Số phức (cơ bản)


Chuyên đề : Số phức

· Số có dạng z = a + bi, trong đó a,b \in \mathbb{R},\,i^2=- 1, gọi là số phức. Trong đó a gọi là phần thực, còn b gọi là phần ảo của z=a+bi.

- Số \overline z  = a - bi, gọi là số phức liên hợp của z = a + bi

- | z | = \sqrt {a^2+ b^2 } , gọi là mô đun của số phức z = a + bi

· Cộng, trừ, nhânsố phức: Cho hai số phức z_1= a + bi;\,z_2= c + di.

- Cộng, trừ số phức: z_1\pm z_2= \left( {a \pm c} \right) + \left( {b \pm d} \right)i

- Nhân số phức: z_1 z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i .

Lưu ý: \overline z= (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

Ví dụ: (2-i)(3+2i)=2.3-2.i^2+4i-3i =8+i, (Vì i^2=-1

· Phép chia số phức:

\dfrac{{z_1 }}{{z_2 }} = \dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c - di} \right)}}= \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{c^2  + d^2 }}

Ví dụ:

1) \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}
= 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}
= 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i
= \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i

2) \dfrac{1}{{3 + \sqrt 2 i}} = \dfrac{{1.\left( {3 - \sqrt 2 i} \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 2 i} \right)\left( {3 - \sqrt 2 i} \right)}} = \dfrac{{3 - \sqrt 2 i}}{{11}} = \dfrac{3}{{11}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{11}}i

· Số z^{ - 1}= \frac{1}{{a + bi}}, gọi là số phức nghịch đảo của z = a + bi

· Căn bậc hai của số thực âm:

Cho số thực a < 0, khi đó số a có hai căn bậc hai là: i\sqrt {\left| a \right|} - i\sqrt {\left| a \right|}

· Điểm M\left( {a;b} \right), biểu điễn trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục Oxy được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.

· Hai số phức bằng nhau: Cho hai số phức z_1= a + bi;\,z_2= c + di.

Khi đó a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = c \\b = d \\\end{array} \right.

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

I. Tính toán trên số phức

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 - 2i} \right) + \dfrac{1}{{3 + i}}

Giải:

· Ta có z = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{\left( {3 + i} \right)\left( {3 - i} \right)}} = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{10}}

Hay z = \left( {5 + \dfrac{3}{{10}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{{10}}} \right)i = \dfrac{{53}}{{10}} + \dfrac{9}{{10}}i.

· Suy ra số phức liên hợp của z bằng

\overline z= \dfrac{{53}}{{10}} - \dfrac{9}{{10}}i

Ví dụ 2: Tìm mô đun của z = \dfrac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{1 + 2i}}.

Giải:

· Ta có z = \dfrac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}

Hay z = \dfrac{{5 + i}}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}i

· Vậy, mô đun của z bằng

|z| = \sqrt {1^2+ \left( {\dfrac{1}{5}} \right)^2 }= \sqrt {\dfrac{{26}}{{25}}}= \dfrac{{\sqrt {26} }}{5}

Ví dụ 3: Tìm các số thực x, \, y thỏa mãn 3x + y + 5xi = 2y - 1 + \left( {x - y} \right)i.

Giải:

· Theo giả thiết, ta có \left( {3x + y} \right) + \left( {5x} \right)i = \left( {2y - 1} \right) + \left( {x - y} \right)i

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1 \\5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - y =- 1 \\4x + y = 0 \end{array} \right.

· Giải hệ trên ta được x =- \dfrac{1}{7};\,y = \dfrac{4}{7}

II. Tìm căn bậc hai của số phức

Ví dụ 4: Tìm căn bậc hai của z = 3 - 2i.

Giải:

· Giả sử số a+bi là căn bậc hai của z = 8 - 2i. Khi đó ta có\left( {a + bi} \right)^2= 8 - 2i

\Leftrightarrow \left( {a^2- b^2 } \right) + 2abi = 8 - 2i

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a^2- b^2= 8 \\2ab =- 2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2- b^2= 8 \\ab =- 1 \\\end{array} \right.

· Giải hệ này ta được hai nghiệm:

\left\{ \begin{array}{l} a =- \sqrt {65\sqrt {17}- 268}- 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b = \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.

\left\{ \begin{array}{l}a =+ \sqrt {65\sqrt {17}- 268}+ 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b =- \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.

· Vậy, số z = 8 - 2i có hai căn bậc hai dạng a+bi, với

\left\{ \begin{array}{l} a =- \sqrt {65\sqrt {17}- 268}- 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b = \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.

hoặc \left\{ \begin{array}{l} a =+ \sqrt {65\sqrt {17}- 268}+ 8\sqrt {\sqrt {17}- 4}\\b =- \sqrt {\sqrt {17}- 4}\\\end{array} \right.

III. Khai triển lũy thừa

Ví dụ 5: Tính z = \left( {1 + i} \right)^{15}

Giải:

· Ta có \left( {1 + i} \right)^2= 1 + 2i - 1 = 2i

· z = \left( {1 + i} \right)^{15}= \left( {1 + i} \right)^{14} \left( {1 + i} \right)

z = \left[ {\left( {1 + i} \right)^2 } \right]^7 .\left( {1 + i} \right) = \left( {2i} \right)^7 .\left( {1 + i} \right)

Lại có i^7= i^6 .i = \left( {i^2 } \right)^3 .i = \left( { - 1} \right)^3 .i =- i.

· Suy ra

z = 2^7 .i^7 \left( {1 + i} \right) =- 2^7 i\left( {i + 1} \right) =- 2^7 \left( { - 1 + i} \right)

· Vậy z = 128 - 128i

About these ads

About Longeobra

Các em học sinh hãy viết những điều muốn trao đổi, thảo luận vào ô Gửi phản hồi ở cuối bài viết này nhé ! Thầy chỉ trả lời được vào buổi tối và lúc rãnh. Các em quay lại xem vào ngày hôm sau nhé !

Posted on 22/04/2009, in Số phức, Toán lớp 12. Bookmark the permalink. 25 phản hồi.

  1. Thưa thầy! hiện tại em đang “bí” ở một bài toán mang tính chất số phức như sau, nhờ thầy tư vấn giúp em. Em cám ơn thầy rất nhiều:

    Giải PT PHỨC sau: x^2 – x + i = 0

    • Em vẫn tính \Delta và giải như phương trình hệ số thực. Chỉ khác ở chỗ tính căn bậc hai của delta là căn bậc hai của số phức, các em đọc lại chương trình ở SGK GIải tích 12 đó.

      Giải:
      * \Delta = (-1)^2 - 4.i = 1 - 4.i
      Giả sử \Delta =  1 - 4.i = (a+b.i)^2, \; a, \, b \in \mathbb{R}
      \Leftrightarrow 1 - 4.i = a^2 - b^2 +2ab.i
      Từ đó ta có hệ \left\{ \begin{array}{l} a^2  - b^2  = 1 \\  2ab =  - 4  \end{array} \right.
      Giải hệ này được a = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8};\,b =  - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8}
      hoặc a =  - \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8};\,b = \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8}
      Tóm lại \Delta =  1 - 4.i = ( \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8} - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8}. i )^2
      Suy ra căn của delta bằng
      \sqrt{\Delta} =  \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {17} } \right)\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8} - \dfrac{{\sqrt {2\sqrt {17}  - 2} }}{8}. i
      * Từ đó viết hai nghiệm của phương trình theo công thức !

  2. em muon’ hoi cac’ dang toan’ ve` so’ phuc’ de thi dh la` j

  3. Em chào thầy,
    Trong bài viết của thầy có 1 vài lỗi nhỏ, em chỉ ra cho thầy chỉnh lại cho bài viết chính xác hơn:
    1. Chỗ phần “Lưu ý” đầu tiên nói về số phức nhân vs số phức liên hợp thầy gõ thiếu chữ z.
    2. Bài VD2, giá trị tử số thầy tính nhầm ạ, lẽ ra phải là 5-5i.

    Thân,

  4. Em chào thầy ! Năm nay e ôn thi đại học , nhưg e chọn cách ôn trên mạg , vậy e có 1 yêu cầu nhỏ đc ko ạ . Thầy có thể post bài trực tiếp lên mạg đc ko ạ . E vô mạg bằg điện thoại nên có 1 số bài thầy up tài liệu e ko tham khảo đc , e mog thầy giúp đỡ e đc ko ạ . E rất cám ơn thầy !

  5. thay giai giup em bai nay nha
    (i-1)^2012

  6. nguyen van hoi

    thay oi giup em bai nay voi (1 – i)^2009 cam on thay nhiu

  7. nguyen van hoi

    giup em bai nay nua thay l z – 2 + 3i l=3/2 tim so phuc z co modun nho nhat ?

    • Xét z=x+yi với x,y \in \mathbb{R}
      Ta có môđun của z bằng: |z| = \sqrt{x^2+y^2}
      Đặt m = x^2+y^2, khi đó \left| z \right| nhỏ nhất khi và chỉ khi m nhỏ nhất.
      Theo giả thiết, ta có \left| z-2+3i \right|= \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}=\dfrac{3}{2}
      \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+13=\dfrac{9}{4}
      \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0
      Xét hệ: \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\x^2+y^2=m \end{array} \right.
      Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được hệ tương đương:
      \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\ m-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\ -4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.
      Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng d:-4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0 và đường tròn (C):x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 có điểm chung.
      \Leftrightarrow khoảng cách từ tâm I(2;-3) của (C) đến d nhỏ hơn hoặc bằng bán kính r=\dfrac{3}{2} của đường tròn (C) .
      \Leftrightarrow \dfrac{|-4.2+6.(-3)+m+\dfrac{43}{4}|}{\sqrt{(-4)^2+6^2}} \le \dfrac{3}{2}
      \Leftrightarrow |m-\dfrac{61}{4}| \le 3\sqrt{13}
      \Leftrightarrow -3\sqrt{13} \le m-\dfrac{61}{4} \le 3\sqrt{13}
      \Leftrightarrow -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} \le m \le 3\sqrt{13}+\dfrac{61}{4}
      Từ đó suy ra, giá trị nhỏ nhất của m bằng m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} đạt được khi
      \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2= m \\ -4x+6y+m+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2= -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} \\ -4x+6y -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}+\dfrac{43}{4}=0 \end{array} \right.
      Em giải hệ này sẽ tìm được x, y suy ra số phức cần tìm nhe !

    • Cách 2:
      Xét z=x+yi với x,y \in \mathbb{R}
      Ta có môđun của z bằng: | z | = \sqrt{x^2+y^2}
      Đặt m = x^2+y^2, khi đó \left| z \right| nhỏ nhất khi và chỉ khi m nhỏ nhất.
      Theo giả thiết, ta có \left| z-2+3i \right|= \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2}=\dfrac{3}{2}
      \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+13=\dfrac{9}{4}
      \Leftrightarrow x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0
      Xét hệ: \left \{ \begin{array}{l} x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 \\x^2+y^2=m \end{array} \right.
      Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn (C_1): x^2+y^2-4x+6y+\dfrac{43}{4}=0 và đường tròn (C_2):x^2+y^2=m có điểm chung.
      Đường tròn (C_1) có tâm I(2;-3) và bán kính r_1 = \dfrac{3}{2}
      Đường tròn (C_2) có tâm O(0;0) và bán kính r_2 = \sqrt{m}, với m > 0
      Hai đường tròn trên có điểm chung khi và chỉ khi
      \left \{ \begin{array}{l} r_1+r_2 \ge IO \\ | r_1 - r_2 | \le IO \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2}+\sqrt{m} \ge \sqrt{13} \\ | \dfrac{3}{2} - \sqrt{m} | \le \sqrt{13} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \sqrt{m} \ge \sqrt{13} -\dfrac{3}{2} \\  -\sqrt{13} \le \dfrac{3}{2} - \sqrt{m}  \le \sqrt{13} \end{array} \right.
      \Leftrightarrow  \sqrt{13} -\dfrac{3}{2} \le \sqrt{m} \le \sqrt{13} + \dfrac{3}{2}
      \Leftrightarrow  \dfrac{61}{4}-3\sqrt{13} \le m \le \dfrac{61}{4}+3\sqrt{13}
      Từ đó suy ra, giá trị nhỏ nhất của m bằng m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4} đạt được khi r_1+r_2=m
      \Leftrightarrow hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài với nhau.
      Xét đường thẳng d đi qua IO có phương trình d: y=-\dfrac{3}{2} x
      Hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau tại giao điểm của d với (C_1).
      Thay y=-\dfrac{3}{2} x vào phương trình của (C_1) ta được:
      x^2+(-\dfrac{3}{2} x)^2-4x+6(-\dfrac{3}{2} x)+\dfrac{43}{4}=0
      \Leftrightarrow \dfrac{13}{4} x^2-13x+\dfrac{43}{4}=0
      \Leftrightarrow 13 x^2-52x+43=0
      \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{26-\sqrt{117}}{13} \\ x=\dfrac{26+\sqrt{117}}{13} \end{array} \right.
      Suy ra d(C_1) cắt nhau tại hai điểm:
      M(\dfrac{26-\sqrt{117}}{13}; \dfrac{-3(26-\sqrt{117})}{26}), \; N(\dfrac{26+\sqrt{117}}{13}; \dfrac{-3(26+\sqrt{117})}{26})
      Kiểm tra lại ta có (x_M)^2+(y_M)^2 = m_{min} = -3\sqrt{13} + \dfrac{61}{4}
      Vậy, số phức cần tìm là: z = \dfrac{26-\sqrt{117}}{13} -  \dfrac{3(26-\sqrt{117})}{26}i

  8. Thay cho em hoi. co 1 so bai em em giai theo cach cua em va trinh tu hoan toan dung nhung tai sao ket qua lai khac thay a? Giong nhu bai vd1
    (2-3i)(3+i)+ __1__
    2 – i
    = 9-7i + __1__
    2-i
    = (9 – 7i)(2 – i) + 1
    2 – i
    = 18 – 9i – 14i + 7i^2 + 1
    2 – 1
    = 12 – 23i
    2-i
    = (12 – 23i)(2 + i)
    (2 – i)(2 + i)
    24 + 12i – 46i – 23^2
    4 – i^2
    = 47 – 34i
    5
    = _47_ – _34_i
    5 5

    • Trong lời giải:
      \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i
      = \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i
      Thầy có nhầm ở chỗ: Từ dấu = thứ hai sang dấu = thứ ba.
      Phải sử lại là:
      \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) + \left( {-7 + \dfrac{1}{5}} \right)i
      = \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{34}}{5}i
      hoàn toàn giống kết quả của em.
      Thầy có sai sót ! :)

  9. Thay cho em hoi. co 1 so bai em giai theo cach cua em va trinh tu hoan toan dung nhung tai sao ket qua lai khac thay a? Giong nhu bai vd1
    (2 – 3i)(3 + i) + 1/(2 – i)
    = 9 – 7i + 1/(2 – i)
    = [(9 - 7i)(2 - 1) + 1)]/(2 – i)
    = (18 – 9i – 14i + 7i^2 + 1)/(2 – i)
    = (12 – 23i)/(2 – i)
    = [(12 - 23i)(2 + i)]/[(2 - i)(2 + i)]
    = (24 + 12i – 46i – 23i^2)/5
    = (45 – 34i)/5
    = 47/5 – 34i/5
    * vi em khong biet cach ghi phan so nen thay thong cam. thanks thay a.

    • Thầy có nhầm trong lời giải sau:
      \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 - i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) - \left( {7 + \dfrac{1}{5}} \right)i
      = \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i
      Thầy có nhầm ở chỗ: Từ dấu = thứ hai sang dấu = thứ ba.
      Phải sử lại là:
      \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right) + \dfrac{1}{{2 - i}} = 9 - 7i + \frac{1}{{2 - i}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{{\left( {2 - i} \right)\left( {2 + i} \right)}}
      = 9 - 7i + \dfrac{{2 + i}}{5} = \left( {9 + \dfrac{2}{5}} \right) + \left( {-7 + \dfrac{1}{5}} \right)i
      = \dfrac{{47}}{5} - \dfrac{{34}}{5}i
      hoàn toàn giống kết quả của em.
      Thầy có sai sót ! :)

  10. thay co the co nhiu baj tap hon ko

  11. Học Tốt

    Cái Vd 4 đề là a=3 sao lúc đặt lại a=8 thế thầy

  12. thầy ơi có tồn tại căn bậc hai của số âm như cách viết trong số thực không ạ

  13. Thưa thầy, công thức tính mô đun này có được áp dụng không ạ:
    I z1/z2 I = Iz1I/Iz2I
    E không thấy tài liệu nào ghi cả.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 49 other followers

%d bloggers like this: