Lời giải đề thi HSG Toán 12 tỉnh T.T.Huế năm 2011


LỜI GIẢI

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 THPT TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2011 – 2012

Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11, 12 tỉnh Thừa Thiên Huế được diễn ra từ ngày 14 – 16/11/2011 tại trường THPT Chuyên Quốc Học Huế.

Trong bài viết này, tôi xin trình bày ý tưởng giải và lời giải của cá nhân tôi. Mong được trao đổi và ý kiến đóng góp từ các em học sinh và quý thầy cô.

Lưu ý: Mỗi câu được giải trên 1 trang.
Hãy click vào số trang tương ứng ở cuối Bài viết để xem Lời giải của các câu.

Câu 1: Cho hàm số f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m có đồ thị \left( C \right).

a) Tìm m để \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành.

b) Tìm m để f\left( x \right)\ge \dfrac{1}{x} với mọi x\ge 2.

Giải:

a) Tập xác định của hàm số: D=\mathbb{R} .

{f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-\left( m-1 \right).

Điều kiện cần và đủ để \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành là hệ sau có nghiệm ( ẩn số x):

\left\{ \begin{array}{l}   {x^3} - 2{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m = 0\,\, \\   3{x^2} - 4x - \left( {m - 1} \right) = 0\,\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}   {x^3} - 2{x^2} - \left( {3{x^2} - 4x} \right)x + 3{x^2} - 4x + 1 = 0\,\, \\   m = 3{x^2} - 4x\, + 1\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}    - 2{x^3} + 5{x^3} - 4x + 1 = 0\, \\   m = 3{x^2} - 4x\, + 1\, \\   \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}   x = 1 \\   m = 0 \\  \end{array} \right. hoặc \left\{ \begin{array}{l}  x = \dfrac{1}{2} \\   m = - \dfrac{1}{4} \\  \end{array} \right.
Kết luận: Có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán là: m=0;m=-\dfrac{1}{4} .

m=0 (đồ thị \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành tại điểm \left( 1;0 \right) );

m=-\dfrac{1}{4} (đồ thị \left( C \right) tiếp xúc với trục hoành tại điểm \left( \dfrac{1}{2};0 \right) ).

b) Ta có f\left( x \right)\ge \dfrac{1}{x} với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x+m\ge \dfrac{1}{x}latex , với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x - \dfrac{1}{x} \ge \left( {x - 1} \right)m , với mọi x\ge 2

\Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 2{x^2} + x}}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x\left( {x - 1} \right)}} \ge m , với mọi x\ge 2 (vì x-1 >0)

\Leftrightarrow m \le {x^2} - x - \dfrac{1}{{{x^2} - x}} , với mọi x\ge 2 (*).

Xét hàm số g\left( x \right) = {x^2} - x - \dfrac{1}{{{x^2} - x}} , ta có

g'\left( x \right) = 2x - 1 + \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}}} = \left( {2x - 1} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^2}}}} \right) > 0 , với mọi x\ge 2 .

Nên hàm số g\left( x \right) đồng biến trên nữa khoảng \left[ {2; + \infty } \right) .

Suy ra g\left( x \right)\ge g\left( 2 \right)=\dfrac{3}{2} , với mọi x\ge 2 . Tức là \underset{x\ge 2}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=\dfrac{3}{2} .
Vậy (*) \Leftrightarrow m\le \underset{x\ge 2}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=\dfrac{3}{2} .
Kết luận: Giá trị của m cần tìm thỏa yêu cầu bài toán là m\le \dfrac{3}{2} .

About these ads

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 15/11/2011, in Toán lớp 12 and tagged . Bookmark the permalink. 21 phản hồi.

  1. em thay cach nay hop li day
    em da hoc xong lop 12 oy nhung og thay em giai khong hay bang thay

  2. hinh nhu cau 2a doan xet ham so f(t). luc tinh dao ham f'(t) thi phai

  3. phuong trinh duong thang d1 co van de roi thi phai.
    vec to phap tuyen co toa do(1;1) moi dung chu

  4. fiction_56789

    hihi em thay em la nguoi khai truong dau tien ma gui5,6 phan hoi khong hay lam chac dai ca khong vui ha? dung gian nhe !

  5. Ở câu 6. Đề yêu cầu tính giới hạn khi x \to 0. Tuy nhiên, giá trị của giới hạn khi x \to 0^{+} và giá trị của giới hạn khi x \to 0^{-} chưa xác định được.
    Theo tôi, cần tính cả 2 giới hạn trên, sau đó mới kết luận được sự tồn tại của giới hạn khi x \to 0.
    Ở trong lời giải trên (Câu 6), tôi đã tính giới hạn bên phải tại 0.
    Các bạn hãy tính giới hạn còn lại, khi x \to 0^{-} nhé !

  6. thưa thầy, em giải câu 2b theo cách này được không ạ?
    nếu có sai thầy chỉ dùm em nha

    √(1/16+〖cos〗^4 x-1/2 〖cos〗^2 )+√(9/16+〖cos〗^4 x-3/2 〖cos〗^2 )= 1/2

    ↔√(〖(cos〗^2 x-1/4))+√(〖(cos〗^2 x-3/4)) = 1/2

    ↔|〖cos〗^2 x-1/4|+|〖cos〗^2 x-3/4| = 〖(cos〗^2 x-1/4) – (〖cos〗^2 x-3/4)
    ↔{█(〖cos〗^2 x-1/4≥0@〖cos〗^2 x-3/4≤0)┤↔{█(cos⁡〖x ≥1/2 ;cos⁡〖x ≤(-1)/2〗 〗@√3/2 〖≥cos〗⁡〖x≥〗 (-√3)/2)┤

  7. \begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{1}{{16}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - \dfrac{1}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}  + \sqrt {\dfrac{9}{{16}} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - \dfrac{3}{2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}  = \dfrac{1}{2}\\  \Leftrightarrow \sqrt {(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} {)^2} + \sqrt {(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} {)^2} = \dfrac{1}{2}\\  \Leftrightarrow \left| {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} \right| + \left| {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} \right| = \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{1}{4}} \right) - \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \dfrac{3}{4}} \right)\\  \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le \dfrac{3}{4} \end{array}
    em gõ lại rồi, thầy xem dùm em nha

    • Trong lời giải trên em đã xét thiếu trường hợp khi mở dấu 2 dấu giá trị tuyệt đối.
      Cụ thể:
      – Em chỉ mới xét trường hợp:\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le \dfrac{3}{4}
      Còn thiếu trường hợp:0 \le \cos^2{x} \le \dfrac{1}{4}
      và trường hợp:\dfrac{3}{4} \le \cos^2{x} \le 1

  8. \begin{array}{l}
    có \left| {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right| + \left| {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right| = \frac{1}{2}\\
    có \left( {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right) – \left( {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right) = \frac{1}{2}\\
    \Leftrightarrow \left| {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right| + \left| {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right| = \left( {{{\cos }^2}x – \frac{1}{4}} \right) – \left( {{{\cos }^2}x – \frac{3}{4}} \right)\left( 1 \right)\\
    \Leftrightarrow {\cos ^2}x – \frac{1}{4} \ge 0;{\cos ^2}x – \frac{3}{4} \le 0\left( 2 \right)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {\cos ^2}x \le 1;0 \le {\cos ^2}x \le \frac{3}{4}\left( 3 \right)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {\cos ^2}x \le \frac{3}{4}\left( 4 \right)
    \end{array}
    em chưa hiểu lắm, em đánh số rồi, thầy chỉ em em sai từ bước nào ạ??

    • Em đăng lại câu hỏi của em rõ ràng hơn tý nhé !

      Em chú ý. Mỗi lần Paste công thức toán từ Mathtype sang bài soạn khi viết phản hồi em cần thay dấu [\ đầu dòng lệnh bằng từ khóa $latex và dấu \] cuối dòng lệnh bằng từ khóa $ .
      Nói chúng là dùng cặp từ khóa $latex lệnh$.
      Sau từ latex phải có dấu cách.

  9. Hoc sinh Đặng Trần Côn

    câu 1 a nhầm 1 lỗi thầy ui ở dấu thứ 2 là -2x^3+5x^3-4x+1 sữa lại là -2x^3+5x^2-4x+1

  10. Phanchảutinh_12B3_Clup

    Em là một học sinh o Quảng trị em có nghe tin về thầy . Vậy thây có thê cho E xin một số công thức toán LOGARIC giải toán nâng cao đượ không thầy SDT cua e de thay lien he
    01255599978

  11. Hoàng Hải

    Tôi đang rất cần đề thi học sinh giỏi giải toán trên MTCT môn toán của Thừa Thiên Huế năm 2011- 2012 nhưng tìm mãi không được. Thầy có thể giúp tôi được không? Cám ơn nhiều.

  12. Hoàng Hải

    Tôi đang cần rất gấp. mong thầy giúp, địa chỉ email của tôi là hoangdanghung.bn@gmail.com . Cám ơn thầy nhiều. Mong thầy gửi sớm trong một – hai ngày tới.

  13. Hoàng Hải

    ôi đang cần rất gấp. mong thầy giúp, địa chỉ email của tôi là hoangdanghung.bn@gmail.com . Cám ơn thầy nhiều. Mong thầy gửi sớm trong một – hai ngày tới.

  14. thay gui cai de MTCT TT Hue 2011-2012 cho em vs luon. Email: huuminh.0205@yahoo.com

  15. thay co de thi hsg mon ly tin TT Hue 2011-2012 gui cho em vs luon

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 53 other followers