Chuyên đề phương trình – hệ phương trình


Trong trang này chủ yếu đăng các bài toán về phương trình, hệ phương trình giúp các em học sinh rèn luyện để thi tuyển vào đội tuyển học sinh giỏi của trường.

Các bài toán được đề cập trong toàn bộ chương trình học (từ lớp 10 đến lớp 12).

Bài toán 1: Giải phương trình 2x^4 - x^3 -7x^2+3x+4=0

Các em hãy giải và đăng ở mục viết phản hồi để cùng thảo luận nhé !

Bài toán 2: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}   y + x{y^2} = 6{x^2} \\    1 + {x^2}{y^2} = 5{x^2} \\    \end{array} \right.

(Bài này được 1 học sinh hỏi trên blog này)

  1. bai ni dung pp dao ham xong roi tinh phai ko thay

  2. Gợi ý:
    Bước 1: Đặt ẩn phụ x= t+\dfrac{1}{8} để biến đổi phương trình đã cho về dạng:
    t^4 = at^2+bt+c. (1)
    Hãy khai triển và tìm giá trị của a, b, c.
    Bước 2: Tìm giá trị của m để viết được (1) dưới dạng:
    t^4+4mt+m^2=(a+4m)t^2+bt+c+m^2 (2)
    trong đó vế trái của (2) có nghiệm kép.

  3. Gợi ý 2:
    Có thể biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.

  4. Biến đổi thành phương trình tích không dễ chút nào. Thầy gợi giúp ý thêm một vài ý.

  5. thay X = t + 1/8 vào pt đầu phải không thầy ,nếu thay vô thì làm bài toán thêm rắc rối hơn nữa.

    • Em cứ thử làm xem sao đã. Thầy đã giải rồi. Thầy nêu định hướng để các em thử làm xem có đến đích không ?
      Đó là một cách giải của phương trình bậc 4 đó em.

      EM có thể tìm trong các tài liệu về phương trình của Giáo sư Nguyễn Văn Mậu.
      —-

      Chẳng hạn, từ các phương trình sau: a) \; {x^4} = {x^2} - 2x + 1
      b) \; {\left( {{x^4} + 2} \right)^2} = {x^2} + 6x + 9
      Có thể định hướng giúp các em tìm cách giải cho bài tập trên (sau khi đặt ẩn phụ).

  6. Biến đổi phương trình 2{x^4} - {x^3} - 7{x^2} + 3x + 4 = 0 về dạng tích như sau:
    2{x^4} - {x^3} - 7{x^2} + 3x + 4 = 0
    \Leftrightarrow \left( {2{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {{x^3} - {x^2} - x} \right) - 4{x^2} + 4x - 4 = 0
    \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} - x - 1} \right) + x\left( {{x^2} - x - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0
    \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {2{x^2} + x - 4} \right) = 0
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  {x^2} - x - 1 = 0 \\   2{x^2} + x - 4 = 0 \\   \end{array} \right.
    \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \vee x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {33} }}{4}
    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt: \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} ; x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {33} }}{4}

  7. thầy gợi ý cho em bài giải hệ pt với. em thử nhiều lần rồi mà không ra nỏi

  8. thầy ỏi !
    thầy có thể đưa lên chuyên đề bài tập về dãy số và phép chứng minh quy nạp được không ah

  9. thay co the dua len may baj ve xac suat dc ko thay

  10. thay oj em danh mathtyme mak dua len ko dc noj

  11. Đức Việt

    Thầy có thể giúp bọn em làm 1 cái chuyên đề về lớp 11 được không ak,chứ theo e học ở trên trường thầy cô không dạy kiến thức nhiều như thầy đâu ak. Mong thầy Giúp Đỡ bọn em được không ak

    • Vâng. Hiện nay thầy đã viết một số chuyên đề về toán 11 (giới hạn, phương trình lượng giác). Em có thể tìm thấy trên blog này. Những chuyên đề khác thầy sẽ viết trong thời gian tới.

  12. nho thay giai giup em bainay voi a:
    1.giai he pt: a) x+y+1/x+1/y=4 va x^2+y^2+1/x^2+1/y^2=4
    b) x^4+y^4=1 va x^6+y^6=1

  13. dang thang loi

    lam bai 1:he tuong duong 1/x+y=6x/y (1)
    1/x^2+y^2=5(2)
    binh phuong (1) la xong

  14. bài 2:(dễ òm ) ta thay x=0 khong la nghiệm cua pt
    ta chia pt 1,2 với x^2
    pt 1: y/x^2+y^2/x=6
    pt 2:1/x^2+y^2=5
    roi dat an la xong

  15. thầy có thể giải giúp em bài này đc ko ạ?
    (m^2+1)+m(x+3)+1>0 nghiệm đúng với mọi x thuộc[-1;2]?

    • Đối với chương trình chuẩn hiện nay thì bài tập này thuộc loại khó em à.
      Để giải được bài dạng này em cần nắm vững các bước giải bất phương trình: ax+b >0, \;\; (1)
      – Nếu a > 0 thì ax+b > 0 \Leftrightarrow x > -\dfrac{b}{a}, nghĩa là ax+b>0 có tập nghiệm: T= (-\dfrac{b}{a}; + \infty)
      – Nếu a < 0 thì ax+b > 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{b}{a}, nghĩa là ax+b > 0 có tập nghiệm: T= (- \infty ; -\dfrac{b}{a})
      – Nếu a=0 thì (1) trở thành: 0.x + b > 0 , \; (2)
      + Nếu b > 0 thì (2) thỏa mãn với mọi x \in \mathbb{R}
      + Nếu b \le 0 thì (2) vô nghiệm.

    • Ta có: m^2+1+m(x+3)+1 > 0

      EM kiểm tra lại xem có phải đề em hỏi như trên không nhé !
      Thầy thấy nó thiếu cái gì đó.

  16. thay giai giup em bai nay voi:
    \left\{ \begin{array}{l} {x^3}y + 9 - 18{y^3} = 0\\ {x^2}y + 3x - {y^2} = 0 \end{array} \right.

  17. thay oi thay co the dua bai toan viet pt tiep tuyen kho dc ko ah !

  18. thay oi thay co the post len chuyen de ve bai tap va huong dan giai ve cac dang phuong trinh duong thang dk khong a

  19. ma thay oi sao em khong thay thay viet ve chuyen de dang cho pt ax2+bx+c=0 co ngiem thuoc khoang[a,b].tim gtnn va gtln cua bthuc lien he a,b va 2 ngiem a

    • Em thông cảm.
      Bởi trên blog này chủ yếu viết về các dạng toán cơ bản thôi em à.
      Nếu em có bài tập nào nâng cao cần trao đổi hãy gửi lên blog này rồi thầy sẽ giúp em trả lời.

  20. hic cai nay kho qua anh oi? rang nghi dc dat x=t+1/8 troi.

  21. anh giai e bai ni voi, em nham nghiem ra bang 2 xong dinh dua ve pt tich co thua so x-2 ma bi vuong noi cho can(4-2x)
    can(5+2x) + can(4-2x) = (4x+1)^2/27

    • Nhận xét: 4x+1=(\sqrt{5+2x})^2-(\sqrt{4-2x})^2.
      Từ đó, đặt u=\sqrt{5+2x}, \; v= \sqrt{4-2x} ta có u \geq 0 , \; v \geq 0u^2-v^2=4x+1 , u^2+v^2=9.
      Phương trình đã cho \sqrt{5+2x}+\sqrt{4-2x}=\dfrac{(4x+1)^2}{27} trở thành
      u+v=\dfrac{(u^2-v^2)^2}{27}
      \Leftrightarrow (u^2-v^2)^2-27(u+v)=0
      \Leftrightarrow (u+v)^2(u-v)^2-27(u+v)=0
      \Leftrightarrow (u+v)[(u+v).(u-v)^2-27]=0 \;\; (*)
      Do u, \; v không đồng thời bằng 0 nên u+v > 0 nên
      (*) \Leftrightarrow (u+v).(u-v)^2-27 = 0
      Từ đó ta có hệ \left \{ \begin{array}{l} u^2+v^2=9 \\ (u+v).(u-v)^2-27 = 0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} (u+v)^2-2uv=9 \\ (u+v).[(u+v)^2-4uv]-27 = 0 \end{array} \right. \;\;\ (I) (I)
      Lại đặt S=u+v, \; P=uv ta có S \leq \sqrt{(1^2+1^2)(u^2+v^2)}=\sqrt{2.9}=3\sqrt{2}.
      S^2=u^2+v^2+2uv=9+2uv \geq 9 \Rightarrow S \geq 3 (vì uv \geq 0).
      Suy ra 3 \leq S \leq 3\sqrt{2}.
      Hệ (I) trở thành:
      \left \{ \begin{array}{l} S^2-2P=9 \\ S.(S^2-4P)-27 = 0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2P=S^2-9 \\ S.[S^2-2(S^2-9)]-27 = 0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 2P=S^2-9 \\ -S^3+18S-27 = 0 \end{array} \right. \;\;\; (II).
      Ta có -S^3+18S-27 = 0 \Leftrightarrow -(S-3)(S^2+3S-9)=0 .
      Với điều kiện 3 \leq S \leq 3\sqrt{2} ta có S^2+3S-9 \geq 3^3+3.3-9 > 0
      Từ đó suy ra -(S-3)(S^2+3S-9)=0 \Leftrightarrow S-3=0 \Leftrightarrow S=3
      Thay vào hệ (II) ta được P=\dfrac{S^2-9}{2}=0.
      Vậy (II) có nghiệm \left \{ \begin{array}{l} S=3 \\ P=0 \end{array} \right.
      Do đó (I) \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} u+v=3 \\ uv=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} u=3 \\ v=0 \end{array} \right. hoặc \left \{ \begin{array}{l} u=0 \\ v=3 \end{array} \right.
      Trường hợp \left \{ \begin{array}{l} u=3 \\ v=0 \end{array} \right. ta có \left \{ \begin{array}{l} \sqrt{5+2x}=3 \\ \sqrt{4-2x}=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=2.
      Trường hợp \left \{ \begin{array}{l} u=0 \\ v=3 \end{array} \right. ta có \left \{ \begin{array}{l} \sqrt{5+2x}=0 \\ \sqrt{4-2x}=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}.
      —-
      Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x=2; \; x=-\dfrac{5}{2}.

      • Từ cách giải trên ta nhận thấy vế trái 3 \leq S \leq 3\sqrt{2}
        Và nghiệm của phương trình làm cho S=3.
        Từ đó ta có suy nghỉ rằng, cần chứng minh vế phải \leq 3.
        ——–
        Thử xem nhé !
        Điều kiện của phương trình đã cho: \left \{ \begin{array}{l} 5+2x \leq 0 \\ 4-2x \leq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow -\dfrac{5}{2} \leq x \leq 2.
        * Xét hàm số f(x)= \sqrt{5+2x}+\sqrt{4-2x} trên đoạn [-\dfrac{5}{2};2] ta có:
        f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5+2x}}-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x}}=\dfrac{\sqrt{4-2x}-\sqrt{5+2x}}{\sqrt{(5+2x)(4-2x)}}
        f'(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{4-2x}-\sqrt{5+2x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{4-2x}=\sqrt{5+2x}
        \Leftrightarrow 4-2x=5+2x \Leftrightarrow x= -\dfrac{1}{4}.
        Lại có f(2)=f(-\dfrac{5}{2})=3, f(-\dfrac{1}{4})=3\sqrt{2}
        Từ đó suy ra \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = 3\sqrt 2 \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{5}{2}} \right)= f\left( {2} \right) = 3.
        Tức là 3 \leq f(x)= \sqrt{5+2x}+\sqrt{4-2x} \leq 3\sqrt{2} với mọi x \in [-\dfrac{5}{2};2] \;\; (*1).
        * Xét hàm số g(x) = \dfrac{(4x+1)^2}{27} trên đoạn [-\dfrac{5}{2};2] ta có:
        g'(x) = \dfrac{8(4x+1)}{27}g'(x)=0 \Leftrightarrow 4x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}.
        g(2)=g(-\dfrac{5}{2})=3, \; g(-\dfrac{1}{4})=0.
        Suy ra \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};2} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = 0 \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{5}{2};2} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - \frac{5}{2}} \right)= g\left( {2} \right) = 3.
        Tức là 0 \leq g(x) = \dfrac{(4x+1)^2}{27} \leq 3 với mọi x \in [-\dfrac{5}{2};2] \;\; (*2).
        Từ (*1), \;\; (*2) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \left \{ \begin{array}{l} f(x)=3 \\ g(x)=3 \end{array} \right.
        \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array} \right.

        Kết luận.

  22. truongthanhtien

    hj. em giai ra roi, giai theo cach 1 o, con cach 2 cua a hay do. thank anh

  23. giai gium e bai he nay voi
    X^2+y^2+xy+1=4y va y(x+y)^2=2X^2+7y+2

    • Đề bài là: Giải hệ \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2+xy+1 =4y \;\; (1) \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2 \;\; (2) \end{array} \right.
      ———————————–
      Đầu tiên ta cố gắng biến đổi phương trình trong hệ về dạng tích (theo phương pháp cộng để khử bớt ẩn ):
      Nhận xét:
      – Vế trái của (1) có số hạng x^2+1
      – Vế phải của (2) có số hạng 2x^2+2
      Từ đó ta có thể khử số hạng này để thu được phương trình có thừa số là y.
      ——–
      Giải:
      Nhân 2 vào hai vế của phương trình thứ nhất rồi cộng theo vế với phương trình thứ hai của hệ ta được:
      2(x^2+y^2+xy+1)+ y(x+y)^2 =8y+2x^2+7y+2
      \Leftrightarrow  2(y^2+xy)+y(x+y)^2=15y
      \Leftrightarrow 2y(x+y)+y(x+y)^2-15y=0  \Leftrightarrow  y[(x+y)^2+2(x+y)-15]=0
      \Leftrightarrow  y(y+x+5)(y+x-3)=0
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=0 \\ y+x+5=0 \\ y+x-3=0 \end{array} \right.
      * Trường hợp y=0 thay vào phương trình (1) ta được x^2+1=0, không có nghiệm thực.
      * Trường hợp y+x+5=0 \Leftrightarrow x=-y-5 thay vào phương trình (1) ta được
      (y+5)^2+y^2-y(y+5)+1=4y \Leftrightarrow y^2+y+26=0 , không có nghiệm thực.
      * Trường hợp y+x-3=0 \Leftrightarrow x=3-y thay vào phương trình (1) ta được
      (3-y)^2+y^2+y(3-y)+1=4y \Leftrightarrow y^2-7y+10=0
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=2 \\ y=5 \end{array} \right.
      Trường hợp này hệ có hai nghiệm thực (x;y)=(1;2)(x;y)=(-2;5).
      Vậy hệ đã cho có hai nghiệm thực: (x;y)=(1;2)(x;y)=(-2;5).

  24. Chào thầy Long, thầy có thể cho em xin địa chỉ email được không ạ? Em có một số cái muốn gửi thầy xem thử, mong nhận hồi âm từ thầy

  25. Nếu được, thầy hãy email cho em vào địa chỉ này nhé thekidloveu@yahoo.com.vn

  26. Nguyen Viet Thanh

    Thay cho em hoi duong tron bang tiep la sao thay.?

    • Đường tròn bàng tiếp là đường tròn tiếp xúc ngoài với ba cạnh của một tam giác. Tâm của đường tròn bàng tiếp góc A được xác định là giao điểm của đường phân giác trong của góc A và đường phân giác ngoài của góc B và C.
      Như vậy, một tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp (của 3 góc).

  27. xuanduc-DT_QN

    thay va cac ban giai ho em he phuong trinh nay voi
    x2+xy+y2=1
    y2+yz+z2=4
    z2+zx+x2=7

  28. anh long gjai gjum em baj he nj voj
    x4-4×2+y2-6y+9=0 va x^2.y+x2+2y-22=0

  29. gjai em baj he nay voi
    X^4-4X^2+y^2-6y+9=0 va X^2.Y+X^2+2Y-22=0

    • Hai ngày nay (cuối tuần) anh lên nhà (Nam Đông) nên không online.
      =================
      Để giải hệ này theo anh nghỉ ta biến đổi để đặt ẩn số phụ.
      GIải:
      \left \{ \begin{array}{l} x^4-4*x^2+y^2-6y+9=0 \\ x^2y+x^2+2y-22=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} (x^2-2)^2+(y-3)^2=4 \\ (x^2-2)(y-3)+4[(x^2-2)+(y-3)]=8 \end{array} \right.
      Đến đây, ta đặt S=(x^2-2)+(y-3), \; P=(x^2-2)(y-3) ta có hệ
      \left \{ \begin{array}{l} S^2-2P=4 \\ P+4S=8 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} S^2-2(8-4S)=4 \\ P=8-4S \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} S^2+8S-20=0 \\ P=8-4S \end{array} \right.
      Giải hệ ta được
      \left \{ \begin{array}{l} S=-10 \\ P=48 \end{array} \right. hoặc \left \{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=0 \end{array} \right..
      * Trường hợp \left \{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=0 \end{array} \right. ta có hệ
      \left \{ \begin{array}{l} (x^2-2)+(y-3)=2 \\ (x^2-2)(y-3)=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} x^2-2=0 \\ (x^2-2)+(y-3)=2 \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array}{l} y-3=0 \\ (x^2-2)+(y-3)=2 \end{array} \right. \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} x=\pm \sqrt{2} \\ y=5 \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array}{l} y=3 \\ x= \pm 2 \end{array} \right. \end{array} \right.
      Trường hợp này ta có bốn nghiệm: (x;y)=(\pm \sqrt{2} ; 5), \; (x;y)=( \pm 2 ; 3).
      ** Trường hợp \left \{ \begin{array}{l} S=2 \\ P=0 \end{array} \right. ta có x^2-2 y-3 là các nghiệm của phương trình t^2-St+P=0.
      Phương trình này có \Delta = S^2-4P=100-4*48=-92 < 0 nên vô nghiệm.
      Như vậy, trường hợp này hệ vô nghiệm.
      **==
      Kết luận: Hệ đã cho có bốn nghiệm (x;y)=(\pm \sqrt{2} ; 5), \; (x;y)=( \pm 2 ; 3).

  30. thank anh.

  31. tim m de phuong trinh co 2 nghiem phan biet
    10x^2 + 8x +4 = m(2x+1)can(x^2 + 1)

    • Anh có hướng giải như sau:
      ======
      Ta thấy rằng x = -\dfrac{1}{2} không thỏa mãn phương trình đã cho với mọi m.
      Do đó ta có:
      10x^2+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^2+1} \;\;\; (1)
      \Leftrightarrow m = \dfrac{10x^2+8x+4}{(2x+1)\sqrt{x^2+1}} \;\; (2)
      Xét hàm số f(x) = \dfrac{10x^2+8x+4}{(2x+1)\sqrt{x^2+1}} ta có
      f'(x) = \dfrac{-6x^3+4x^2+16x}{(2x+1)^2\sqrt{(x^2+1)^3}}.
      f'(x) = 0 \Leftrightarrow -6x^3+4x^2+16x \Leftrightarrow x= 0 ; x=2; x=-\dfrac{4}{3}
      Bảng biến thiên của hàm số f(x)
      Bảng biến thiên
      Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
      Điều kiện này được thỏa mãn khi đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại hai điểm phân biệt.
      Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị của m phải tìm là:
      m \in \left( { - 5; - 4} \right) \cup \left( {4;5} \right] \cup \left\{ {\dfrac{{12}}{{\sqrt 5 }}} \right\}

  32. ak, em dinh lam rua roi deu thay dao ham met chet. hj. thank anh nha

  33. Trọng Nhân

    toi cung la GV day Toan. Toi thay trang web nay rat co y nghia.

    • Cảm ơn Thầy đã động viên.
      Tôi rất mong nền giáo dục nước nhà cần có sự điều chỉnh về chương trình dạy học, thi cử để giảm bớt áp lực cho học sinh và giáo viên.
      Từ đó, bản thân tôi và các nhà giáo mới có đủ thời gian nghiên cứu, giúp đỡ học sinh tự học.

  34. bai he pt giai la :

    vi x=0 k la nghiem cua hpt nen ta chia ca hai ve hpt cho x^2 ta dc
    y/x^2 +y^2/x =6 va 1/x^2 +y^2 =5 tu do ta dat u=1/x+y va v =y/x ta dc hpt moi la vu=6 va u^2 -2v=5
    rut v=6/u ta dc pt bac 3 doi voi u la u^3 -5u -12=0 bam may tinh ra u=3 va co u=3 roi thi v =2
    voi u=3 va v=2 ta dc 1/x +y=3 va y/x =2 tu do suy ra hai nghiem cua pt

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 50 other followers

%d bloggers like this: