2x, trục Ox , hai đường thẳng x=\dfrac{-\pi}{6}; x=\dfrac{5\pi}{6}.

II. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x); y=g(x) và hai đường thẳng x=a, \, x=b.

S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)| dx
Cách tính tích phân này hoàn toàn như trên.

Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=\sin x ; y=\cos x và hai đường thẳng x=\dfrac{\pi}{6}; x=\dfrac{\pi}{3}

Giải: Read the rest of this entry

Wrong in the changing variables of integrator

SAI LẦM TRONG ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN

Trong quá trình trình bày lời giải các bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến một số học sinh thường mắc sai lầm sau:

Ví dụ : Tính tích phân I=\int_{\sqrt{5}} ^{2\sqrt{3}} \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}

Xem lời giải sau: Đặt t=\sqrt{x^2+4} ta có:
t^2=x^2+4 \Rightarrow tdt=xdx dx=\dfrac{tdt}{x}x^2=t^2-4.

Vơí x=\sqrt{5} ta có t=3; x=2\sqrt{3} ta có t=4.

Suy ra I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{x^2 .t}=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{(t^2-4) .t} =\int_{3}^4 \dfrac{dt}{(t^2-4)}

————-

Hỏi: Lời giải trên có sai lầm chỗ nào không ?
Trả lời: Có một sai lầm nhỏ mà rất nhiều học sinh không chú ý đó là khi viết I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{x^2 .t}. Viết như thế là không đúng vì cậnn tích phân là từ 3 - 4 là của biến t trong khi biểu thức dưới dấu tích phân có chứa cả biến x.

—–

Một cách khắc phục:

Rõ ràng trong khoảng {\lbrack \sqrt{5}; 2\sqrt{3} \rbrack} thì x>0 nên có thể nhân tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với x.

Ta có: I=\int_{\sqrt{5}}^{2\sqrt{3}} \dfrac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+4}}.

Đặt t=\sqrt{x^2+4} ta có:

t^2=x^2+4 \Rightarrow tdt=xdx , x^2=t^2-4.

Vơí x=\sqrt{5} ta có t=3; x=2\sqrt{3} ta có t=4.

Vậy I=\int_{3}^4 \dfrac{tdt}{(t^2-4)t} =\int_{3}^4 \dfrac{dt}{t^2-4}.

Như vậy, với việc nhân thêm x để làm xuất hiện xdx=tdt giúp ta không cần phải biểu thị (rút) dx theo t dễ mắc sai lầm như trên.

Bookmark and Share

Cấu trúc đề thi Toán 12

Giới thiệu các dạng toán và cấu trúc đề thi học kỳ 01, môn Toán lớp 12. Kèm các đề thi ôn tập bám sát để các em luyện tập. Các em cố gắng làm và có gì thắc mắc thì hỏi nhé !

Hướng dẫn giải chi tiết và trình bày lời giải sẽ đăng sau (để các em tham khảo).

Xem chi tiết !

Chúc các em ôn tập tốt !

Xem bộ đề tham khảo số  02 .

Kiểm tra GT12.Chương 2

Đề tham khảo Chương 2 (Hàm số mũ – Lôgarit)

Các em xem và làm thử để chuẩn bị cho bài kiểm tra sắp đến.

Thời gian: Thứ Năm, ngày 27/11/2008 (Tiết 5, buổi sáng)

Xem đề.

Chúc các em làm bài tốt !

PT-BPT lôgarit

Một số lưu ý khi trình bày lời giải phương trình, bất phương trình lôgarit.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \sqrt{5-x^2}. \log_{2}(x^2-3) \leq 0. (*)

Hướng dẫn và lời giải:

Nhận xét: Việc đầu tiên là phải xác định điều kiện của x để bất phương trình có nghĩa.
Ở đây có hai biểu thức, một căn bậc hai và một lôgarit.
Điều kiện xác định là \left\{ \begin{array}{l} 5-x^2 \geq 0 \\ x^2-3 >0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \\ x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty) \end{array} \right.
\Leftrightarrow x \in D= [-\sqrt{5}; -\sqrt{3}) \cup ( \sqrt{3}; \sqrt{5} ].
(Ở đây ta đặt tập xác định là D để sau này thao tác và viết lại cho gọn).
Một số học sinh thường mắc sai lầm khi biến đổi như sau:
Với x \in D thì \sqrt{5-x^2} \geq 0 nên (*) \Leftrightarrow \log_{2}(x^2-3) \leq 0
\Leftrightarrow x^2-3 \leq 2^0=1 \Leftrightarrow x^2 \leq 4 \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 2.
Sau đó lấy lết qur đó giao với D và kết luận tập nghiệm của (*) là:
S= [-2; -\sqrt{3}) \cup ( \sqrt{3}; 2 ].

Hỏi: Lời giải trên sai chỗ nào ?

Xem tiếp Read the rest of this entry

Đề cương Ôn tập chương II (Giải tích 12)

Một số kiến thức về lý thuyết và dạng toán cơ bản

1. Lũy thừa và lôgarit.

- Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực; các công thức biến đổi lôgarit;
– Dạng toán: + so sánh hai lũy thừa (cùng cơ số; khác cơ số) (Ví dụ 7/55, Bài tập 4,5/61); rút gọn các biểu thức chứa lũy thừa (Bài 4/56);
+ so sánh hai lôgarit(Bài 4/68) ; tính toán với lôgarit (Bài 1,2,3,5/68);

2. Hàm số mũ, hàm số lôgarit.

- Các công thức tính đạo hàm hàm số mũ, lôgarit
– Dạng toán: tìm tập xác định của hàm số mũ, lôgarit (Bài tập 2,3/77; bài 5/78)

3. Phương trình mũ-lôgarit.

- Các phương pháp cơ bản giải phương trình mũ; phương trình lôgarit
– Dạng toán: giải các phương trình mũ, lôgarit (Bài 1,2,3/84; bài 7/90)

Cấu trúc đề kiểm tra gồm 09-10 câu (nhỏ). Trong đó có từ 5 – 7 câu ở mức độ trung bình.
Thời gian kiểm tra: tiết 02, thứ Hai, ngày 10/11/2008.

Ví dụ (đề tham khảo)

Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho số a>0\log_{a}m=2, \log_{a}n=-2. Hãy tính :
A=\log_{a}(m. \sqrt{n}. \sqrt{a^3})
b) Tính A=5^{\log_{25}3} ; B=4^{\log_{2}7}

Câu 2. (3,5 điểm)
a) Tính đạo hàm hàm số y= 2^x. \cos{x} tại x= -3.
b) Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y=2^{2x}+2^{-x}.
c) Tìm tập xác định của hàm số y= \dfrac{\log_{3}(x+1)}{\log_{2}(x^2+3x)}.

Câu 3. (2,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) \log_{2}(x-3)=\log_{2}(x^2-5x+6)
b) \log_{2}x-\log_{\frac{1}{2}}x+\log_{\sqrt{2}}x=3

Câu 4. (2,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 9^{x-1}=\sqrt{3}.3^{3x+5}.
b) 3.9^x-10.3^x+3=0.

— Chúc các em ôn tập tốt ! —

Phương trình mũ-Lôgarit

Một số dạng phương trình mũ – lôgarit cơ bản.

Phương pháp giải và Bài tập cho từng dạng cụ thể. Các em học sinh có thể dùng phần mềm Maple 11 để kiểm tra đáp án nhé. (Cần thiết thầy sẽ đưa bổ sung lần sau)

Có gì thắc mắc có thể hỏi Thầy trực tiếp hoặc hỏi qua Blog này nhé.

Chuyende.PT.Mu-logarit (file định dạng pdf)

—————-

Lũy thừa, Lôgarit (Ôn tập)

Dạng 1: So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
Phương pháp: Sử dụng tính chất
– Với a>1, ta có \alpha > \beta \Leftrightarrow a^ \alpha > a^ \beta , (\alpha , \, \beta là các số thực)
– Với 0<a<1, ta có \alpha > \beta \Leftrightarrow a^ \alpha < a^ \beta .

Các Ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau:

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 53 other followers